王玉蘭

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都　610039)

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·基礎(chǔ)學(xué)科·

趨化-流體耦合模型研究進展

王玉蘭

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都610039)

從經(jīng)典的Keller-Segel模型出發(fā)，簡述趨化方程組的生物學(xué)背景、一般研究方法和最新研究進展。特別對趨化-流體耦合模型的起源、研究進展、研究困難進行詳細的分析，并指出此類方程組研究中一些尚待解決的問題。

趨化；趨化-流體耦合模型；趨化靈敏度；整體存在；有界性

趨化性(也被稱為化學(xué)趨向性)是趨向性的一種，指身體細胞、細菌及其他單細胞、多細胞生物依據(jù)環(huán)境中某些化學(xué)物質(zhì)的分布而趨向的運動。這種趨向性的運動對細菌尋找食物(如葡萄糖)十分重要，細菌以此趨進有較高食物分子濃度的地方，或遠離有毒(如苯酚)的地方。在多細胞生物中，趨化性對其生存和發(fā)展不可或缺。另外，已證實趨化性不僅對研究生物運動具有很重要的作用，而且在生物除污、生物膜的形成、感染的發(fā)病機制(如癌細胞的轉(zhuǎn)移)、生物固氮、微生物在地下環(huán)境和土壤中的遷移以及微生物采油等領(lǐng)域的研究中也具有重要意義。事實表明，對趨化性現(xiàn)象的研究不僅具有理論意義，而且有很強的現(xiàn)實意義。趨化方程(chemotaxis equation)就是從生物趨化性現(xiàn)象研究中抽象出的一類用于刻畫細胞趨化運動規(guī)律的反應(yīng)擴散方程。

1　經(jīng)典的Keller-Segel模型及其變體

為了描述細胞種群的動力學(xué)行為，在過去的幾十年中，最典型的趨化模型-Keller-Segel趨化模型

(1.1)

被廣泛關(guān)注和研究[1]。此處的n表示細胞密度，c代表化學(xué)物質(zhì)、信號的濃度，而S則是趨化靈敏度函數(shù)，根據(jù)不同的生物具體背景，它可能依賴于細胞密度n、化學(xué)物質(zhì)濃度c及環(huán)境位置變量x。當(dāng)(1.1)中的靈敏度函數(shù)S恒為常值函數(shù)1時，便得到標(biāo)準(zhǔn)的Keller-Segel模型。這個模型具有很多豐富而有趣的性質(zhì)，包括解的整體存在、有限時刻爆破及空間模式形成等。例如，這個模型在有界區(qū)域上的Neumann邊值問題在空間維數(shù)為3維或空間維數(shù)為2、細胞初始質(zhì)量∫Ωn0較大的情形下都會發(fā)生有限時刻爆破[2-3]。除了標(biāo)準(zhǔn)的Keller-Segel模型，很多學(xué)者也關(guān)注了這個模型的各種變體。例如，考慮(1.1)的化學(xué)物質(zhì)吸引變體模型

這個模型中，c的最大模被其初值的最大?？刂疲@有效地抑制了爆破奇性的形成。研究表明，這個模型在二維有界區(qū)域上的Neumann初邊值問題對于任意大的初值都存在整體有界經(jīng)典解；而其三維問題存在整體弱解，此弱解在經(jīng)過一個等待時間以后最終會變成光滑、有界的[4]。

在關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)的Keller-Segel模型的眾多變體的研究中，有一類是關(guān)注非線性擴散和趨化交叉擴散的相互作用對方程組解的影響。事實上，很多研究結(jié)果已經(jīng)顯示：當(dāng)模型(1.1)中第一個方程是關(guān)于n的多孔介質(zhì)形式Δnm(m>1)時，m的增長可以增強對趨化引起的細胞集聚現(xiàn)象的平衡作用，從而在一定程度上阻止爆破奇性的發(fā)生。例如，考慮有界區(qū)域上的具有非線性擴散和非線性交叉擴散的趨化模型

2　常規(guī)趨化-流體耦合模型的研究進展

自然界中很多細菌(例如枯草芽孢桿菌、大腸桿菌等)常常會生活在黏性流體中。文獻[8]作者在觀察水滴中一類需氧細菌的運動時提出在考慮這類模型時，除了趨化性運動、化學(xué)物質(zhì)的消耗、細胞和化學(xué)物質(zhì)通過流體的傳輸這些因素外，還必須考慮浮力對流體動力學(xué)的顯著影響，由此便提出了如下趨化-流體(chemotaxis-fluid)耦合模型

(1.2)

其中：u和P分別表示流體速度場和相應(yīng)的壓力；系數(shù)κ與非線性流體對流項的強度有關(guān)；φ表示重力勢；趨化靈敏度S(c)和氧氣消耗率f(c)是已知的標(biāo)量函數(shù)。從數(shù)學(xué)的觀點來看，這個模型耦合了流體方程研究和趨化方程研究中的典型困難,也因此激發(fā)了很多數(shù)學(xué)工作者的研究興趣。近幾年來關(guān)于此模型在不同參數(shù)假設(shè)(S、f、φ的不同的函數(shù)結(jié)構(gòu))下相應(yīng)初值問題解的適定性研究取得了很多進展(參見文獻[9-12])。例如，在文獻[11]中作者證明了(1.2)中κ=1、空間維數(shù)為2的情形下方程組整體解的存在性。而三維情形下，關(guān)于解的整體存在性的研究更加困難。這是因為即使在沒有chemotaxis耦合的情況下，三維Navier-Stokes方程至今仍沒有令人滿意的存在性理論。盡管如此，Winkler在這方面做出了突破性的工作[12]。在文獻[12]中，作者通過建立一個廣泛的能量不等式，證明了三維有界凸區(qū)域上(1.2)的Neumann邊值問題弱解的整體存在性，同時將該能量不等式應(yīng)用于二維區(qū)域的情形，得到了經(jīng)典解的整體存在性。隨后，Winkler還在文獻[13]中研究了這個方程組二維情形下Neumann邊值問題解的定性行為，證明了此模型的解趨于其常值穩(wěn)態(tài)解的大時間漸進行為。最近，Jiang等[14]通過建立新的熵能量估計，將Winkler的工作從有界凸區(qū)域推廣到一般的有界區(qū)域上。上述關(guān)于模型(1.2)的研究結(jié)果在很大程度上都依賴于方程具有梯度型(或某種擬能量)結(jié)構(gòu)，從而可以建立相應(yīng)的能量不等式。

同不帶流體耦合的chemotaxis方程情形類似，(1.2)中第一個方程若考慮為非線性擴散的情形

nt+u·n=Δnm-·(nS(c)c),

(1.3)

方程中m取值的不同將會導(dǎo)致方程解的性態(tài)的不同。這方面的第一個結(jié)果是Lorz等在2010年證明了二維有界區(qū)域上的chemotaxis-Stokes (κ=0)在3/2

除此之外，一些學(xué)者也致力于方程組(1.2)在全空間中解的適定性問題。最近，Chae等在文獻[19]中證明了(1.2)在二維或三維全空間中解的整體存在性，并在初值的小性假設(shè)下給出了解的實際衰減估計。而Zhang等在文獻[20]中放開前人工作中對初值條件的一些限制，對一類更一般的初值證明了(1.2)二維情形下弱解的整體存在性和唯一性。2014年，Duan等[21]研究了模型(1.2)中第一個方程為多孔介質(zhì)形式(1.3)時其相應(yīng)的Cauchy問題的適定性，分別證明了二維chemotaxis-Navier-Stokes方程和三維chemotaxis-Stokes方程在m≥1時整體弱解的存在性。此外，Tan等[22]研究了三維全空間中一類chemotaxis-Navier-Stokes方程在小初始擾動下的衰減估計。

3　帶旋轉(zhuǎn)流的趨化-流體耦合模型

鑒于此，和靈敏度為標(biāo)量函數(shù)的方程相比，帶有矩陣值靈敏度的趨化方程組，即使在沒有流體耦合的情況下，研究都才剛剛起步，結(jié)果還很少。最近，Li等在文獻[25]中研究了一類化學(xué)物質(zhì)被細胞自身消耗的帶矩陣值靈敏度的趨化模型

他們證明了方程的解在小初值(‖c0‖L(Ω)充分小)假設(shè)下是整體存在的。而這里的小性假設(shè)后來被Winkler在文獻[26]中去掉了。另外，Cao等在文獻[27]中研究了此模型的擬線性擴散的情形。由于矩陣值靈敏度函數(shù)的存在破壞了方程的擬能量結(jié)構(gòu)，上述研究大都通過建立一系列先驗估計，結(jié)合一些精細的微分、積分不等式估計技巧來證明解的整體存在性。

對于具有矩陣值靈敏度的趨化-流體模型， 由于其一方面耦合了趨化方程和流體方程研究中的所有本質(zhì)困難，另一方面矩陣值靈敏度函數(shù)的出現(xiàn)又導(dǎo)致無法建立相應(yīng)的能量不等式；因而，研究進展更為緩慢。前期主要的研究結(jié)果集中在第2個方程是帶信號吸引的模型上。具體而言，Winkler在其最近的工作[28-29]中通過建立一系列的先驗估計，結(jié)合bootstrap方法研究了模型(1.2)在S=S(x,n,c)為矩陣值函數(shù)、κ=0的情況下，方程組解的有界性和大時間行為，即分別討論了二維、三維有界區(qū)域上半線性和擬線性的chemotaxis-Stokes方程組解的有界性。而Wang等在文獻[30]中證明了三維有界區(qū)域上一類帶矩陣值靈敏度的chemotaxis-Stokes方程組在假設(shè)|S(x,n,c)|≤C(1+n)-α(α>1/6)下，存在唯一的整體經(jīng)典解。最近，我們又將此結(jié)果進一步改進：證明了條件α>1/6不僅能保證整體解的存在性，也能保證解的一致有界性[31]。上述幾個結(jié)果都是關(guān)于chemotaxis-Stokes方程組的研究結(jié)果，而對于完全的chemotaxis-Navier-Stokes方程組的情形，文獻[32]對于模型(1.2)中趨化靈敏度是矩陣值函數(shù)的情形在小初值的假設(shè)下證明了方程組解的整體存在性和衰減性質(zhì)。文獻[32]和其他文獻采用的方法有所不同。在文獻[32]中，作者首先建立了Stokes算子所生成的解析半群的一些Lp-Lq估計，然后充分利用方程組解的解析表達式結(jié)合半群估計得出方程的有界性。這個方法似乎只對小初值才成立。

從上述結(jié)果可知，對于僅帶化學(xué)信號消耗項的趨化模型，即使在和流體方程耦合的情況下，爆破現(xiàn)象一般都不會發(fā)生。這對于具有化學(xué)信號產(chǎn)生項的趨化-流體耦合模型是不可能的。正如前文所言，對于帶化學(xué)信號產(chǎn)生項的chemotaxis方程組，即使在沒有流體耦合的情況下，爆破都可能發(fā)生。例如經(jīng)典的Keller-Segel模型(1.1)就存在有限時刻爆破的解，并且，由于其表示化學(xué)信號濃度的量c不再被其初始值的最大?？刂疲瑢τ谶@類帶信號產(chǎn)生項的趨化-流體耦合模型，我們已知的先驗信息非常有限；因而，即使在趨化靈敏度為標(biāo)量函數(shù)的情況下，研究進展都比較緩慢。之前主要的研究結(jié)果是在第一個方程具有l(wèi)ogistic增長源的情況下做出的(參見文獻[33])。直到最近，文獻[34]研究了一類具有矩陣值靈敏度的趨化-流體耦合模型

(1.4)

Wang等[34]在|S(x,n,c)|≤C(1+n)-α假設(shè)下，證明了只要α>0，二維chemotaxis-Stokes方程組(1.4)(即(1.4)中κ=0)存在唯一的整體有界經(jīng)典解。文章通過建立一個新的Gagliardo-Nirenberg型插值不等式，克服了c不再被其初始值的最大模控制的障礙，又通過一系列先驗估計替代了對于標(biāo)量值靈敏度適用的能量不等式，得到了解的有界性。同沒有流體耦合的單純趨化方程的相應(yīng)結(jié)果比較會發(fā)現(xiàn)，此處得到的關(guān)于指標(biāo)α的限制是得到整體解的最優(yōu)指標(biāo)。對于模型(1.4)中κ=1的情形，即：完全的chemotaxis-Navier-Stokes方程組的情形，我們在最新的研究[35]中同樣證明了α>0足以保證整體經(jīng)典解的存在性。與chemotaxis-Stokes方程組相比，在完全的chemotaxis-Navier-Stokes方程組情形下，我們不能直接從僅有的‖n‖L1(Ω)有界的信息中得到流體速度場u的更高的正則性估計；因此，文獻[35]采用了和文獻[34]中完全不同的方法：尋求并使用了一個具有某些能量性質(zhì)的新泛函。這種形式的泛函，在以前chemotaxis的研究中從來沒有使用過。這一全新的方法也可用于研究其他的一些趨化模型。例如，之前一直沒有解決的趨化-流體模型(1.4)在三維有界區(qū)域上的Neaumann初邊值問題，我們就可以借鑒這個方法至少做出chemotaxis-Stokes方程組的相關(guān)結(jié)果[36]。

關(guān)于趨化-流體耦合模型的更多研究結(jié)果，讀者可參閱文獻[37]及其參考文獻。

4　結(jié)論

趨化流體耦合模型刻畫了自然界中一些處在流體中的細菌的種群運動，具有明確的生物背景，故而引起了很多生物數(shù)學(xué)工作者的研究興趣。學(xué)者們建立了能量估計、半群理論等一系列行之有效的方法，對若干趨化流體耦合方程組建立了相應(yīng)的適定性結(jié)果。而帶旋轉(zhuǎn)流的趨化流體耦合模型更是近兩年相關(guān)研究者關(guān)注的一個熱門研究模型。模型中張量值趨化靈敏度的出現(xiàn)破壞了方程組的擬能量結(jié)構(gòu)，給研究帶來了本質(zhì)的困難，也使很多研究者產(chǎn)生興趣。在眾多研究者的努力下，已經(jīng)獲得了一些針對此類趨化方程組的研究成果[3-31]；但仍有大量帶旋轉(zhuǎn)流的趨化流體方程組解的適定性問題還未解決。例如：完全的chemotaxis-Navier-Stokes方程組(1.4)在三維有界區(qū)域中的初邊值問題，當(dāng)(1.4)中第2個方程是僅有信號消耗的情形在沒有初值的小性假設(shè)下解的適定性問題，此類趨化流體耦合模型的爆破解的存在性問題等等，都亟待數(shù)學(xué)工作者探求新的思路、新的方法去處理。

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(編校：葉超)

The Progress of Chemotaxis-fluid Models

WANG Yulan

(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

This paper begins with the classical Keller-Segel model, and then gives the biologic background, usual study methods and the latest study progress of such model. In particular, the author analyses the origin, the study progress, and difficulties in the study of chemotaxis-fluid systems. At last, some open problems in the study of chemotaxis-fluid systems are proposed.

chemotaxis; chemotaxis-fluid model;chemotactic sensitivity; global existence; boundedness

2016-04-01

國家自然科學(xué)基金(11501457)。

王玉蘭(1979—)，女，教授，博士，主要研究方向為偏微分方程。

O175.29

A

1673-159X(2016)04-0030-5

10.3969/j.issn.1673-159X.2016.04.006