陳超江

【關(guān)鍵詞】《垂直于弦的直徑》

教學(xué)設(shè)計 初中數(shù)學(xué) 圓的對稱性

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）08A-0063-03

一、教學(xué)重難點及關(guān)鍵點

（一）教學(xué)重點：探究垂徑定理及其推論，并運用這些結(jié)論解決一些與圓有關(guān)的證明和計算問題。

（二）教學(xué)難點：分清垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論。

（三）教學(xué)關(guān)鍵點：圓的軸對稱性。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能：理解圓的軸對稱性，掌握圓是軸對稱圖形的證明方法；掌握垂徑定理及其推論，并學(xué)會運用這些結(jié)論解決與圓有關(guān)的證明和計算題。

（二）過程與方法：主要采用設(shè)疑激趣、講授、直觀演示、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的教法。學(xué)生歷經(jīng)“實驗、觀察、猜想、證明”的探索過程、體會探索問題的一般方法和由一般化為特殊的化歸數(shù)學(xué)思想方法，從而對知識的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程認(rèn)識得更加深刻。

（三）情感態(tài)度與價值觀：學(xué)生感受探索數(shù)學(xué)問題的樂趣，獲得解決數(shù)學(xué)問題的成就感；體會數(shù)學(xué)圖形的對稱美，知識的內(nèi)在美、形式美、和諧美，從而激發(fā)對數(shù)學(xué)的熱愛。

三、教學(xué)過程設(shè)計

（一）復(fù)習(xí)舊知

如圖1，復(fù)習(xí)作出已知點關(guān)于直線對稱的方法和步驟。

設(shè)計意圖：電子白板和幾何畫板相結(jié)合，讓學(xué)生回顧并派代表回答作出已知點關(guān)于直線對稱的方法和步驟（教師通過電子白板鏈接幾何畫板動態(tài)演示），為證明圓的軸對稱性做好知識鋪墊。

（二）直觀體會圓的軸對稱性

如圖2所示，讓學(xué)生拿出手中的圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生自主探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷探索圓的軸對稱性的過程，能直觀體驗并理解圓是軸對稱圖形，增強學(xué)生之間互相學(xué)習(xí)，學(xué)會分享的情感，并提高學(xué)生自身的動手操作能力。最后，教師通過電子白板和幾何畫板相結(jié)合，動態(tài)演示改變直徑，將圓沿著直徑所在的直線折疊，增強學(xué)生對該知識點的理解。

（三）探究并證明圓的軸對稱性

如圖3，在⊙O中，CD為⊙O的任意一條直徑。怎樣證明⊙O是軸對稱圖形呢？

設(shè)計意圖：通過電子白板和幾何畫板相結(jié)合，利用圖形的動態(tài)演示，教師拖動點在圓上滑動，學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)點關(guān)于直徑的對稱點也都在圓上，讓學(xué)生體會把證明圓的軸對稱性轉(zhuǎn)化為證明圓上任意一點的軸對稱性問題中蘊含的由一般化為特殊的數(shù)學(xué)思想方法。

（四）探究垂徑定理

理解了圓的軸對稱性后，利用如圖4所示的圖形引導(dǎo)學(xué)生探究垂徑定理。

如圖4（1）和圖4（2），利用電子白板和幾何畫板相結(jié)合，通過動態(tài)演示將這個圖形沿著直徑CD折疊，在折疊的過程中，學(xué)生觀察、猜想并發(fā)現(xiàn)了相等的線段和相等的弧。就這樣，自然而然地引出了垂徑定理。為了讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)垂徑定理，分清定理的條件和結(jié)論，筆者組織學(xué)生學(xué)習(xí)垂徑定理的內(nèi)容和幾何語言，從幾何語言的表述中，學(xué)生能較直觀地找出并分清垂徑定理的條件和結(jié)論。

教師讓學(xué)生觀察并找出相等的線段和相等的弧。

設(shè)計意圖：結(jié)合圓的軸對稱性，學(xué)生在圖形的動態(tài)演示過程中，通過觀察、猜想并發(fā)現(xiàn)了垂徑定理。教師為學(xué)生創(chuàng)造了探究問題情境和實踐活動，讓他們親身歷經(jīng)探究結(jié)論的過程，能理解并分清垂徑定理的條件和結(jié)論，掌握垂徑定理的幾何語言。

（五）探究垂徑定理的推論

學(xué)習(xí)了垂徑定理后，引導(dǎo)學(xué)生通過交換垂徑定理的條件和部分結(jié)論，進(jìn)行探究垂徑定理的推論，提出這樣的猜想：如果一條直徑平分弦，那么這條直徑會不會垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧呢？

師生活動：問題提出后，讓學(xué)生思考，學(xué)生回答：“不一定?！苯處煱盐諘r機，按條件畫出圖形（如圖5（1），5（2）所示），讓學(xué)生觀察、思考，得出垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

設(shè)計意圖：通過命題中條件和結(jié)論的交換，引導(dǎo)學(xué)生提出垂徑定理推論的猜想，形成新舊知識的碰撞，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的情境中生成思維的火花。根據(jù)條件，用圖形的直觀分析，降低學(xué)習(xí)的難度，讓學(xué)生在不同條件下的兩個圖形得到不同結(jié)論的鮮明對比中得出垂徑定理的推論，并真正理解推論中的條件“平分弦（不是直徑）的直徑”。

（六）定理辨析：判斷下列圖形，哪些能夠使用垂徑定理，為什么？

設(shè)計意圖：通過上述具有相同或不同特點的圖形讓學(xué)生判斷哪些能夠使用垂徑定理，學(xué)生能夠正確找出這些圖形，教師進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這類圖形的共同點，即得出垂徑定理的條件：（1）過圓心；（2）垂直于弦。進(jìn)而加深了學(xué)生對垂徑定理條件的理解。

（七）課堂練習(xí)

如圖6，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm。求⊙O的半徑。

設(shè)計意圖：學(xué)生剛剛學(xué)了垂徑定理的內(nèi)容，本道練習(xí)題能讓學(xué)生初步掌握定理的簡單應(yīng)用。教師還可以利用本道習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用垂徑定理解決與圓有關(guān)問題的解題思路：①構(gòu)造直角三角形，把與圓有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中；②使用垂徑定理和勾股定理求解。另外，這個解題思路可以為例2中利用垂徑定理解決實際問題做好鋪墊。

（八）例題講解

例 趙州橋（圖7所示）的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，求出趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）。

設(shè)計意圖：解題思路如圖7（1）-7（4），本例題與“課堂練習(xí)”不同，它是垂徑定理進(jìn)一步的應(yīng)用，它首先讓學(xué)生學(xué)會將實物圖轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究。通過學(xué)習(xí)本例題，提高學(xué)生將所學(xué)知識聯(lián)系實際問題并利用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

（九）能力提升

原題：如圖8，已知在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。求證：AC=BD。

設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)垂徑定理之前，證明線段相等常用的方法就是證明三角形全等。然而，本題讓學(xué)生在新舊知識中產(chǎn)生了“思考的火花”，讓他們學(xué)會選擇簡便方法證明線段相等。這是垂徑定理在證明線段相等方面的重要應(yīng)用，能進(jìn)一步提高學(xué)生靈活應(yīng)用垂徑定理解決問題的能力。

變式1：如圖8（1），將原題中的大圓隱去，連接OA、OB，設(shè)OA=OB，求證：AC=BD.

變式2：如圖8（2），將原題中的小圓隱去，連接OC、OD，設(shè)OC=OD，求證：AC=BD.

設(shè)計意圖：變式1和變式2雖然對原題進(jìn)行了條件改變，證明的結(jié)論不變，但是解決問題的方法和思路與原題仍然是相同的。這兩道變式題有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、對比問題進(jìn)而尋找問題共同實質(zhì)的能力。

（十）課堂小結(jié)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容以及在學(xué)習(xí)過程中運用的數(shù)學(xué)思想方法，并讓學(xué)生互相之間充分交流和分享學(xué)習(xí)心得。

設(shè)計意圖：課堂小結(jié)能夠讓學(xué)生對本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個比較完整的知識結(jié)構(gòu)框架，也有利于培養(yǎng)學(xué)生善于及時總結(jié)知識的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（十一）布置作業(yè)

教科書第83頁練習(xí)第2題，第90頁第10題、11題。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生及時鞏固垂徑定理的應(yīng)用。

（十二）板書設(shè)計

24.1.2 垂直于弦的直徑

1.圓的對稱性。

2.（1）垂徑定理；（2）垂徑定理的推論。

3.垂徑定理及其推論的概括：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（推論中的弦不是直徑）；④平分弦所對的兩條弧。

4.利用垂徑定理解題的思路。

（1）構(gòu)造直角三角形；

（2）利用垂徑定理和勾股定理求解。

設(shè)計意圖：板書設(shè)計能讓學(xué)生便于記憶本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并形成知識結(jié)構(gòu)框架。

[此教學(xué)實錄榮獲2014年第十屆全國民族中學(xué)“民教杯”信息技術(shù)與教學(xué)融合技能競賽一等獎]

（責(zé)編 林 劍）