李霄霄，馬 寧，劉 晗，顧解忡

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240; 2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

臍帶纜在潛器下放過程中的運(yùn)動(dòng)建模與仿真

李霄霄1,2，馬 寧1,2，劉 晗1,2，顧解忡1,2

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240; 2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

潛器在下放布置過程中需要考慮變長(zhǎng)度的臍帶纜對(duì)其運(yùn)動(dòng)的影響，在考慮流的情況下，對(duì)臍帶纜的有限差分模型進(jìn)行了改進(jìn)，并采用最小二乘方法求解由時(shí)間和空間上的中心差分格式離散后的非線性方程組。為了驗(yàn)證模型改進(jìn)的有效性，將潛器在均勻定常流中水平勻速直航時(shí)的數(shù)值解與該特殊情況下的解析解進(jìn)行比較，兩組解的吻合不僅證實(shí)了模型改進(jìn)的有效性，而且表明上述數(shù)值計(jì)算方法是可靠且有效的。在潛器下放布置運(yùn)動(dòng)給定的情況下，臍帶纜的運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果表明，潛器姿態(tài)角的調(diào)整會(huì)對(duì)拖曳點(diǎn)處的纜繩張力大小和變化趨勢(shì)產(chǎn)生顯著的影響，流在改變纜繩空間形狀的同時(shí)引起了纜繩對(duì)潛器作用力和力矩的非線性和時(shí)變性，臍帶纜總是阻止?jié)撈髯陨韯?dòng)力對(duì)運(yùn)動(dòng)速度和姿態(tài)角的改變，且對(duì)縱蕩運(yùn)動(dòng)的影響最大。

水下潛器；變長(zhǎng)度臍帶纜；有限差分法；最小二乘法；均勻定常流

Abstract:With consideration of current,the finite difference model for umbilical cable is improved to evaluate the effects of variable-length cable on underwater vehicle’s motion during its deployment.The least square method is adopted to solve the nonlinear equations discretized with central-difference scheme over time and space.The validity of the improved model is verified by comparing the numerical solution with the analytical one when the underwater vehicle is horizontally moving forward with a constant velocity in uniform steady flow.The agreement between numerical solutions and analytical ones not only confirms the validity of the improved model but also proves the reliability and validity of the numerical scheme.For the condition that the deployment motion of the underwater vehicle is given,the simulation results of the umbilical cable motion indicate that the adjustment of the underwater vehicle’s attitude angle can significantly affect the value and variation tendency of cable tension at tow-point.The existence of current causes the nonlinearity and time-dependency of force and moment acting on the underwater vehicle while changing the configurations of cable.Moreover,the umbilical cable always hinders the change of the underwater vehicle’s velocity and attitude angle powered by itself,and surge motion is most affected by the cable.

Keywords:underwater vehicles; length-variable umbilical cable; finite difference method; least square method; uniform steady flow

隨著海洋工程的不斷發(fā)展，帶纜水下潛器的應(yīng)用越來越多，也越來越受到研究者的重視，特別是拖曳系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題成為研究的熱點(diǎn)。目前，關(guān)于拖纜的動(dòng)力學(xué)問題主要采用有限差分法[1-2]和集中質(zhì)量法[3-4]來求解。早些年的研究主要集中于定長(zhǎng)度的拖纜[5-6]，對(duì)于變長(zhǎng)度纜的研究較少。近些年，關(guān)于變長(zhǎng)度纜問題的研究越來越多，F(xiàn)eng Z[7]采用有限差分法計(jì)算了信息纜對(duì)水下航行器運(yùn)動(dòng)的影響，盧軍[8]采用有限差分法對(duì)水下拖曳系統(tǒng)的收放安全性進(jìn)行了模擬計(jì)算；王飛、徐剛[9-10]等采用集中質(zhì)量法對(duì)收放纜速度為已知函數(shù)的拖纜收放問題進(jìn)行了研究，但計(jì)算結(jié)果有些擾動(dòng)，楊智棟[11]等采用集中質(zhì)量法對(duì)變長(zhǎng)度拖纜AUV的縱向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了建模與仿真。

本文基于有限差分模型，對(duì)考慮流作用下的現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了一定的改進(jìn)，并采用最小二乘法求解離散后的非線性方程組。為了驗(yàn)證模型改進(jìn)與最小二乘方法的有效性，將潛器在均勻定常流中勻速水平直航這一特殊情況的數(shù)值結(jié)果與解析解進(jìn)行了對(duì)比，使這種有效性得到了驗(yàn)證。文中還對(duì)潛器下放布置過程中的下潛與轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了仿真計(jì)算，并給出了臍帶纜的空間形狀變化及其對(duì)潛器運(yùn)動(dòng)的影響。

1 變長(zhǎng)度纜的運(yùn)動(dòng)建模

整個(gè)系統(tǒng)如圖1所示，由水面母船、傳輸信號(hào)的臍帶纜和水下潛器ARV組成?？紤]到水面母船的質(zhì)量相對(duì)于臍帶纜和水下潛器大很多，可以認(rèn)為臍帶纜傳遞給水面母船的張力不會(huì)使母船產(chǎn)生相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)，因此整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就集中于臍帶纜和水下潛器上。下面給出變長(zhǎng)度臍帶纜的運(yùn)動(dòng)建模過程。

1.1坐標(biāo)系的建立及坐標(biāo)變換關(guān)系

在圖1中，建立三個(gè)坐標(biāo)系：船體固定的整體坐標(biāo)系i-j-k、臍帶纜局部坐標(biāo)系t-n-b和潛器局部坐標(biāo)系iv-jv-kv。

圖1 坐標(biāo)系示意Fig.1 Coordinate system

潛器局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為[12]：

臍帶纜局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為[2]：

根據(jù)式(1)～(3),可以得到纜繩局部坐標(biāo)系與潛器局部坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系：

1.2臍帶纜的動(dòng)力平衡方程式

假定臍帶纜是具有圓形橫截面的細(xì)長(zhǎng)柔性柱體。臍帶纜在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要受到重力、浮力、流體阻力、慣性力以及水面母船和水下潛器的拉力作用，取單位微元的臍帶纜進(jìn)行受力分析，可以得到臍帶纜的動(dòng)力平衡方程式：

同時(shí)考慮到臍帶纜在運(yùn)動(dòng)過程中，纜形變化是連續(xù)光滑的，則有纜的連續(xù)性方程：

式(6)中右邊部分的上角標(biāo)表示對(duì)未拉伸狀態(tài)時(shí)纜繩長(zhǎng)度s的偏導(dǎo)數(shù)。

聯(lián)立矢量方程(5)、(6)，并設(shè)未知矢量Y=[T,Vt,Vn,Vb,α,β]T，通過推導(dǎo)化簡(jiǎn)，可以將上述矢量方程組寫成如下的矩陣形式：

式中：e=1/EA，m1=m0+ρA0，wc=(m0-ρA0)g，N1=-ρA0(Jxcosα-Jysinα)，N2=-ρA0(Jxsinαsinβ+Jycosαsinβ)，N3=-ρA0(-Jxcosαcosβ+Jysinαcosβ+Jzsinβ) 。

1.3邊界條件

在整個(gè)系統(tǒng)中，臍帶纜的邊界條件由兩部分組成，一部分是臍帶纜首端邊界條件，即在纜繩與水下潛器的連接點(diǎn)處的速度應(yīng)保持連續(xù)性：

式中：Vc=[u,v,w]、Ωc=[p,q,r]、rc=[xc,yc,zc]分別為潛器局部坐標(biāo)系下潛器的線速度、角速度和連接點(diǎn)處的位置坐標(biāo)。

另一部分是臍帶纜尾端邊界條件，纜繩在該處與水面母船上的纜繩卷筒相連接，此時(shí)纜繩僅有切向速度，而無法向速度，同時(shí)考慮到卷筒角動(dòng)量隨時(shí)間的變化，可以得到如下的邊界方程[7]：

式中：Rd、Id為卷筒的半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Γf為轉(zhuǎn)軸處的阻尼力矩。

1.4臍帶纜對(duì)潛器的作用力與作用力矩

由拖曳點(diǎn)處的纜繩張力T(0,t)，經(jīng)過坐標(biāo)變換可以得到在潛器局部坐標(biāo)系下，纜繩作用于水下潛器上的作用力和作用力矩：

2 數(shù)值計(jì)算方法

鑒于臍帶纜的控制方程是一個(gè)復(fù)雜的偏微分方程，為此采用空間和時(shí)間的中心差分方法將方程離散，并采用最小二乘法求解離散后的非線性方程組。

2.1控制方程的離散——有限差分法

同時(shí)定義如下的離散形式[7]：

在式(15)中，由于新微段ΔSk+1在tk時(shí)未浸沒于水中，需要根據(jù)卷筒的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)tk時(shí)的未知矢量Y(Sk+1,tk)進(jìn)行假定，這里假定Y(Sk+1,tk)=[T(Sk,tk),Vt(Sk,tk),0,0,α(Sk,tk),β(Sk,tk)]，與文獻(xiàn)[7]的假定略有不同，且數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明這種假定是合理的。

在節(jié)點(diǎn)(Sj-1/2,tk+1/2),j=1,2,...,k+1離散控制方程(7)，可以得到如下6(k+1)個(gè)差分方程[2]：

邊界方程(8)～(11)的離散形式如下：

2.2數(shù)值求解流程

式(16)～式(20)構(gòu)成一個(gè)含有6(k+2)個(gè)非線性方程的方程組，且隨著時(shí)間t的變化，非線性方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)都發(fā)生相應(yīng)的變化。上述非線性方程組的求解采用最小二乘法，數(shù)值求解流程如下：

圖2 數(shù)值求解流程Fig.2 Flow chart of numerical computation

3 仿真結(jié)果與分析

臍帶纜為細(xì)長(zhǎng)的輕纜，且所受浮力大小等于重力，其連接于水下潛器的位置坐標(biāo)為rc=[-0.6,0,0]；卷筒的半徑為0.1 m，且忽略轉(zhuǎn)軸處的阻尼力矩Γf，纜繩和流體參數(shù)[7]如下：

表1 纜繩和流體參數(shù)Tab.1 Cable and fluid parameters

3.1水平勻速直航

由于臍帶纜為中性浮力的輕纜，在水下潛器水平勻速直航，且水流速度J與潛器運(yùn)動(dòng)方向平行的情況下，纜繩在每一節(jié)點(diǎn)處的歐拉角α、β以及速度Vt、Vn、Vb均不隨時(shí)間t和纜繩長(zhǎng)度s的變化，控制方程(7)可化簡(jiǎn)為：

由邊界方程(9)可求得上式的解析解如下：

由式(14)，可進(jìn)一步得到纜繩在潛器拖曳點(diǎn)處的張力(纜繩對(duì)潛器的拖曳阻力)：

取時(shí)間步長(zhǎng)Δt=1 s，仿真時(shí)間TIME=50 s，水下潛器的運(yùn)動(dòng)參數(shù)為：u=2 m/s，v=w=0，p=q=r=0，φ=θ=ψ=0；根據(jù)文獻(xiàn)[13]中關(guān)于南海北部海流的觀測(cè)結(jié)果，水流速度分別取為：Jx=Jy=Jz=0、Jx=-0.1 m/s,Jy=Jz=0和Jx=-0.2 m/s,Jy=Jz=0。在不同流速下，拖曳點(diǎn)處纜繩張力的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和解析解如圖3所示。

由圖3可以看出，隨著時(shí)間的增加，纜繩長(zhǎng)度不斷增加，拖曳點(diǎn)處纜繩張力也以近乎線性的方式增加，出現(xiàn)這樣現(xiàn)象的主要原因是水對(duì)纜繩的阻力隨著纜繩長(zhǎng)度增加而不斷增加；比較不同流速時(shí)拖曳點(diǎn)處的纜繩張力，可以發(fā)現(xiàn)流對(duì)張力的影響明顯，且這種影響隨著時(shí)間增加而不斷增大；比較各流速時(shí)數(shù)值計(jì)算結(jié)果和解析解，可以看出數(shù)值結(jié)果與解析解吻合良好，這也間接證明了模型改進(jìn)以及最小二乘方法求解非線性方程組的有效性。

3.2定角速度下潛與轉(zhuǎn)動(dòng)

圖4分別給出了潛器在該運(yùn)動(dòng)過程中縱傾角θ與首向角ψ隨時(shí)間的變化規(guī)律。

圖4 潛器在不同時(shí)刻的縱傾角和首向角Fig.4 Pitch angles and heading angles at different time

圖5分別給出了臍帶纜在0～40 s、40～80 s兩段時(shí)間內(nèi)空間形狀的變化，左側(cè)圖表明潛器正在逐漸下潛，右側(cè)圖表明潛器正逐漸轉(zhuǎn)向，且由左側(cè)圖可以看出Jy=0.1 m/s的流使臍帶纜沿y的正向有明顯的偏移，且計(jì)算結(jié)果表明最大偏移位置約為y=3 m。

圖5 不同時(shí)刻的纜形變化Fig.5 Configurations of cable at different time

圖6 拖曳點(diǎn)處纜繩張力隨時(shí)間的變化Fig.6 Variation of cable tension at tow-point with time

圖6表明拖曳點(diǎn)處臍帶纜的張力T(0,t)總體上是隨時(shí)間不斷增大的，僅在30～40 s,40～50 s,60～70 s三個(gè)時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)小幅的先增后減的趨勢(shì)，其余時(shí)間段內(nèi)基本上呈線性增大的趨勢(shì)，出現(xiàn)上述情況的主要原因是潛器在這三個(gè)時(shí)間段內(nèi)由縱傾角θ=-60°調(diào)整為無縱傾，首向角ψ=-60°調(diào)整為無首向角，使得拖曳點(diǎn)處的速度Vn、Vb出現(xiàn)方向更替，導(dǎo)致臍帶纜與潛器之間的作用力呈現(xiàn)微幅的先增后減趨勢(shì)。

圖7給出了拖曳點(diǎn)處臍帶纜在纜繩局部坐標(biāo)系下三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)速度，從圖中可以看出切向速度Vt出現(xiàn)微幅的波動(dòng)，但基本保持在-2 m/s左右，速度Vn隨著縱傾角θ的變化而發(fā)生從0 m/s到0.5 m/s到-0.5 m/s再到0 m/s的變化，速度Vb隨著首向角ψ的變化也發(fā)生與Vn類似的變化。

圖7 拖曳點(diǎn)處纜繩速度隨時(shí)間的變化Fig.7 Variation of cable velocities at tow-point with time

圖8分別給出了在潛器局部坐標(biāo)系下臍帶纜對(duì)潛器的作用力Fc和作用力矩Mc，由左側(cè)圖可以看出Fcx的大小一直在增加，表明若推進(jìn)器的功率保持不變，則潛器的前進(jìn)速度將不斷減小，F(xiàn)cy,Fcz分別隨首向角ψ和縱傾角θ的變化在正向、負(fù)向和零之間變化，從而產(chǎn)生橫向加速度和垂向加速度來改變潛器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；由右側(cè)圖可以看到Mcx始終保持零值，從而保證潛器不會(huì)發(fā)生橫搖，而這一結(jié)果也與實(shí)際情況相吻合，Mcy,Mcz分別隨縱傾角θ和首向角ψ的變化也在正向、負(fù)向和零之間變化，從而使?jié)撈鞑粩嗾{(diào)整縱傾角θ和首向角ψ，來達(dá)到預(yù)設(shè)的潛器姿態(tài)角。

圖8 纜繩在不同時(shí)刻對(duì)潛器的作用力和作用力矩Fig.8 Force and moment acting on underwater vehicle by cable at different time

4 結(jié) 語

在考慮定常均勻流的情況下，通過臍帶纜的運(yùn)動(dòng)建模對(duì)原有的有限差分模型進(jìn)行了改進(jìn)，并進(jìn)行了潛器在下放布置過程中的臍帶纜運(yùn)動(dòng)數(shù)值模擬，在潛器運(yùn)動(dòng)過程給定的情況下得到如下結(jié)論：

1)雖然拖曳點(diǎn)處的纜繩張力總體上隨著纜繩浸水部分的增加呈線性增大的趨勢(shì)，但潛器調(diào)整姿態(tài)角的過渡運(yùn)動(dòng)時(shí)間段內(nèi)纜繩張力呈緩慢的先增后減趨勢(shì)，因此潛器姿態(tài)角的調(diào)整對(duì)拖曳點(diǎn)處纜繩張力變化趨勢(shì)所產(chǎn)生的影響不可忽略。

2)流速的增加不僅使拖曳點(diǎn)處的纜繩張力增大，而且流的存在會(huì)改變纜繩的空間形狀，特別是會(huì)使纜繩發(fā)生顯著的橫向位置偏移；流的存在增強(qiáng)了纜繩作用于潛器的力和力矩的非線性和時(shí)變性，給潛器的操縱帶來更大的困難，因此在潛器下放布置時(shí)，應(yīng)選擇流對(duì)纜繩運(yùn)動(dòng)影響最小的路徑下放潛器。

3)臍帶纜作用于潛器的力和力矩總是阻止?jié)撈髯陨韯?dòng)力對(duì)運(yùn)動(dòng)速度和姿態(tài)角的改變，且對(duì)縱蕩運(yùn)動(dòng)的影響比其他運(yùn)動(dòng)的影響更大，需要在潛器的設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)控制中對(duì)該類運(yùn)動(dòng)給予最大的關(guān)注。

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Motion modeling and simulation of umbilical cable during underwater vehicle’s deployment

LI Xiaoxiao1,2,MA Ning1,2,LIU Han1,2,GU Xiechong1,2

(1.State Key Laboratory of Ocean Engineering,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China; 2.Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration (CISSE),Shanghai,200240,China)

P75.1

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.02.007

1005-9865(2016)02-0047-09

2015-01-19

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2014CB046806-003)

李霄霄(1989-)，男，山東棗莊人，碩士研究生，主要從事海洋工程水動(dòng)力性能研究。E-mail:cangqiong@mail.sjtu.edu.cn