山東省臨沂市第十四中學(xué)　李傳富

多角度探究一道硬幣自轉(zhuǎn)問題

一、問題的提出

例1(2009年廣東省佛山市數(shù)學(xué)中考試題)如圖1,將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上,固定其中一枚,而另一枚則沿著其邊緣滾動一周,這時(shí)滾動的硬幣滾動了().

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

圖1

二、問題的探究

解答本題首先要弄清楚自轉(zhuǎn)的含義.自轉(zhuǎn)原本指物體繞著自己的軸心轉(zhuǎn)動,硬幣自轉(zhuǎn)指硬幣繞著圓心旋轉(zhuǎn),自轉(zhuǎn)1圈指硬幣轉(zhuǎn)360度.

不少人以為自轉(zhuǎn)了一圈,而事實(shí)上是兩圈.不信,可以拿兩枚硬幣動手實(shí)驗(yàn)一下(硬幣我們都有,這個(gè)題不會做的時(shí)候,我們可以直接從口袋掏出2個(gè)硬幣自己轉(zhuǎn)一下,答案就出來了.沒有硬幣也不用沮喪,找兩個(gè)其他圓形物品,或者直接拿圓規(guī)畫兩個(gè)等圓,再剪切一下就可得出).把其中一枚硬幣固定(用定圓O表示固定的硬幣),另一枚慢慢地沿定圓的圓周無滑動地滾動(用動圓O′表示滾動的硬幣),如圖2.點(diǎn)A、B、C分別表示動圓O′上位于最下端、最右端和最上端處的點(diǎn),動圓O′從位置Ⅰ(定圓O的正上方)沿順時(shí)針方向滾動四分之一圓周時(shí),滾動到位置Ⅱ(定圓O的正右方),利用對稱性可知此時(shí)點(diǎn)B滾動到動圓O′的最左端.再根據(jù)點(diǎn)A、B的相對位置可以確定此時(shí)點(diǎn)A位于動圓O′的最上端,根據(jù)點(diǎn)B、C的相對位置可以確定此時(shí)點(diǎn)C位于動圓O′的最下端,根據(jù)點(diǎn)A的位置變化(由位于動圓O′的最下端變?yōu)樽钌隙?可知此時(shí)動圓已滾動半圈(從點(diǎn)C的位置變化也可以看出這點(diǎn)).當(dāng)動圓O′繼續(xù)滾動到位置Ⅲ(定圓O的正下方)時(shí),點(diǎn)A又回到動圓O′的最下端,可知此時(shí)動圓已滾動一圈.當(dāng)動圓繼續(xù)滾動,回到初始位置時(shí),它已滾動了兩圈.

圖2

為什么是自轉(zhuǎn)兩圈而不是一圈呢?不少人即使面對實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍想不通.還是讓我們從2009年河北省的數(shù)學(xué)中考試卷尋找答案吧.

例2如圖3至圖7,⊙O均做無滑動滾動,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置,⊙O的周長為c.

閱讀理解:(1)如圖3,⊙O從⊙O1的位置出發(fā),沿AB滾動到⊙O2的位置,當(dāng)AB=c時(shí),⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周.

圖3

圖4

(2)如圖4,∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°,⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動,在點(diǎn)B處,必須由⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置,⊙O繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的∠O1BO2=n°,⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周.

實(shí)踐應(yīng)用:(1)在閱讀理解的(1)中,若AB=2c,則⊙O自轉(zhuǎn)_________周;若AB=l,則⊙O自轉(zhuǎn)_________周.在閱讀理解的(2)中,若∠ABC=120°,則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)_________周;若∠ABC=60°,則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)_________周.

1位置出發(fā),在∠ABC外部沿A-B-C滾動到⊙O4的位置,⊙O自轉(zhuǎn)_________周.

圖5

圖6

拓展聯(lián)想:(1)如圖6,△ABC的周長為l,⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā),在△ABC外部,按順時(shí)針方向沿三角形滾動,又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置,⊙O自轉(zhuǎn)了多少周?請說明理由.

(2)如圖7,多邊形的周長為l,⊙O從與某邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā),在多邊形外部,按順時(shí)針方向沿多邊形滾動,又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置,直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù).

圖7

圖8

從上面的中考題我們能獲得什么啟示呢?一枚硬幣沿著另一枚硬幣的邊緣滾動屬于硬幣在曲線上滾動,解答時(shí)比較困難.如果我們將其轉(zhuǎn)化為硬幣在直線上滾動,問題就簡單多了,這是河北省中考題給我們的一個(gè)啟示.

如圖8,⊙O在直線l上滾動,設(shè)⊙O的半徑為r,當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)1圈時(shí),圓心O經(jīng)過的路徑長是2πr;當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)2圈時(shí),圓心O經(jīng)過的路徑長是4πr;當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)3圈時(shí),圓心O經(jīng)過的路徑長是6πr;…;當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)n圈時(shí),圓心O經(jīng)過的路徑長是2nπr.反之,當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長是2πr時(shí),⊙O自轉(zhuǎn)1圈;當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長是4πr時(shí),⊙O自轉(zhuǎn)2圈;當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長是6πr時(shí),⊙O自轉(zhuǎn)3圈;…;當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長是2nπr時(shí),⊙O自轉(zhuǎn)n圈.因此,當(dāng)圓在直線上滾動時(shí),圓心經(jīng)過的路徑的長度等于圓滾動過的長度,圓滾動的圈數(shù)等于圓心O經(jīng)過的路徑長除以圓O的周長.

設(shè)圖1中兩枚硬幣的半徑都為r,硬幣滾動時(shí)圓心經(jīng)過的路徑長為2π.2r=4πr,而硬幣的周長為2πr,所以硬幣滾動的圈數(shù)為=2.

上面的解答過程實(shí)際也用到了一種"以靜制動"的解題策略:硬幣滾動時(shí),雖然圓上的每點(diǎn)都在運(yùn)動,各個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律也不便把握,但硬幣的圓心始終在一個(gè)固定的圓上運(yùn)動,這是解答本題的關(guān)鍵.抓住了這點(diǎn),問題就迎刃而解了.

從圖4也可以看出,當(dāng)把一條長為l的線段AB折過α度角,動圓(半徑為r)沿這條直線滾動時(shí),動圓從折線一端A滾動到另一端B時(shí),轉(zhuǎn)了圈多圈.從圖7可以看出,如果把長為l的線段AB折成多邊形時(shí),動圓沿這個(gè)多邊形的外周滾動時(shí),從多邊形上的某點(diǎn)A開始,回到點(diǎn)A停止,動圓轉(zhuǎn)了1圈加上外角和與360°之比這樣多的圈數(shù).而多邊形的外角和為360°,所以動圓轉(zhuǎn)了圈多1圈.因此我們可以將圓沿著圓滾動問題轉(zhuǎn)化為圓沿著多邊形滾動問題解答,這是河北省中考題給我們的另一個(gè)啟示.

一個(gè)圓可以看成一個(gè)邊數(shù)無限增加的多邊形,所以,上面的多邊形換成周長為2πr的圓之后,結(jié)果也是一樣的(如圖9).因此若設(shè)圖1中兩枚硬幣的半徑都為r,則硬幣滾動的圈數(shù)為+1=2圈.

圖9

上面的解答過程實(shí)際又用到了一種轉(zhuǎn)化和積分的思想,即圓在曲線上的滾動問題轉(zhuǎn)化為圓在直線上的滾動問題,把圓看成一個(gè)邊數(shù)無限增加的多邊形.

方法總結(jié):從上面可以看出,解答硬幣沿硬幣滾動問題,既可以親自動手用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行解答,也可以將硬幣沿硬幣滾動問題轉(zhuǎn)化為硬幣沿直線滾動問題,根據(jù)硬幣圓心經(jīng)過的路徑長進(jìn)行解答,還可以將硬幣沿硬幣滾動問題轉(zhuǎn)化為硬幣沿多邊形滾動問題進(jìn)行解答.其中將硬幣沿硬幣滾動問題轉(zhuǎn)化為硬幣沿直線滾動問題解答方便快捷,一般情況下我們盡量使用這種方法解答此類問題.

三、問題的拓展

原中考題是兩枚同樣大小的硬幣,如果兩枚硬幣的大小不同,又該怎樣計(jì)算?

例3如圖10,一個(gè)小圓幣,繞一個(gè)直徑4倍大的圓片邊緣滾動一周,回到原處.試問:在以上過程中,小圓幣一共轉(zhuǎn)了幾圈?

圖10

圖11

解析:如圖11,設(shè)小圓幣的半徑為r,則大圓片的半徑為4r,小圓幣的圓心繞大圓片邊緣滾動一周旋轉(zhuǎn)的路徑長為2π.5r=10πr,而小圓幣的周長為2πr,所以小圓幣滾動的圈數(shù)為=5.

例3是小圓沿大圓滾動,如果大圓沿小圓滾動,情況又該怎樣呢?

例4如圖12,兩枚大小不同的硬幣⊙O1和⊙O2,其中⊙O1的半徑為⊙O2的半徑的2倍,⊙O2固定不動,⊙O1沿⊙O2周圍滾動,滾動時(shí),兩枚硬幣總是保持有一點(diǎn)相接觸(相切).當(dāng)硬幣⊙O1沿⊙O2周圍滾動一圈,回到原來的位置時(shí),硬幣⊙O1自轉(zhuǎn)了_________圈.

圖12

解析:如圖12,設(shè)小硬幣的半徑為r,則大硬幣的半徑為2r,大硬幣的圓心繞小硬幣邊緣滾動一周旋轉(zhuǎn)的路徑長為2π.3r=6πr,而大硬幣的周長為2π.2r=4πr,所以大硬幣滾動的圈數(shù)為=1.5.

原中考題是一枚硬幣在另一枚硬幣的外面邊緣滾動,如果是一枚硬幣在另一枚硬幣的內(nèi)部邊緣滾動,情況又該怎樣呢?

例5半徑為15cm的小鐵環(huán)沿著半徑為60cm的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)做無滑動的滾動,當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)內(nèi)側(cè)滾動一周回到原位時(shí),問小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈?

圖13

解析:如圖13,小鐵環(huán)的圓心繞大鐵環(huán)邊緣滾動一周旋轉(zhuǎn)的路徑長為2π.(60-15)=90πcm,而小鐵環(huán)的周長為2π.15=30πcm,所以小鐵環(huán)滾動的圈數(shù)為=3.

原中考題是硬幣繞一枚硬幣滾動,如果繞多枚硬幣滾動,情況又該怎樣呢?

例6如圖14,將4枚半徑為1cm的硬幣放在桌上,固定其中三枚,而另一枚則沿著它們的邊緣從⊙O滾動到⊙O′,這時(shí)硬幣滾動的路程為________,轉(zhuǎn)了______圈.

圖14

圖15

解析:硬幣滾動的路徑分為三段,如圖15所示,從⊙O滾動到⊙O4,其路徑是一個(gè)半徑為2cm,圓心角為120°的扇形,路徑長為cm;從⊙O滾動到⊙O,其45路徑是一個(gè)半徑為2cm,圓心角為60°的扇形,路徑長為cm;從⊙O滾動到⊙O′,其路徑是一個(gè)半徑為2cm,5

例7如圖16,將5枚1元的硬幣放在桌上,固定其中四枚,而另一枚則沿著它們的邊緣滾動一周又回到原來的位置,這枚硬幣自轉(zhuǎn)了_________圈.

圖16

圖17

解析:設(shè)硬幣的半徑為r,硬幣滾動的路徑分為四段,如圖17所示,從⊙O1′滾動到⊙O2′,從⊙O2′滾動到⊙O3′,從⊙O3′滾動到⊙O4′,從⊙O4′滾動到⊙O1′,這四段都是一個(gè)半徑為2r,圓心角為360°-60°-60°-90°=150°的扇形,所以硬幣從⊙O1′回到原來的位置滾動的路程l=,而硬幣的周長為2πr,所以硬幣滾動的圈數(shù)為