劉歡

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基于蒙特卡羅的消費(fèi)投資決策模型研究

劉歡

(湖南外貿(mào)職業(yè)學(xué)院工商管理學(xué)院, 湖南長(zhǎng)沙, 410200)

將消費(fèi)和投資放在一個(gè)跨期最優(yōu)化框架下, 提出了基于蒙特卡羅風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的消費(fèi)投資決策模型。首先, 建立個(gè)體效用函數(shù)、勞動(dòng)收入、跨期預(yù)算約束、投資機(jī)會(huì)及市場(chǎng)摩擦因素之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。然后, 考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)、投資收益風(fēng)險(xiǎn), 建立消費(fèi)投資組合動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型。最后, 通過(guò)一個(gè)實(shí)例闡明所提出模型能更加有效地刻畫實(shí)際市場(chǎng)中的消費(fèi)投資情況, 證明所設(shè)計(jì)算法的有效性。

消費(fèi)投資決策; 摩擦因素; 蒙特卡羅; 風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估

消費(fèi)投資選擇系投資者在金融領(lǐng)域選擇特定的資產(chǎn)開展投資, 從而提升投資者的實(shí)際資產(chǎn)數(shù)額, 同時(shí)利用對(duì)于此類財(cái)富的消費(fèi)行為來(lái)提升自身的資產(chǎn)總額?；陔x散時(shí)間的投資消費(fèi)決策分別是Samuelso (1969)與Fama (1970)最早進(jìn)行研究的。Merton[1]針對(duì)連續(xù)時(shí)間下的投資決策問題進(jìn)行了研究。Karatzas等[2]在研究最優(yōu)消費(fèi)投資模型時(shí)考慮了投資人分散投資于有限個(gè)擁有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的小投資人的情況; Cox和Huang[3]在研究最優(yōu)消費(fèi)投資組合決策時(shí)考慮了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格遵循擴(kuò)散過(guò)程的情形; Shreve等[4]將2個(gè)具有交易費(fèi)用的債券投資組合作為實(shí)例進(jìn)行最優(yōu)化研究; Cuoco等[5]探討了當(dāng)投資者投資額度大時(shí), 在最優(yōu)消費(fèi)投資時(shí)的投資組合方式和最優(yōu)策略選擇; Campbell等[6]研究了當(dāng)考慮期望回報(bào)隨時(shí)間變化的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)如何進(jìn)行最優(yōu)化投資決策, 并給出了解決結(jié)果; Chacko等[7]考慮了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的數(shù)學(xué)期望及方差隨時(shí)間變化情況下的最優(yōu)消費(fèi)投資規(guī)劃問題。

20世紀(jì)90年代初, 我國(guó)在數(shù)學(xué)金融學(xué)方面的研究開始起步, 至今已取得了不錯(cuò)的研究成果。Wan[8]考慮遵循復(fù)合跳躍過(guò)程的股票價(jià)格, 建立了投資決策模型; 費(fèi)為銀[9]在研究中考慮了紅利支付這一結(jié)算方式對(duì)原有的最優(yōu)消費(fèi)投資模型的影響, 并加以擴(kuò)充; 丁傳明等[10]在研究的消費(fèi)投資模型中加入了對(duì)隨機(jī)收入以及紅利支付2個(gè)影響因素的度量; 費(fèi)為銀等[11]在研究中考慮了允許借貸的情形; 劉海龍等[12]對(duì)Merton研究的連續(xù)時(shí)間下的投資決策問題進(jìn)行了分析并在非完全市場(chǎng)情況下進(jìn)行推廣, 提出了服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的投資消費(fèi)模型; 楊昭軍等[13]研究了基于不完全信息下的投資消費(fèi)決策方法并計(jì)算得到模型的顯式解; 郭文旌[14]在股票服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上研究推廣了當(dāng)其服從跳躍-擴(kuò)散過(guò)程時(shí)的投資模型; 肖建武[15]的研究是通過(guò)Legendre變換以及最優(yōu)控制理論結(jié)合到常方差彈性模型的方法求得了模型的解析解。

近幾年來(lái), 消費(fèi)投資決策問題基本理論日趨成熟, 然而, 由于理論的復(fù)雜性, 建立的理論模型與方法難以運(yùn)用到實(shí)際中。為了研究出存在更多顯式解的消費(fèi)投資決策優(yōu)化模型, 本文以消費(fèi)投資決策為研究對(duì)象, 考慮市場(chǎng)摩擦因子、交易成本與消費(fèi)支出、勞動(dòng)收入、投資收益3類不確定性因素等對(duì)消費(fèi)和投資選擇行為的影響, 建立投資決策模型和蒙特卡羅風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型, 研究并實(shí)現(xiàn)了新模型的求解方法。

1 消費(fèi)投資決策優(yōu)化模型

1.1 不確定性分解

1.1.1 投資收益不確定性

考慮在摩擦資本市場(chǎng)中有種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Z(其收益率為)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(其收益率為常數(shù))。= (1,2, …,w+1)是一個(gè)投資組合,表示投資在第種資產(chǎn)的比例, 記為,表示資產(chǎn)投資者在開始時(shí)所擁有的資產(chǎn)的比例。此時(shí), 投資組合除去稅收紅利交易費(fèi)用后的投資收益為。

針對(duì)各種不存在風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn), 因?yàn)榇婵钤趯?shí)際存入的時(shí)候無(wú)需繳費(fèi), 僅在取出的時(shí)候需要交納少數(shù)對(duì)利息所征收的稅款。所以, 若屬于取出存款時(shí)的具體交易費(fèi)用系數(shù), 則。

1.1.2 勞動(dòng)收入的不確定性

國(guó)內(nèi)的研究者通常利用人均可支配收入來(lái)充當(dāng)勞動(dòng)收入, 但因?yàn)樵撝笜?biāo)存在著一定的投資收益, 所以, 通過(guò)該變量來(lái)替代勞動(dòng)收入顯然是不妥的。因此, 本文在計(jì)算假設(shè)模型之中有關(guān)個(gè)體的實(shí)際收入包括收入和收益2部分。

勞動(dòng)收入存在的不確定性, 即勞動(dòng)收入在時(shí)的條件方差用來(lái)表示, 這一指標(biāo)數(shù)值越大, 就表示民眾收入增長(zhǎng)率波動(dòng)越大, 對(duì)于收入存在的不確定性日益增強(qiáng)。

1.1.3 消費(fèi)支出不確定性

通過(guò)人均年消費(fèi)增長(zhǎng)率相對(duì)于平均值存在偏離率的平方數(shù)據(jù), 來(lái)充當(dāng)反應(yīng)實(shí)際不確定性的配套指標(biāo), 同時(shí)實(shí)際工時(shí)為。該指標(biāo)數(shù)值越高, 實(shí)際的消費(fèi)增長(zhǎng)率波動(dòng)就越顯著, 對(duì)于支出方面的不確定性就越明顯。

根據(jù)收入分組數(shù)據(jù)中多個(gè)組別實(shí)際年支出增長(zhǎng)率之間的方差, 來(lái)表述實(shí)際存在的不確定性, 具體的公式為, 其中,代表各個(gè)組別的實(shí)際權(quán)重。

1.2 最優(yōu)投資組合動(dòng)態(tài)模型

假設(shè)個(gè)體有著長(zhǎng)久的生命, 而且也存在著一定的無(wú)工作幾率。在無(wú)工作的情況下, 其實(shí)際的勞動(dòng)收入維持在0; 在保持一份工作的情形下, 其收入符合前文的假設(shè), 實(shí)際的行為決策目的在于使得預(yù)計(jì)中的冪消費(fèi)效用實(shí)現(xiàn)最大化[16]。而其中個(gè)體跨期最優(yōu)問題能夠被表述為。服從預(yù)算約束,。

采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃[9]的方法求解, 設(shè)價(jià)值函數(shù)為, 組建貝爾曼方程。換言之,時(shí)刻的具體價(jià)值函數(shù), 和時(shí)刻的具體消費(fèi)效用基本等同, 外加時(shí)刻貼現(xiàn)函數(shù)的期望值, 能夠?qū)降挠覀?cè)項(xiàng)進(jìn)行更為深入的優(yōu)化操作, 同時(shí)契合各方面的預(yù)算限制, 得到,。在和間順著最優(yōu)化的路徑有著簡(jiǎn)易包絡(luò)關(guān)聯(lián)[10], 而按照包括定理, 同時(shí)利用約束條件能夠獲得。從而得到歐拉方程。根據(jù)的實(shí)際狀況, 具體的跨期最優(yōu)化問題, 有概率存在著2大歐拉方程[11], 而保持有工作狀態(tài)的情況下, 具體資產(chǎn)有。而在無(wú)工作狀態(tài)下為, 其中變量表示決定變量?jī)r(jià)值的勞動(dòng)收入狀態(tài)。

1.3 最優(yōu)消費(fèi)動(dòng)態(tài)模型

最優(yōu)消費(fèi)增長(zhǎng)率模型闡述了影響個(gè)體預(yù)期的3個(gè)方面的要素。(1) 個(gè)體自身的主觀貼現(xiàn)率。富有耐心而且主觀貼現(xiàn)率較高的個(gè)體, 自發(fā)的愿意進(jìn)行延遲消費(fèi)。(2) 偏高的利率使得個(gè)體存在延遲消費(fèi)的激勵(lì)效應(yīng)。而消費(fèi)的延遲代表未來(lái)消費(fèi)的增長(zhǎng), 進(jìn)一步是整體消費(fèi)走勢(shì)偏向上。但是消費(fèi)自身所存在的邊際效應(yīng), 使得個(gè)體容忍已經(jīng)偏離原本水平路徑的期望。對(duì)比消費(fèi)延遲激勵(lì)所存在的變化, 個(gè)體存在的傾斜意愿稱作是消費(fèi)自身的跨期替代彈性, 在常相對(duì)回避系數(shù)的消費(fèi)函數(shù)假定模型[12]里面, 消費(fèi)自身所存在的跨期替代彈性這一項(xiàng)數(shù)據(jù)和另外一項(xiàng)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)數(shù)據(jù)的倒數(shù)基本保持一致。在此情況下, 當(dāng)相對(duì)更高的時(shí)候, 個(gè)體傾斜整體消費(fèi)路徑的意愿相對(duì)更低, 預(yù)期中的消費(fèi)增長(zhǎng)率對(duì)比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率來(lái)說(shuō), 只存在微小的變動(dòng)。(3) 消費(fèi)不確定性效應(yīng)。具備一定冪效用函數(shù)的各種對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)較為厭煩的投資者, 針對(duì)實(shí)際存在的不確定性問題, 通常選擇提升預(yù)防性儲(chǔ)蓄的數(shù)額, 即提升,同時(shí)其消費(fèi)路徑也有著一定的向上傾斜。

2 禁忌模擬混合優(yōu)化算法

將蒙特卡羅模擬[17]與禁忌搜索[18]結(jié)合設(shè)計(jì)混合算法, 從而處理消費(fèi)投資決策分析里面的各種優(yōu)化問題。對(duì)于這一類別的模擬則通過(guò)拉丁超立方分層抽樣的方法來(lái)構(gòu)成對(duì)應(yīng)的初始解, 使得群體里面的個(gè)體存在于整體的解空間區(qū)域之中, 確保鄰域范疇之內(nèi)實(shí)際搜索空間的多樣化演變, 開展的搜索并不會(huì)因此而遺漏各種局部最優(yōu)解。與此同時(shí)在群體之中的各種個(gè)體, 利用禁忌搜索的方式來(lái)完成檢索任務(wù), 進(jìn)一步提升群體的質(zhì)量。在搜索流程之中調(diào)取有關(guān)的評(píng)價(jià)函數(shù)[15]來(lái)進(jìn)行移動(dòng)值的判定, 同時(shí)按照實(shí)際的移動(dòng)值以及禁忌表來(lái)決定實(shí)際移動(dòng)的接受狀況。

3 實(shí)例驗(yàn)證

關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目的具體選擇, 更加契合0-1的Knapsack問題, 但是其中多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際的回報(bào)難以界定, 假設(shè)回報(bào)依從于項(xiàng)目, 同時(shí)根據(jù)固定的概率來(lái)進(jìn)行分布的一種隨機(jī)變量, 在表格之中構(gòu)建配套的隨機(jī)模型, 利用禁忌搜索的形式, 來(lái)對(duì)于契合約束要件的各種值, 開展整體回報(bào)預(yù)測(cè)的模擬工作, 與此同時(shí)還需要計(jì)算具體的均值以及方差數(shù)據(jù), 再度反饋于搜索流程之中, 從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。

表1 項(xiàng)目設(shè)置要求表

表2 禁忌模擬算法計(jì)算進(jìn)程輸出表

表3 禁忌模擬算法模擬結(jié)果各統(tǒng)計(jì)量輸出表

設(shè)現(xiàn)有甲、乙、丙項(xiàng)目, 整體投資為100, 成本、回報(bào)概率散布于多個(gè)項(xiàng)目之中, 投資回報(bào)的概率分布為正態(tài)分布(1,2,3)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布(4,5,6,7)、指數(shù)分布(8,9,10), 具體的個(gè)數(shù)需求見表1。假設(shè)決策者實(shí)際選擇的極限期望值回報(bào)的組合要求有關(guān)的極限回報(bào)方差維持在120之下。在Excel中構(gòu)建配套的模型, 同時(shí)利用禁忌模擬混合優(yōu)化來(lái)獲得所需的解, 挑選隨機(jī)值的種子數(shù)為999, 同時(shí)運(yùn)用拉丁超立方來(lái)實(shí)現(xiàn)總數(shù)為3 000次的抽樣。最終通過(guò)該算法在進(jìn)行11次循環(huán)時(shí)得到最優(yōu)結(jié)論, 具體的模擬結(jié)論見表2、表3, 所能夠獲取的極限投資回報(bào)的95%置信區(qū)間維持在[799.26, 1 059.26]。

4 結(jié)論

本文考慮市場(chǎng)摩擦因子、交易成本及消費(fèi)方面的支出問題、勞動(dòng)方面的收入問題、投資方面的收益問題這3大不確定因素對(duì)于消費(fèi)投資選擇行為的影響, 分別給出了個(gè)體效用函數(shù)、勞動(dòng)收入、跨期預(yù)算約束、投資機(jī)會(huì)及市場(chǎng)摩擦因素的數(shù)學(xué)表達(dá)方法。在此基礎(chǔ)上, 考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)、投資收益風(fēng)險(xiǎn), 建立了消費(fèi)投資組合動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型。并通過(guò)實(shí)例闡明所提出模型能有效刻畫實(shí)際市場(chǎng)中的消費(fèi)投資情況, 所設(shè)計(jì)的算法是有效可行的。該方法充分考慮了金融市場(chǎng)中的摩擦因素, 為解決最優(yōu)消費(fèi)投資選擇問題提供了新的思路, 具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

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(責(zé)任編校:劉曉霞)

Research of consumption and investment decision model based on Monte Carlo

Liu Huan

(College of Business Administration, Hunan International Business Vocational College, Changsha 410200, China)

With the consumption and investment in a cross-time optimization framework, a consumption investment decision model based on Monte Carlo risk assessment is proposed. First, the mathematical expressions of individual utility function, labor income, cross period budget constraints, investment opportunities and market friction factors are established. Then, taking into account the risk of labor income and investment income, the dynamic optimization model of consumption investment portfolio is set up. Finally, a practical example is discussed to illustrate effectiveness and practicability of the proposed model.

consumption investment decision; market friction factor; Monte Carlo; risk assessment

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.04.003

O 174.5; O 177.2

1672–6146(2016)04–0006–05

劉歡, csuliuhuan@126.com。

2015-12-10

湖南省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃基金辦公室(13YBB158); 湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題(XJK014BZY021)。