于昊天，時　寶

（海軍航空工程學院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

非線性系統(tǒng)分數(shù)階滑?？刂品治雠c設(shè)計

于昊天，時寶

（海軍航空工程學院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

文章對非線性整數(shù)階或分數(shù)階系統(tǒng)，提出了統(tǒng)一的分數(shù)階滑?？刂品椒?。首先，對整數(shù)階控制系統(tǒng)，設(shè)計分數(shù)階滑模面，提出分數(shù)階趨近律，通過對倒立擺系統(tǒng)的仿真，驗證了該方法的有效性；然后，引入最優(yōu)控制指標，研究了滑?？刂齐A次α對控制效果的影響，對于該整數(shù)階系統(tǒng)，控制指標最優(yōu)時α??；最后，將本文方法推廣到分數(shù)階系統(tǒng)的控制，通過對分數(shù)階Chen系統(tǒng)的仿真，驗證了該方法的有效性，并發(fā)現(xiàn)對于該系統(tǒng)控制指標最優(yōu)時，控制階次與系統(tǒng)階次不同元。

非線性控制系統(tǒng)；分數(shù)階系統(tǒng)；分數(shù)階滑?？刂?；倒立擺；分數(shù)階Chen系統(tǒng)

17世紀，在經(jīng)典微積分建立不久，分數(shù)階微積分已經(jīng)初步定義，但是由于缺乏明確物理意義，300多年來并沒有引起科學家們足夠的關(guān)注，其發(fā)展也僅停留在理論上，自20世紀60年代，這個塵封已久的概念重新回到了學者們的視野中。尤其是90年代以來，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，尤其是航空航天技術(shù)、生物學、粘彈性材料研究的發(fā)展和應(yīng)用，分數(shù)階微積分巨大的研究潛力和應(yīng)用價值引起越來越多的關(guān)注，也使其得到了快速的發(fā)展［1-2］。

遺傳性、自相似性在客觀世界物理現(xiàn)象中廣泛存在，半導體的例子也許最能說明分數(shù)階模型要比整數(shù)階模型更加準確［3］。與此同時，分數(shù)階控制方法的研究和應(yīng)用也在最近20年得到了極大的發(fā)展。分數(shù)階控制器目前主要有由Oustaloup團隊提出的分數(shù)階魯棒控制器CRONE，現(xiàn)在已有Matlab專門的工具箱［4］；由Podlubny提出的PIλDμ控制器，這也是目前研究比較廣泛的方法［5-7］。這些控制方法在模擬仿真和部分應(yīng)用中，較傳統(tǒng)控制方法展示出了一定的優(yōu)點，如收斂更快，超調(diào)量更小，誤差更小等等.

近年來，隨著非線性理論的發(fā)展和工業(yè)控制技術(shù)的進步，滑?？刂品椒ㄈ〉昧撕軐玫难芯砍晒?-9］。很多學者對機械系統(tǒng)、機電系統(tǒng)、混沌系統(tǒng)等分數(shù)階滑?？刂七M行了一系列研究［10-20］。文獻［10-11，16］設(shè)計的控制量中出現(xiàn)了Dα（sgn（s）。文獻［13］在一階微分系統(tǒng)的控制中引入了D1+αe，取得較好的控制效果，但是引入的分數(shù)階微分次數(shù)超過原系統(tǒng)的階次，仍有改進的余地。

1　分數(shù)階微積分相關(guān)知識

分數(shù)階微積分有各種定義，如Riemann-Liouville定義，Grünwald-Lletnikov定義，本文使用Caputo定義。［2］

定義1：α階Caputo導數(shù)定義如下：

式中，n-1＜α≤n。

定義2：α階積分計算方法如下：

式中，α＞0。

Caputo定義下導數(shù)有以下性質(zhì)［2］。

性質(zhì)1：線性性

性質(zhì)2：零初值情況下導數(shù)復合性質(zhì)

引理1：［15］對于異元線性分數(shù)階方程組描述的系統(tǒng)

式中：x=（x1，x2，…，xn）∈?n；αi是有理數(shù)且0＜αi≤1，i=1，2，…，n。

假設(shè)M是α1，α2，…，αn分母的最小公倍數(shù)，并定義

則系統(tǒng)零解是Lyapunov意義下全局漸近穩(wěn)定的充要條件是det（Δ（λ）=0的所有的根λ滿足。

引理2：［15］系統(tǒng)

a1x+a2D1-αx+…+anDn-1-αx+Dn-αx=0，-1＜α≤1，在Lyapunov意義下全局漸近穩(wěn)定的充要條件是，分數(shù)次冪特征多項式

引理3：［22］函數(shù)x（t）∈?在定義域上是連續(xù)可微的。那么對?t≥t0，有，其中0＜α≤1。

2　整數(shù)階系統(tǒng)的分數(shù)階滑?？刂?/h2>

對單輸入動力學系統(tǒng)［23］

式中，x，u∈?是系統(tǒng)的輸出和控制輸入。

通常，f（x）、b（x）≠0不是精確已知的，但是它們能夠被已知連續(xù)函數(shù)F1（x）、F2（x）界定。

現(xiàn)在的控制問題是：在 f（x）、b（x）具有建模不精確性的情況下，設(shè)控制律使得狀態(tài)x，跟蹤特定的時變狀態(tài)xd。

假設(shè)初始時刻t0=0，且初始狀態(tài)滿足。

令e=x-xd為跟蹤誤差。

2.1滑模面的設(shè)計

設(shè)計滑模面

式中，-1＜α≤1參數(shù)a1，a2，…，an∈?，且滿足Hurwitz條件，即滿足引理2中的漸近穩(wěn)定條件。

那么，方程s=0是漸近穩(wěn)定的，并且s的界可以轉(zhuǎn)化為跟蹤誤差e的界。

特別地，當n=1時。系統(tǒng)滑模面化簡為s=a1e+D1-αe，由s=0得到D1-αe=-a1e，當a1＞0時，零解漸近穩(wěn)定。

如果s有界，不妨設(shè)|s|≤C，對微分方程兩邊做Laplace變換，

并且注意到e（0）=0，化簡得到

兩邊做Laplace逆變換，

其中，*是卷積符號，因此，

由Mittag-Leffler函數(shù)和函數(shù)（t-τ）α-1的性質(zhì)知：

式中，B（1-α，α）是Beta函數(shù)，在α給定的情況下是常數(shù)，即e是有界的。

當n＞1時，可以通過遞推的方法得到，對于滿足引理2條件參數(shù)族a1，a2，…，an，當s有界時e有界。

2.2趨近律

由于e（0）=e′（0）=…=e（n-1）（0）=0，于是，

式中，j=1，…，n。

由性質(zhì)2，得到DαDj-αe=Dje=e（j），于是，

設(shè)計控制量u使得：

式（2）中：ε≥0；sign（s）是符號函數(shù)。

把式（2）代入式（1）得到：

當0＜α＜1時，由引理3知：

所以，在該控制律下，系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

當 f精確已知時，上述控制量u的設(shè)計滿足要求。

當 f不精確，或者存在隨機擾動時，有2種處理方法。

方法1：在模型建立中，加入隨機干擾項d（x），假設(shè)其滿足|d|≤k0，系統(tǒng)的控制量可以設(shè)計為

此時可以得到Dαs≤-ε·sign（s）-ks，仍然滿足穩(wěn)定性要求。

方法2：利用 f（x）的界定函數(shù)F（x）。設(shè)此時 f（x）的估計函數(shù)為），滿足。

構(gòu)造控制量：

代入到Dαs中得到：

仍然滿足穩(wěn)定性要求。

2.3倒立擺系統(tǒng)控制的仿真研究

為驗證本文方法的有效性，以倒立擺系統(tǒng)［9］作為仿真模型進行研究。

一級倒立擺的非線性方程為

x為倒立擺與垂直軸之間的夾角，m為擺的質(zhì)量，2l為擺的長度，a=1/（m+M），M為小車的質(zhì)量，g為重力加速度，u為控制量，此處為施加給小車的力。

取m=2kg，M=8kg，l=0.5 m，g=9.8 m/s2，初始角度 x（0）=65°，x′（0）=0，擺的期望軌跡為xd=sint。

假設(shè)系統(tǒng)存在隨機擾動d=0.2sin（3t），本系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，選取滑模面

控制量

選取 α=0.75，a1=1，a2=5，ε=10，k=200，k0=0.2。

仿真結(jié)果如圖1～3所示。

仿真結(jié)果顯示，本文方法能夠有效地完成使實際角度跟隨期望角度目標，由于有隨機擾動的存在，實際角度總是會產(chǎn)生震蕩。

圖1　實際角度x與期望角度xd時域圖Fig.1 Practical anglexand expected anglexd

圖2　角度誤差e時域圖Fig.2 Time-domain plot of errore

圖3　滑模量s時域圖Fig.3 Time-domain plot of the sliding modes

2.4滑模控制的最優(yōu)控制階次

本文方法中引入了滑膜控制參數(shù)α（分數(shù)階次），仿真發(fā)現(xiàn)，固定其他參數(shù)的情況下，不同α的控制效果是不同的。

為了更加精確的描述控制效果，引入二次型控制性能指標：

式中，L≥0，對任意t∈?+，有Q（t）＞0，R（t）＞0。

二次型性能指標中：

綜上，二次型控制性能指標是系統(tǒng)控制過程中末端狀態(tài)、動態(tài)誤差和能量消耗的度量，目標就是選取α使得指標J最小。

對于上文中的倒立擺系統(tǒng)，α與指標J變化關(guān)系如圖4所示。

控制指標最優(yōu)時α=0.802，此時系統(tǒng)各狀態(tài)變化如圖5～7所示。

圖4　α與指標J變化關(guān)系Fig.4 Change relation ofαand indexJ

圖5　實際角度x與期望角度xd時域圖Fig.5 Practical anglexand expected anglexd

圖6　角度誤差e時域圖Fig.6 Time-domain plot of errore

圖7　滑模量s時域圖Fig.7 Time-domain plot of the sliding modes

3　分數(shù)階系統(tǒng)的分數(shù)階滑模控制

對分數(shù)階系統(tǒng)Dn+px=f（t，x），加入控制量u得到Dn+px=f（x）+b（x）·u，其中n∈?+，0≤p＜1。

3.1滑模面與趨近律設(shè)計

設(shè)計滑模面

式中：-1＜α≤1；參數(shù)a1，a2，…，an∈?，且滿足Hurwitz條件，即滿足引理2中的漸近穩(wěn)定條件。

類似整數(shù)階系統(tǒng)分析可以得到：

設(shè)計控制量u使得

于是，

由引理3可知：

所以，在該控制律下，系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。特別地，n=0時，系統(tǒng)方程為：

對應(yīng)滑模面：

控制量為

3.2分數(shù)階Chen系統(tǒng)的控制仿真

本文對分數(shù)階Chen系統(tǒng)的控制進行仿真研究。觀察分數(shù)階Chen系統(tǒng)：

分數(shù)階Chen系統(tǒng)一般是電路系統(tǒng)，所以可以對y進行控制，但由于觀測誤差的存在，這種控制不能完全使得y=0。

同時，當y=0時，系統(tǒng)簡化為：

當c1，c2＞0時，x、z是Mittag-Leffler漸進穩(wěn)定的。因此，對y加入控制：

式中，

取參數(shù)（c1，c2，c3，c4）=（35，3，28，-7），階次（q1，q2，q3）=（0.9，0.92，0.93），初始值（x0，y0，z0）=（-9，-5，14），在10 s內(nèi)混沌系統(tǒng)仿真圖像如圖8～9所示。y、z的相圖幾乎是重合的，在下文的仿真中，只給出x、z的相圖。

圖8?。▁，y，z）變化圖像Fig.8 Plot of（x，y，z）

圖9　x、z的時域圖Fig.9 Time-domain plot ofxandz

取控制參數(shù)a=1、ε=0.1、k=0.1、α=-0.3。仿真圖像如圖10～12所示。

圖10　控制后（x，y，z）變化圖像（α=-0.3）Fig.10 Change image of control（x，y，z）（α=-0.3）

圖11　控制后x、z的時域圖（α=-0.3）Fig.11 Time-domain control ofxandz（α=-0.3）

取控制參數(shù)a=1，ε=0.1，k=0.1，α=0.2。仿真圖像如圖13～15所示。

圖14　控制后x、z的時域圖（α=0.2）Fig.14 Time-domain control ofxandz（α=0.2）

圖15　滑模量s的時域圖（α=0.2）Fig.15 Time-domain plot of the sliding modes（α=0.2）

以上2個仿真雖然只有滑?？刂齐A次不同，但控制效果差別很大。階次α=-0.3時，x、y、z、s都有振動，但是總體收斂速度很快，1s內(nèi)到達穩(wěn)定。階次α=0.2時，x、y、z、s不存在振動，單調(diào)趨于0，但是總體收斂速度較慢，10 s以后才能到達穩(wěn)定。下面專門討論控制階次對控制效果的影響。

3.3滑模控制最優(yōu)階次

取a=0.012，ε=0.1，k=0.1。用前文控制指標J，仿真得J隨滑?？刂齐A次α變化圖像，見圖16。在α∈（-1，1）內(nèi)，控制效果在（-0.9，-0.2）內(nèi)較好。此時滑模面方程含有積分項和微分項，比單純含有微分項控制效果要好。仿真得到最優(yōu)滑模控制階次a=-0.805。此時，各狀態(tài)量隨時間變化見圖17～20。

圖16　控制指標J隨滑模控制階次α變化圖像Fig.16 Change image of control orderαand indexJ

圖17　最優(yōu)控制下（x，y）相圖Fig.17 Phase diagram of optimum control（x，y）

圖18　最優(yōu)控制下（y，z）相圖Fig.18 Phase diagram of optimum control（y，z）

圖19　最優(yōu)控制下x、z時域圖Fig.19 Time-domain plot of optimum controlxandz

圖20　最優(yōu)控制下滑模量s時域圖Fig.20 Time-domain plot of the optimum control sliding modes

4　結(jié)論

本文對非線性整數(shù)階或分數(shù)階系統(tǒng)提出了統(tǒng)一的分數(shù)階滑模控制方法，相對于傳統(tǒng)的整數(shù)階滑?？刂坪统Ｓ玫耐謹?shù)階滑?？刂疲黾恿嘶た刂齐A次α，多了一個控制參數(shù)，使控制器設(shè)計的靈活度大大增加。通過仿真分析，本文提出的滑?？刂圃O(shè)計方法，對整數(shù)階系統(tǒng)的最優(yōu)控制滑模控制階次為分數(shù)階，對分數(shù)階系統(tǒng)的最優(yōu)滑?？刂齐A次α≠p，說明了本文方法的有效性。對于整數(shù)階系統(tǒng)控制，分數(shù)階的微分積分由于需要之前所有時刻的狀態(tài)進行計算，比整數(shù)階微分積分運算計算量要大，而對于分數(shù)階系統(tǒng)控制而言，非同元的控制方法在計算過程中不能消去對應(yīng)的分數(shù)階微積分項，則會增加運算量。是追求要更好的控制效果，還是要更快的運算速度，需要視情而定。最后，從傳統(tǒng)滑?？刂破靼l(fā)展變化出的模糊滑?？刂?，自適應(yīng)滑模控制，變結(jié)構(gòu)控制等等，都可以與分數(shù)階相結(jié)合。

［1］DIETHELM K.The analysis of fractional differential equations：an application oriented exposition using differential operators of Caputo type［M］.Berlin：Springer，2010：1-25.

［2］PODLUBNY I.Fractional differential equations：an introduction to fractional derivatives，fractional differential equations，to methods of their solution and some of their applications［M］.San Diego：Academic Press，1999：1-34.

［3］VLADIMIR V UCHAIKIN.Fractional derivatives for physicists and engineers：volume I background and theory ［M］.Beijing：Higher Education Press，2013：42-65.

［4］XUE DINGYU，CHEN YANGQUAN.A comparative introduction of four fractional order controllers［C］//Proceedings of the 4thWorld Congress，Intelligent Control andAutomation.2002.DOI：10.1109/WCICA.2002. 1020131.

［5］薛定宇，趙春娜.分數(shù)階系統(tǒng)的分數(shù)階PID控制器設(shè)計［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，24（5）：771-776. XUE DINGYU，ZHAO CHUNNA.Fractional order PID controller design for fractional order system［J］.Control Theory and Applications，2007，24（5）：771-776.（in Chinese）

［6］汪紀峰.分數(shù)階系統(tǒng)性能分析［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2011：1-33. WANG JIFENG.Control performance analysis for fractional order systems［M］.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2011：1-33.（in Chinese）

［7］PODLUBNY I.Fractional order systems and PIλDμcontrollers［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（1）：208-214.

［8］孫長銀，穆朝旭，張瑞民.高超聲速飛行器終端滑模控制技術(shù)［M］.北京：科學出版社，2014：1-40. SUN CHANGYIN，MU ZHAOXU，ZHANG RUIMIN. Hypersonic vehicle terminal sliding mode control technology［M］.Beijing：Science Press，2014：1-40.（in Chinese）

［9］張昌凡，何靜.滑模變結(jié)構(gòu)的智能控制理論與應(yīng)用研究［M］.北京：科學出版社，2005：1-53. ZHANG CHANGFAN，HE JING.Sliding mode variable structure of the intelligent control theory and application research［M］.Beijing：Science Press，2005：1-53.（in Chinese）

［10］AHMED E，EI-SAYED A M A，EI-SAKA HALA A A. On some routh-hurwitz conditions for fractional order differential equations and their applications in Lorenz，R?ssler，Chna and Chen Systems［J］.Physics Letters A，2006，358：1-4.

［11］AGHABABA M P.A novel terminal sliding mode controller for a class of non-autonomos fractional-order systems ［J］.Nonlinear Dynamics，2013，73：679-688.

［12］LIU JINKUN，SUN FUCHUN.Anovel dynamic terminal sliding mode control of uncertain nonlinear systems［J］. Control Theory andApplications，2007，5（2）：189-193.

［13］ZHANG BITAO，PI YOUGUO.Fractional order fuzzy sliding mode control for permanent magnet synchronous motor servo drive［J］.Control and Decision，2012，27（12）：1776-1780，1786.

［14］SHI BAO，YUAN JIAN，DONG CHAO.On fractional model reference adaptive control［J］.The Scientific World Journal，2014：1-8.DOI：10.1155/2014/521625.

［15］YUAN JIAN，SHI BAO，JI WENQIANG.Adaptive sliding mode control of a novel class of fractional chaoic systems［J］.Advances in Mathematical Physics，2013：1-13. DOI：10.1155/2013/576709.

［16］鄧立為.分數(shù)階滑膜控制理論及其應(yīng)用［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2014：1-50. DENG LIWEI.Control theory and its applications of fractional order sliding mode［D］.Harbin：Harbin Engineering University，2014：1-50.（in Chinese）

［17］XU H，MIRMIRANI M D，LOANOU PA.Adaptive sliding mode control design for a hypersonic flight vehicle ［J］.Guidance，Control，and Dynamics，2004，27（5）：829-838.

［18］DELAVARI H，GHADERI R，RANJBAR A，et al.Fuzzy fractional order sliding mode controller for nonlinear systems［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010，15（4）：963-978.

［19］EFE M ?.A sufficient condition for checking the attrativeness of a sliding manifold in fractional order sliding mode control［J］.Asian Journal of Control，2012，14（4）：1118-1122.

［20］EFE M ?.Integral sliding mode control of a quadrotor with fractional order reaching dynamics［J］.Transactions of the Institute of Measurement and Control，2011，33（8）：985-1003.

［21］CRUZ VARGAS-DE-LEóN.Volterra-type Lyapunov functions for fractional-order epidemic systems［J］.Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation，2015，24（1-3）：75-85.

［22］N AGUILA-CAMACHO，et al.Lyapunov functions for fractional order systems［J］.Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation，2014，19（9）：2951-2957.

［23］李惠峰.高超聲速飛行器制導與控制技術(shù)［M］.北京：中國宇航出版社，2012：435-441. LI HUIFENG.Guidance and control technology for hypersonic vehicle［M］.Beijing：China Astronautic Publishing House，2012：435-441.（in Chinese）

Analysis and Design of Fractional Sliding Mode Control for Nonlinear Systems

YU Haotian，SHI Bao
（Department of Basic Sciences，NAAU，Yantai Shandong 264001，China）

In this paper，a general fractional sliding control strategy was presented for both integer order and fractional order nonlinear systems.Firstly，for inter order systems，the fractional sliding mode surfaces were desiged，whose boundedness and stability were discussed.As an numerical example，an inverted pendulum system was effectively controlled.Secondly，the introduction of control index was introduced to seek the relationship between control orderαand control effect，and it was found when optimal control index was reached，α??.Finally，the method was applied in fractional order systems.The effective control of a fractional Chen system showed the effectiveness of the proposed method.And it showed that when optimal control index was reached，the control order didn’t equal to system’s order.

nonlinear control systems；fractional order systems；fractional sliding mode control；inverted pendulum；fractional Chen system

TP391

A

1673-1522（2016）04-0407-08

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.04.002

2016-03-06；

2016-04-13

山東省自然科學基金資助項目（ZR2014AM006）

于昊天（1988-），男，碩士生；時寶（1962-），男，教授，博士，博導。