王宏文，孟立新，吳紅星，侯美杰

（河北工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300130）

同步電機在位置隨動系統(tǒng)中跟蹤誤差的分析與研究

王宏文，孟立新，吳紅星，侯美杰

（河北工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300130）

位置隨動系統(tǒng)的任務(wù)是使被控量按同樣規(guī)律變化并與輸入信號的誤差保持在規(guī)定范圍內(nèi)。同步電機具有響應(yīng)快、定位準(zhǔn)確特點，將其作為執(zhí)行機構(gòu)，滿足系統(tǒng)要求。在建立位置隨動系統(tǒng)的等效數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，考慮到跟蹤最終位置過程的不確定性和傳統(tǒng)PID控制器超調(diào)量大，調(diào)節(jié)時間長的缺點，設(shè)計了Fuzzy-LQR-PID控制算法來提高位置跟蹤精度，通過Matlab軟件對該算法進(jìn)行仿真，并由STEP7編程軟件編寫程序在自主研發(fā)的無頭軋制多級傳動系統(tǒng)的模擬實驗臺上進(jìn)行了實驗驗證。實驗結(jié)果表明：該方法設(shè)計的系統(tǒng)控制精度明顯提高，可實現(xiàn)同步電機快速精確地跟蹤，位置跟蹤誤差小于PID控制算法的1/4，同時優(yōu)化了控制輸入信號，有著廣闊的應(yīng)用前景。

線性二次型調(diào)節(jié)器；PID控制器；模糊控制；跟蹤誤差；Simulink仿真；STEP7

在隨動控制系統(tǒng)中的驅(qū)動電機要求具有響應(yīng)速度快、定位準(zhǔn)確、轉(zhuǎn)動慣量小等特點。在本實驗臺的無頭軋制工藝過程中，當(dāng)后一根鋼坯追趕上前一根鋼坯的時候，由同步電機驅(qū)動的焊機在兩個鋼坯對接處進(jìn)行焊接。為了保證鋼坯無頭軋制的連續(xù)性，鋼坯的焊接必須在移動中自動完成，整個過程是一個位置隨動系統(tǒng)［1］。焊機的移動速度與鋼坯的軋制速度必須嚴(yán)格同步來減小焊接和軋制鋼坯間的機械耦合，這就對系統(tǒng)的位置跟蹤特性提出了較高的要求。

對于PID控制方法，結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性強，但閉環(huán)動態(tài)品質(zhì)對PID增益的變化太敏感，難以協(xié)調(diào)快速性與穩(wěn)定性之間的矛盾，很難得到最優(yōu)控制參數(shù)；采用線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）［2］可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，以跟蹤誤差為優(yōu)化目標(biāo)，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。在位置隨動系統(tǒng)中，由于焊接過程中被追趕鋼坯位置的不確定性，導(dǎo)致焊接過程的位置曲線不穩(wěn)定，由此提出了一種在基于LQR的PID算法之前加入模糊控制器進(jìn)行動態(tài)補償?shù)姆椒?。本文通過建立位置隨動系統(tǒng)的等效數(shù)學(xué)模型，分別對PID控制器、Fuzzy-LQR控制器、Fuzzy-LQR-PID控制器進(jìn)行跟蹤誤差分析，并通過聯(lián)合仿真以及在模擬實驗臺上進(jìn)行運行驗證。

1　位置隨動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

焊接過程的位置隨動系統(tǒng)主要由位置控制器，位置測量元件，傳動系統(tǒng)和執(zhí)行機構(gòu)組成。以交流電機作為執(zhí)行機構(gòu)，以變頻器作為控制與放大裝置的機電控制系統(tǒng)，由于變頻器為矢量控制型，根據(jù)交流傳動矢量控制思想，將變頻器、同步電機和位置測量元件看成一個被控對象，對于永磁同步電機，轉(zhuǎn)子磁通位置與轉(zhuǎn)子機械位置相同，這樣通過檢測轉(zhuǎn)子實際位置就可以得知電機轉(zhuǎn)子磁鏈位置，從而使永磁同步電機的矢量控制比起異步電機的矢量控制大大簡化。當(dāng)id=0時，從電機端口看，永磁同步電機相當(dāng)于1臺他勵直流電機［3］。當(dāng)磁通Φ一定時，通過改變電樞電壓可以實現(xiàn)調(diào)速。額定勵磁下他勵直流電動機的的電壓平衡方程為

忽略黏性摩擦以及彈性轉(zhuǎn)矩，直流電機的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

額定勵磁下的電樞反電動勢Ea和電磁轉(zhuǎn)矩Te分別為

式中：TL為包括電機空載轉(zhuǎn)矩在內(nèi)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量；Ce為電動機的電動勢系數(shù)；Cm為電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

由式（1）～式（5），電機的相關(guān)參數(shù)為 PN= 1.36 kW；UN=400 V；IN=3.4 A；nN=3 000 r/min；Ra=94.12 Ω；La=0.225 H；J=1.89×10-6kg·m2；Ce=?0.05 V·s/rad。則等效的他勵直流電機傳遞函數(shù)為

由于實際運行時電機轉(zhuǎn)1圈焊機移動5 mm，則其位置與轉(zhuǎn)速的關(guān)系為

隨動系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。相應(yīng)的可得出其傳遞函數(shù)為

圖1　位置隨動控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖Fig.1　Dynamic structure diagram of location servo control system

2　Fuzzy-LQR-PID控制器的設(shè)計

2.1LQR控制器設(shè)計

考慮到式（7）的線性系統(tǒng)，它是可控的或者至少是穩(wěn)定的，LQR［4］的基本思想是基于狀態(tài)方程 x?=Ax+Bu，選定二次型性能指標(biāo) J=∫（eTQe+uTRu）dt，并在選定最優(yōu)加權(quán)矩陣Q，R的基礎(chǔ)上尋找1個最優(yōu)的反饋控制規(guī)律u（t）= Kx（t）的最優(yōu)反饋增益矩陣K，使得在時間區(qū)間［t0,∞］內(nèi)，將系統(tǒng)從非平衡狀態(tài)迅速轉(zhuǎn)移到零平衡狀態(tài)附近。利用龐特里亞金極小值原理，可以使J為極小值的最優(yōu)控制u（t）=-R-1BTPx（t），滿足Riccati矩陣 PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0，Matlab提供了較為方便的接口函數(shù)來求取Riccati方程，公式為［K,P］=lqr（A,B,Q,R），其中A為系統(tǒng)矩陣，B為控制矩陣，K為狀態(tài)反饋向量，P為Riccati方程的解，Q，R為加權(quán)矩陣，根據(jù)系統(tǒng)要求的跟蹤精度和系統(tǒng)的輸出功率選定最佳權(quán)矩陣［5］。

2.2Fuzzy-LQR-PID控制系統(tǒng)

模糊控制可以簡化系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜性，特別適用于非線性、時變、滯后、模型不完全的系統(tǒng)控制。利用控制法則來描述系統(tǒng)變量間的關(guān)系用語言式的模糊變量來描述系統(tǒng)，具有較好的魯棒性、適應(yīng)性、強健性及較佳的容錯性［6］，充分利用LQR控制器良好的穩(wěn)態(tài)性能，通過對輸入輸出信號的誤差進(jìn)行PID控制，又進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的跟蹤動態(tài)性能，由于鋼坯焊接位置曲線的不確定性，將模糊控制器加入到LQR-PID控制器［7］前對輸入信號進(jìn)行前置濾波［8］，由此提出了Fuzzy-LQR-PID控制算法。由系統(tǒng)的控制要求可知模糊控制器是雙輸入雙輸出控制器，以位移s和速度v為輸入信號［9］，u1和u2為輸出信號。定義量化因子，把［-6，6］之間連續(xù)變化的量分成用模糊語言表示的不同等級，每個語言變量對應(yīng)一個模糊集合，用模糊隸屬度函數(shù)來表示，習(xí)慣上正大（PB）取在+6附近；正中（PM）取在+4附近；正?。≒S）取在+2附近；零（ZO），取在0附近；負(fù)?。∟S）取在-2附近；負(fù)中（NM）取在-4附近；負(fù)大（NB）取在-6附近。模糊隸屬度一般定義為三角形式，其隸屬度函數(shù)見圖2。

圖2　隸屬度函數(shù)Fig.2　Membership functions

根據(jù)被控對象與控制作用之間的一般變化規(guī)律，不同的控制對象的控制規(guī)則是變化的。由于不同階段控制原則，模糊控制器輸出信號u1和u2的模糊控制規(guī)則見表1和表2。

表1　模糊規(guī)則表（u1）Tab.1　Fuzzy control rule table（u1）

表2　模糊規(guī)則表（u2）Tab.2　Fuzzy control rule table（u2）

3　Matlab仿真與結(jié)果分析

在Matlab中利用指令“［A B C D］=tf2ss （num，den）”和“k=lqr（A，B，Q，R）”求得式（7）的以下相關(guān)矩陣

圖3　LQR-PID控制、Fuzzy-LQR控制和Fuzzy-LQR-PID控制系統(tǒng)仿真圖Fig.3　LQR-PID control，F(xiàn)uzzy-LQR control and Fuzzy-LQR-PID control system simulation diagram

圖4　Fuzzy-LQR-PID控制、Fuzzy-LQR控制和LQR-PID控制響應(yīng)曲線Fig.4　LQR-PID control，F(xiàn)uzzy-LQR control and Fuzzy-LQR-PID control response curves

由控制仿真圖3可得到圖4的仿真結(jié)果，通過比較可知Fuzzy-LQR-PID控制的焊機焊接過程的跟蹤效果更好。

4　PLC編程并在實驗臺上進(jìn)行驗證

如圖5所示，以S7-400［10］為核心連接各個模塊，其中2臺異步電機分別驅(qū)動2塊鋼坯，同步電機驅(qū)動焊機，當(dāng)達(dá)到焊接條件時，焊機追蹤鋼坯完成焊接并通過WINCC組態(tài)［11］軟件的人機界面來完成無頭軋制模擬實驗臺的監(jiān)控任務(wù)。在STEP7中完成整個系統(tǒng)的硬件組態(tài)和程序設(shè)計，邏輯控制和控制策略在西門子S7-400中實現(xiàn)。通過C語言，計算出離線模糊控制查詢表見表3、表4。

圖5　無頭軋制模擬實驗平臺的控制系統(tǒng)分布圖Fig.5　Distribution diagram of the simulation platform of the endless rolling multi-drive transmission system

表3　模糊規(guī)則查詢表（u1）Tab.3　Fuzzy rules lookup table（u1）

表4　模糊規(guī)則查詢表（u2）Tab.4　Fuzzy rules lookup table（u2）

將其存于PLC數(shù)據(jù)塊中并編制1個查詢表子程序，每次使用時在子程序中調(diào)用即可，本文通過STEP7軟件編程實現(xiàn)模糊控制算法［9］。運行的監(jiān)控結(jié)果見圖6～圖8。由于本實驗臺考慮模擬鋼坯的寬度為100 mm，焊接最終的誤差應(yīng)該減去100 mm。結(jié)果表明Fuzzy-LQR-PID控制在實現(xiàn)鋼坯焊機焊接過程中節(jié)約10 s左右的時間，跟蹤誤差在2 mm以內(nèi)，F(xiàn)uzzy-LQR跟蹤誤差在4mm以內(nèi)，PID控制的跟蹤誤差在8 mm以內(nèi)。

圖6　PID控制下的跟蹤誤差曲線Fig.6　Tracking error curves under PID control

圖7　Fuzzy-LQR控制下誤差控制曲線Fig.7　Tracking error curves under Fuzzy-LQR control

圖8　Fuzzy-LQR-PID控制下的誤差控制曲線Fig.8　Tracking error curves under Fuzzy-LQR-PID control

比較3種控制方式，列出表5，可知PID的動態(tài)跟蹤效果最差，F(xiàn)uzzy-LQR控制的動態(tài)跟蹤精度比PID控制的方式提高了2倍。Fuzzy-LQR-PID控制的動態(tài)跟蹤精度比Fuzzy-LQR控制的跟蹤精度提高了2倍，比PID控制的方式提高了4倍。本文提出的算法是可行有效的。

表5　3種算法的性能參數(shù)比較Tab.5　Comparison of performance parameters of three kinds of algorithms

5　結(jié)論

1）Matlab軟件具有高效的數(shù)值計算及符號計算功能；功能豐富的應(yīng)用工具箱（如信號處理工具箱、通信工具箱等），為用戶提供了大量方便實用的處理工具，組建各個模塊建立模擬真實環(huán)境下相關(guān)參數(shù)變化和干擾，快速準(zhǔn)確地驗證控制系統(tǒng)的可行性。

2）LQR控制使選定的目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，但抗擾性差。PID控制原理簡單，使用方便適應(yīng)性強，魯棒性強。從仿真結(jié)果看：將模糊控制，LQR控制與PID控制相結(jié)合，使系統(tǒng)響應(yīng)速度更快，調(diào)節(jié)時間更短，跟蹤精度更高，完全符合焊接過程中對位置隨動系統(tǒng)的要求，具有一定的實際意義。

［1］ 王宏文，劉通學(xué)，劉麗，等.無頭軋制多級傳動模擬實驗平臺的研究與開發(fā)［J］.制造業(yè)自動化，2008，30（1）：23-26.

［2］ 吳受章.最優(yōu)控制理論與應(yīng)用［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2008.

［3］ 陳伯時.電力拖動自動控制系統(tǒng)［M］.第3版.北京：機械工業(yè)出版社，2003.

［4］Miller，Daniel E.Near optimal LQR Performance for a Compact Set of Plants［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51（9）：1423-1439.

［5］ 劉豹.現(xiàn)代控制理論［M］.第2版.北京：機械工業(yè)出版社，2000.

［6］ 李少遠(yuǎn)，王景城.智能控制［M］.第2版.北京機械工業(yè)出版社，2009.

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［9］ 王霞，朱景偉.基于模糊PI控制的無刷直流電機調(diào)速系統(tǒng)［J］.電氣傳動，2014，44（1）：63-69.

［10］廖常初.S7-300/400 PLC應(yīng)用技術(shù)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2008.

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Analysis and Research on Synchronous Motor Tracking Error in the Position Servo System

WANG Hongwen，MENG Lixin，WU Hongxing，HOU Meijie
（School of Control Science and Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300130，China）

Position servo system′s task is to change controlled variable by the same laws and keep the error of the input signal within a specified range.Synchronous motor with fast response and accurate positioning features，which as an actuator，can meet the system requirements.On the basis of the established“equivalent”mathematical models of the position servo control system，taking into account the uncertainty of the final position of the tracking process and the traditional PID controller has many shortcomings such as large overshoot，long regulation time，presentsed Fuzzy-LQR-PID control algorithm to improve the tracking accuracy.This arithmetic was simulated by Matlab software. Used STEP7 programming software to complete the design process of Fuzzy-LQR-PID control algorithm，and experiment was carried out on the simulation platform of the endless rolling multi-drive transmission system，which was developed by ourselves.The experimental results show that：the control precision of the system designed by the method is improved significantly，the proposed method can realize synchronous motor quickly and accurately tracking，location tracking errorislessthan1/4ofPIDcontrolalgorithm，whileoptimizingthecontrolinputsignal，hasbroadapplicationprospects.

linear quadratic regulator（LQR）；PID controller；fuzzy control；tracking error；Simulink simulation；STEP7

TP275

A

2015-05-12

修改稿日期：2015-10-19

王宏文（1957-），男，工學(xué)碩士，教授，Email：wanghongwen@hebut.edu.cn