廖百安，駱元媛

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都　610039)

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·基礎(chǔ)學(xué)科·

一類三階有理差分方程解的全局行為

廖百安，駱元媛*

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都610039)

主要研究一類有理差分方程在參數(shù)取不同值情況下的奇點集和全局行為。通過變換和替換將該方程轉(zhuǎn)化為Riccati方程進行求解，并證明了該方程的解最終將收斂到零或者非零不動點或者是無界的。

差分方程；Riccati方程；奇點集；全局行為

(1)

(2)

來求解。我們稱方程

(3)

為Riccati方程[10]，這里a,b,c,d為給定實數(shù)，初始值z0為任意實數(shù)。Grove等在文獻[11]中討論了Riccati方程的二周期解及奇點集等性質(zhì)。由此可知，方程(2)是Riccati方程，于是，我們根據(jù)Riccati方程的性質(zhì)來求解方程(1)的解。

1　相關(guān)定義及引理

定義1方程(1)的奇點集是所有(s1,s2,…sk+1)∈Rk+1的點所構(gòu)成的集合，其中點(s1,s2,…sk+1)滿足：當(dāng)(x-k,x-k+1,…x0)=(s1,s2,…sk+1)時，xm∈I,m=0,1,…,n-1,但xm+1?I，即方程(1)的奇點集是所有使得其右端不能被定義的初始值的集合。

引理1[11]下列結(jié)論成立。

1)方程(3)有最小二周期解當(dāng)且僅當(dāng)b+c=0。

3)當(dāng)b+c=0時，方程(3)的奇點集為F={-c/d}，當(dāng)d(bc-ad)=0時，奇點集為空集。

2　主要結(jié)論

定理1設(shè)α≠0,α≠-1，則差分方程(1)的奇點集為F=s1∪s2，

其中

下面我們討論當(dāng)α∈R(α≠0,α≠-1)，方程(1)解的最終走向。

定理2設(shè)α≠0,α≠-1，則差分方程(1)對任意的初始值(x-2,x-1,x0)?F。

其中

綜上所述，

[1]Hartman P, A Wintner. On Linear Difference Equations of the Second Order[J].Amer Math,1950,72:124.

[2]張廣,高英.差分方程的振動理論[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[3]Amleh A M,Camouzis E, Ladas G. On The Dynamics of a Rational Difference Equation Part1[J].International Journal Difference Equations,2008,3:1.

[4]Amleh A M,Camouzis E, Ladas G. On The Dynamics of a Rational Difference Equation Part2[J].International Journal Difference Equations,2008,3:195.

[5]Gamouzis E, Ladas G. Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures[M]. Boca Raton:Chapman and Hall/CRC Press, 2007.

[6]Gamouzis E, Papaschinopoulos G. Global Asymptotic Behavior of Positive Solutions On The System of Rational Difference Equations[J]. Appl Math Lett,2004,17:733.

[7]Elsayed E M. Qualitative Behavior of a Rational Recursive Sequence[J].Indag Mathem N S,2008,19(2):189.

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[10]張景中,楊路,張偉年.迭代方程與嵌入流[M].上海:上海科技教育出版社,1998.

[11]Grove E A, Ladas G. Periodicities in Nonlinear Difference Equations[M]. Boca Raton:Chapman and Hall/CRC Press, 2005.

(編校：葉超)

Global Behavior of a Third Order Rational Difference Equation

LIAO Baian, LUO Yuanyuan*

(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

In this paper, we mainly studied forbidden sets and global behavior of a third order rational difference equation in the case of different parameters. We converted the equation into a Riccati equation, and proved that the solutions of the equation eventually converge to zero or non-zero fixed point or unbounded.

difference equation；Riccati equation；forbidden set；global behavior

2016-04-14

四川省教育廳項目(SJG2014006)；西華大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(ycjj2015169)；西華大學(xué)科研項目(Z1513322)。

駱元媛(1986—)，女，講師，博士，主要研究方向為數(shù)論及微分方程。E-mail：289028774@qq.com.

O175

A

1673-159X(2016)04-0035-4

10.3969/j.issn.1673-159X.2016.04.007