黃　磊

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鎮(zhèn)江分院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

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極限運(yùn)算中常用方法易錯(cuò)點(diǎn)解析

黃磊

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鎮(zhèn)江分院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)(特別是微積分)中的基本運(yùn)算。本文就解答極限問題過程中出現(xiàn)的常見問題加以歸納，結(jié)合例題分析，整理典型錯(cuò)解，理清思路并給出教學(xué)建議。

極限；錯(cuò)題；分析

微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而極限運(yùn)算又是微積分中的基本運(yùn)算。但是由于學(xué)生長(zhǎng)期習(xí)慣于初等數(shù)學(xué)的思維方式，初學(xué)微積分時(shí)往往不太適應(yīng)。極限的基本運(yùn)算建立在嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)上，如果對(duì)運(yùn)算的公式、法則與定理掌握不準(zhǔn)確，很容易造成運(yùn)算上的失誤，并且還自查不出原因。在遇到相似的題目時(shí)，也很難快速找到合適的法則進(jìn)行解答。這些問題都是教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)引起重視的地方。

在學(xué)生運(yùn)用極限公式、法則與定理解決求極限問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些容易混淆的問題。下面將通過幾個(gè)典型例子對(duì)這些問題做出分析，以期拋磚引玉。

1　兩個(gè)重要極限

(1)

(2)

式(1)與式(2)雖然形似，但實(shí)際上式(1)適用范圍更廣。式(1)中x是實(shí)數(shù)，可正可負(fù)，且為連續(xù)變量；而式(2)中n只限于正整數(shù)。

實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯以下的錯(cuò)誤：

(3)

(4)

(5)

詳細(xì)寫出式(5)的演算步驟如下：

=e-2

(6)

特別注意，式(6)中的變量是弧度制單位。

2　極限四則運(yùn)算法則

2.1極限存在

=∞-∞

=0

這一解法的第一步是盲目搬用極限的減法法則，第二步是把∞當(dāng)有限數(shù)進(jìn)行計(jì)算，均是錯(cuò)誤的。

正確解法如下：

2.2項(xiàng)數(shù)有限

法則可推廣到函數(shù)(包括數(shù)列)個(gè)數(shù)不止兩個(gè)的情況，但個(gè)數(shù)只能是有限個(gè)，若個(gè)數(shù)為正無(wú)窮大，簡(jiǎn)單地運(yùn)用法則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。

=0+0+…+0

=0

正確解法如下：

3　極限存在定理

∴無(wú)法用極限存在定理來求出。

解1∵sinx有界，

=0

這個(gè)問題還有著各種各樣的錯(cuò)解，如：

這些錯(cuò)誤比較明顯，不再贅述。

例4常用規(guī)范解法是運(yùn)用極限存在定理，即

4　總結(jié)

求解極限的方法多種多樣，在運(yùn)用不同方法解答時(shí)，必須注意強(qiáng)調(diào)前提條件，注意適用范圍。正確掌握極限的運(yùn)算方法和運(yùn)算技巧，對(duì)學(xué)好微積分課程具有重要意義。在日常教學(xué)中，教師要更有效地把握核心內(nèi)容，讓學(xué)生少走彎路，讓教學(xué)更高效。

[1]華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析：上[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)：上[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]中國(guó)人民大學(xué).微積分[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]景慧麗.極限求解方法研究[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2015(5)：16-17.

Analysis of Mistakes in Common Methods of Limit Operations

HUANG Lei

(Zhenjiang Branch of Jiangsu Union Technical Institute，Zhenjiang Jiangsu212000，P.R.China)

Limit operations are basic operations in higher mathematics(especially calculus)．This paper sums up common problems in limit solutions，analyzes examples，sorts out typical wrong solutions，and gives relevant teaching suggestions．

limit；wrong solution；analysis

2016-06-16

黃磊(1983-)，講師，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)教學(xué)。

O171

A

1008- 8032(2016)04- 0014- 03