馮麗霞，袁　敏

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心,陜西 西安　710127;2.山西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 臨汾　041000)摘要：連續(xù)線性泛函表示是泛函分析的一個重要分支。弗雷歇和里斯在連續(xù)線性泛函表示方面做出了重要工作。通過文獻(xiàn)考證和歷史分析,從目的、方法、影響3個方面詳細(xì)比較分析了二人在同一工作中的本質(zhì)區(qū)別,闡述了他們研究風(fēng)格不同的內(nèi)在原因。為泛函分析的教學(xué)提供歷史視角。

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·科學(xué)技術(shù)史·

弗雷歇和里斯泛函表示思想比較分析

馮麗霞1，2，袁敏1

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心,陜西 西安710127;2.山西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 臨汾041000)摘要：連續(xù)線性泛函表示是泛函分析的一個重要分支。弗雷歇和里斯在連續(xù)線性泛函表示方面做出了重要工作。通過文獻(xiàn)考證和歷史分析,從目的、方法、影響3個方面詳細(xì)比較分析了二人在同一工作中的本質(zhì)區(qū)別,闡述了他們研究風(fēng)格不同的內(nèi)在原因。為泛函分析的教學(xué)提供歷史視角。

弗雷歇;里斯;連續(xù)線性泛函表示

連續(xù)線性泛函(簡稱泛函)的表示是數(shù)學(xué)綜合和解析思想的完美結(jié)合,是泛函分析理論建立之前的重要思想基礎(chǔ),也是泛函分析理論建立之后的一個重要研究分支。弗雷歇(Maurice Fréchet,1878—1973)是抽象空間理論的創(chuàng)立者,里斯(Frederic Riesz,1880—1956)是泛函分析理論的奠基者,二人都在泛函表示方面做了重要工作,已有研究文獻(xiàn)對他們在此方面的工作都有綜述。文獻(xiàn)[1]對弗雷歇一生的研究工作做了全面的敘述和評析,文獻(xiàn)[2]分析了阿達(dá)瑪(Jacques Hadamard,1865—1963)對弗雷歇在泛函表示工作上的影響,文獻(xiàn)[3]對里斯之前的泛函工作做了概述,文獻(xiàn)[4]從解析和綜合的角度分析了里斯泛函表示中的哲學(xué)思想,文獻(xiàn)[5]在弗雷歇工作的基礎(chǔ)上重點陳述了里斯泛函表示的工作及其在泛函分析史中的地位。顯然弗雷歇和里斯對同一問題的不同處理方式與其思想方法密切相關(guān),但鮮有文獻(xiàn)對他們在這一工作中所表達(dá)的思想方法進(jìn)行具體比較分析。數(shù)學(xué)思想始終是數(shù)學(xué)史研究關(guān)注的主題,在很大程度上,數(shù)學(xué)史就是數(shù)學(xué)思想史[6]。有鑒于此,本文在研讀相關(guān)原始文獻(xiàn)基礎(chǔ)上,從目的、方法、影響3方面對他們的泛函表示工作對比分析,試圖還原他們工作之間的聯(lián)系與區(qū)別,分析其中所蘊(yùn)含的思想與內(nèi)在本質(zhì),以期更好地理解泛函分析的歷史發(fā)展過程,也為泛函分析的教學(xué)提供歷史視角。

1　動機(jī)與目的

1.1弗雷歇的動機(jī)與目的

弗雷歇關(guān)于泛函的表示工作始于其導(dǎo)師阿達(dá)瑪1903年發(fā)表的一篇短注[7],該文中阿達(dá)瑪給出了C[a,b]上泛函的一種積分極限的表示形式。弗雷歇以此為出發(fā)點,于1904至1907年發(fā)表了3篇關(guān)于泛函表示的文章[8-10],構(gòu)成其抽象分析理論的一部分。

對相關(guān)文獻(xiàn)分析可知,弗雷歇專注于泛函表示工作,并未涉及該工作之外的其他研究,這與其抽象分析理論的建立框架一致,其目的就是要給出由沃爾泰拉(Vito Volterra,1860—1940)創(chuàng)立的泛函的解析表示,試圖通過具體的函數(shù)來表示抽象的泛函[4]。弗雷歇從橫(函數(shù)的范圍)、縱(表示的形式)兩方面對泛函的表示問題進(jìn)行了深入探討,滲透了他對這一問題的思考和認(rèn)識,這在1905年的文獻(xiàn)中表現(xiàn)尤為突出。該文中,弗雷歇并未給出令人滿意的結(jié)果,更多的是闡述了他對這一問題的深思,但正是這些思考,使他認(rèn)識到更廣泛的函數(shù)空間及其上泛函更一般的表達(dá)形式,這為其在第3篇文獻(xiàn)中對泛函表示問題的突破奠定了基礎(chǔ)。正如杜格所言“(弗雷歇)在泛函上的興趣以及關(guān)于它們的表示毫無疑問持續(xù)了十年多,在此期間,他不斷(對這一問題)批判、重證、推廣和改進(jìn)”[4]?？梢哉f,弗雷歇關(guān)于泛函表示的工作是在抽象綜合觀點下對這一抽象概念的解析分析。

1.2里斯的動機(jī)與目的

里斯關(guān)于泛函的表示工作始于其對希爾伯特(David Hilbert,1862—1943)積分方程理論的研究,在里斯-費(fèi)舍爾定理的應(yīng)用中,他提到關(guān)于L2[a,b]上泛函的表示[11],這是他泛函表示的最初工作。隨后里斯完全解決了始于阿達(dá)瑪,經(jīng)弗雷歇深入探討的C[a,b]上泛函的表示問題[12],Lp[a,b]，lp以及希爾伯特空間上泛函的表示問題[13-15]，共發(fā)表了5篇文章,時間跨度達(dá)20年。

里斯的泛函表示工作始終與求解方程問題相結(jié)合。除C[a,b]上泛函的表示工作之外,里斯早期在(函數(shù)或序列)空間上泛函的表示工作總是穿插在其對(積分或無限維線性)方程(組)的研究中, 這表明里斯最初不是以解決泛函的表示問題為主要或唯一目的, 這在后人歸功于里斯的lp上的泛函表示工作表現(xiàn)更為突出。這部著作[14]中, 他并沒有直接提及l(fā)p上泛函的表示, 只是隱含在其對無窮線性方程組的研究中。 即在C[a,b]上泛函的表示思想,之后也被應(yīng)用到奇異積分方程理論的研究中[16]。

2　思想與方法

2.1弗雷歇的思想與方法

在泛函表示工作中，弗雷歇摒棄了阿達(dá)瑪從函數(shù)積分表達(dá)形式出發(fā)的方法。無論是C[a,b],[a,b]上有界可測函數(shù)空間還是L2[a,b],弗雷歇都從所考慮函數(shù)空間中函數(shù)的(廣義)傅里葉級數(shù)表示形式出發(fā),這些級數(shù)按照其所在函數(shù)空間中的距離收斂,再由泛函的連續(xù)線性，作用在函數(shù)上的泛函就等于作用在級數(shù)中每一項后得到的級數(shù)。這樣,類似于函數(shù)的冪級數(shù)表示形式,給出了泛函的一種級數(shù)表示形式。阿達(dá)瑪?shù)墓ぷ鞔偈垢ダ仔诩墧?shù)表示基礎(chǔ)上進(jìn)一步表示為積分(極限)的形式。縱觀弗雷歇在此方面的工作,我們可構(gòu)造一個簡單模型來說明其思想與方法。

弗雷歇的突破之處在于對{cn}繼續(xù)分析,進(jìn)一步確定{cn}可能是哪個函數(shù)的(廣義)傅里葉系數(shù),并由此構(gòu)造出該函數(shù),從而給出泛函的積分(的極限)的表達(dá)形式。這一突破的成功之處是給出了L2[a,b]上泛函的完全表示。其局限之處也在于完全依賴所考慮空間中函數(shù)的解析表示,弗雷歇已具有空間的思想,但沒有從空間的整體出發(fā)。

2.2里斯的思想與方法

分析里斯的泛函表示工作,可看到他是從該函數(shù)空間上泛函可能具有何種表示形式出發(fā),然后證明該函數(shù)空間上的泛函確實具有此形式。最典型的例子為C[a,b]上泛函的表示,里斯首先認(rèn)識到黎曼-斯蒂杰積分就能表示C[a,b]上的連續(xù)線性泛函,接著他通過C[a,b]上的泛函去構(gòu)造可能被用來表示該泛函的有界變差函數(shù)。同樣在Lp[a,b]上泛函的表示工作中,他首先認(rèn)識到Lq[a,b]中的任一函數(shù)與Lp[a,b]中函數(shù)的勒貝格積分就確定Lp[a,b]上的一個泛函,接著利用Lp[a,b]上的泛函去構(gòu)造可能被用來表示該泛函的Lq[a,b]中的函數(shù)。

在對泛函認(rèn)識和構(gòu)造函數(shù)的過程中,里斯的一個重要思想是認(rèn)識到并充分利用連續(xù)線性泛函的有界性,從中可看到里斯對黎曼-斯蒂杰積分和勒貝格積分的嫻熟運(yùn)用。里斯的另一重要思想是將泛函表示與某類積分方程解的存在條件之間建立了等價關(guān)系,得以從更高觀點分析具體問題。迪厄多內(nèi)(Jean Alexandre Eugène Dieudonné,1906—1992)稱“(里斯的方法)是與盛行于所在時代線性代數(shù)概念的完全脫離”[5]。可以說此時里斯已經(jīng)具有非常明確的空間思想,與弗雷歇局限于空間中每一函數(shù)的具體表達(dá)形式不同,他是從空間整體出發(fā)來考慮其上的連續(xù)線性泛函。

2.3弗雷歇和里斯關(guān)于L2[a,b]上連續(xù)線性泛函表示思想分析

弗雷歇和里斯同年(1907年)在同一期刊上發(fā)表了關(guān)于L2[a,b]上泛函的表示工作,而且在此前后,二人在學(xué)術(shù)交流上通信頻繁,信中或多或少都提到自己或?qū)Ψ降墓ぷ?可以說二人在這同一工作中互相促進(jìn)啟發(fā),但其主要思想又是互相獨(dú)立的。

結(jié)合里斯和弗雷歇的具體文獻(xiàn),我們看到弗雷歇關(guān)于L2[a,b]上泛函的表示工作只是其文獻(xiàn)(1907年)的一部分(第二部分,該文共分三部分),在該文中弗雷歇首先研究有界可測函數(shù)空間上的泛函表示,在第三部分又研究了幾類其他函數(shù)空間上的泛函表示,這幾類函數(shù)空間上表示的方法與前文提到的模式完全一致,都是以函數(shù)的(廣義)傅里葉級數(shù)為出發(fā)點。弗雷歇得到L2[a,b]上泛函的完全表示在一定程度上是一種巧合,其方法正好與L2[a,b]中函數(shù)的性質(zhì)相吻合,同樣的方法對于有界可測函數(shù)空間,他只能給出其上泛函積分極限的表示形式而沒有給出完全表示也印證了這一點。

而里斯關(guān)于L2[a,b]上泛函的表示是后來被稱為里斯-費(fèi)舍爾定理的一個應(yīng)用,應(yīng)該說里斯是通過L2[a,b]與l2之間的同構(gòu),間接給出了L2[a,b]上泛函的完全表示。從里斯隨后關(guān)于C[a,b]和Lp[a,b]上泛函表示中的思想和方法來看,其自成一派,與弗雷歇的方法完全相異。但里斯進(jìn)入到L2[a,b]上泛函表示的研究領(lǐng)域應(yīng)該是受弗雷歇在此方面工作的影響,因為在此之前里斯的工作并沒有涉及到任何泛函表示的問題[1]。

3　貢獻(xiàn)與影響

從歷史發(fā)展的角度來看,顯然里斯的泛函表示影響深遠(yuǎn)。但不可否認(rèn),正是因為弗雷歇對阿達(dá)瑪工作的延續(xù)和深入研究,使得泛函表示為里斯等人所熟知,可以說泛函表示理論開創(chuàng)于阿達(dá)瑪,得到弗雷歇的傳承和發(fā)揚(yáng),由里斯達(dá)到極致。

在方法上,雖然弗雷歇沒有劃時代的突破,但從其相關(guān)文獻(xiàn)可知,他一直在不斷思考泛函表示問題。所考慮(函數(shù))空間的范圍擺脫了連續(xù)函數(shù)空間的限制,他將泛函表示的空間從C[a,b]空間拓展到有界可測函數(shù)空間,再到L2[a,b]空間等,為更廣泛空間上泛函的表示提供基礎(chǔ)。他考慮利用積分來表示泛函的條件,這一探索開啟了新的前景,里斯的工作使這一探索變成現(xiàn)實;同時認(rèn)識到泛函表示的豐富性,在其1904年的文獻(xiàn)中,弗雷歇就已經(jīng)認(rèn)識可通過非連續(xù)函數(shù),甚至勒貝格積分表示C[a,b]上的連續(xù)線性泛函;利用泛函來構(gòu)造函數(shù),這一思想與里斯利用泛函作用在特殊函數(shù)上來構(gòu)造函數(shù)的有異曲同工之妙。

里斯在泛函表示方面的工作不僅僅是給出這些抽象概念的解析表示,實現(xiàn)了利用函數(shù)(或向量)來表示泛函,更重要的是使用的方法和其中所蘊(yùn)含的對偶思想為后來漢恩-巴拿赫泛函延拓定理的形成提供了思想;在泛函中滲透了空間思想,為對偶空間理論的建立奠定基礎(chǔ);間接促進(jìn)了分析學(xué)家對自反空間的認(rèn)識;為對偶算子理論的建立奠定基礎(chǔ)。由于里斯思想和方法的深遠(yuǎn)影響,后人將泛函表示方面的工作統(tǒng)稱為里斯表示定理。

4　結(jié)　論

由以上分析知,弗雷歇和里斯關(guān)于泛函表示的出發(fā)點與方法不同。弗雷歇試圖對泛函建立與函數(shù)類似的理論,給出泛函的解析表示,而里斯在對積分方程的研究中建立了積分方程與泛函表示之間的聯(lián)系。弗雷歇過分依賴于同時代函數(shù)級數(shù)的表達(dá)形式,所得結(jié)果有一定局限,除L2[a,b]上的泛函表示外,其余空間上的表示未擺脫極限束縛;而里斯從泛函與空間的整體思想出發(fā),給出了具體空間上連續(xù)線性泛函的完全表示。在泛函表示方面,他們出發(fā)點、方法的差異導(dǎo)致其產(chǎn)生的影響和貢獻(xiàn)也不盡相同,弗雷歇使泛函表示得以傳承和發(fā)揚(yáng),而里斯使泛函表示成為對偶空間理論的重要部分。二人對同一問題研究風(fēng)格的不同與其學(xué)習(xí)和工作經(jīng)歷不無關(guān)系。弗雷歇受法國學(xué)派與其導(dǎo)師阿達(dá)瑪?shù)挠绊?稱阿達(dá)瑪為其“精神之父”,因此弗雷歇更多地是以綜合思想為主導(dǎo),側(cè)重于抽象概念一般理論的建立。而里斯兼具有法國學(xué)派的綜合思想和德國學(xué)派的解析思想,被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的外交家,他側(cè)重于具體空間中問題的研究,但在具體問題的研究中又蘊(yùn)含著深刻的抽象理論,因而被稱為泛函分析的奠基者之一。

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(編輯亢小玉)

Comparison and analysis on functional representation of Riesz and Frechet

FENG Li-xia1,2, YUAN Min1

(1.Center for the History of Mathematics and Science, Northwest University, Xi′an 710127, China;2.School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041000， China)

The representation of continuous linear functional is one of the important branches in functional analysis. Both Fréchet and Riesz did important work on representation of continuous linear functional. By literature review and historic analysis, it is to compare and analyze the essential difference from objection, method and influence in their work, outline the internal reason lying in their differences, which furnishes historic background for teaching of functional analysis.

Maurice Fréchet; Frederic Riesz; representation of continuous linear functional

2015-04-11

國家自然科學(xué)基金資助項目(11571276,11501444)；陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2014JM1017)；陜西省教育廳科研計劃基金資助項目(15JK1735，11JK0470)；西北大學(xué)科學(xué)研究基金資助項目(12NW04)

馮麗霞，女，山西聞喜人，西北大學(xué)博士生，從事近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究。

袁敏，女，陜西西安人，西北大學(xué)副教授，從事數(shù)學(xué)史研究。

N09

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-027