于亞婷，李 敏，姜 敏，鄒 宇

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基于傳遞函數(shù)有理分式的模態(tài)參數(shù)識(shí)別算法研究

于亞婷，李 敏，姜 敏，鄒 宇

(電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 成都 611731

為降低多參考點(diǎn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別過(guò)程中系數(shù)矩陣的計(jì)算精度損失，利用傳遞函數(shù)有理分式模型，在正交多項(xiàng)式識(shí)別算法的基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，并給出該算法的實(shí)現(xiàn)流程和穩(wěn)定圖的建立方法；通過(guò)實(shí)測(cè)算例對(duì)所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法有效地識(shí)別模態(tài)參數(shù)，并簡(jiǎn)化參數(shù)的計(jì)算過(guò)程，提高識(shí)別效率。該結(jié)論將對(duì)采用模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)構(gòu)的完整性研究提供借鑒。

模態(tài)參數(shù); 正交多項(xiàng)式; 傳遞函數(shù); 穩(wěn)定圖

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析(experimental modal analysis，EMA)是一種通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法獲取結(jié)構(gòu)輸入輸出數(shù)據(jù)，并借助系統(tǒng)識(shí)別理論利用相關(guān)識(shí)別算法求解結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法[1]。識(shí)別算法是獲取結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的關(guān)鍵，可分為時(shí)域算法和頻域算法。頻域識(shí)別算法因其可靠性較高而廣泛使用。文獻(xiàn)[2]利用傳遞函數(shù)的有理分式模型，通過(guò)基函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，但該方法在階次較高時(shí)容易出現(xiàn)計(jì)算不收斂。文獻(xiàn)[3]提出一種基于自回歸滑動(dòng)(auto-regressive moving average，ARMA)模型的頻域多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)參數(shù)識(shí)別方法，可用于改善正交多項(xiàng)式在高階計(jì)算時(shí)不易收斂的問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]提出一種基于正交多項(xiàng)式的頻響函數(shù)擬合方法，該方法最初只能用于單輸入單輸出(single input single output，SISO)識(shí)別，被擴(kuò)展到了MIMO。但已有的多參考點(diǎn)識(shí)別方法在系數(shù)矩陣估計(jì)中需進(jìn)行多次轉(zhuǎn)換，造成精度損失和計(jì)算量成倍增加。

針對(duì)該問(wèn)題，本文以傳遞函數(shù)有理分式模型為基礎(chǔ)，借助正交多項(xiàng)式頻響函數(shù)擬合方法，提出一種改進(jìn)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法；并給出算法實(shí)現(xiàn)流程和模態(tài)參數(shù)的穩(wěn)定圖校驗(yàn)方法，構(gòu)建了模態(tài)參數(shù)識(shí)別平臺(tái)，并驗(yàn)證了改進(jìn)后的識(shí)別算法的有效性。

1 基于傳遞函數(shù)有理分式的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

根據(jù)黏性阻尼的多自由度(multi-degree-of- freedom，MDOF)系統(tǒng)振動(dòng)的微分方程[5]和零初始條件拉氏變換，并利用阻抗矩陣和伴隨矩陣，可導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣()，其任意一個(gè)元素可表示為：

為解決式(1)中計(jì)算數(shù)值解的奇異性問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]提出利用正交多項(xiàng)式代替原有的有理分式，得到以正交多項(xiàng)式表示的頻響函數(shù)模型，有：

設(shè)在某結(jié)構(gòu)的其中一個(gè)測(cè)點(diǎn)上共測(cè)試個(gè)頻率點(diǎn)。引入負(fù)頻率概念，即頻率范圍由原來(lái)的=1,2,…,擴(kuò)展到=-,…,-1,-2,1,2,…,。此時(shí)，取。負(fù)頻率的頻響函數(shù)定義為。

當(dāng)從-～變化，可得到2個(gè)誤差函數(shù)。將這些誤差函數(shù)寫(xiě)成矩陣形式可表達(dá)為。

式(4)經(jīng)化簡(jiǎn)可得：

式中，只有系數(shù)向量{}、{}未知，解方程組然后轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)，即可得任一測(cè)點(diǎn)的頻響函數(shù)有理分式表達(dá)式。由于不同測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)所求得的系數(shù)矩陣不同，在應(yīng)用時(shí)需進(jìn)行轉(zhuǎn)換，造成精度損失；同時(shí)多次重復(fù)轉(zhuǎn)換也造成計(jì)算量成倍增加。在提高識(shí)別精度的同時(shí)，為避免繁瑣的計(jì)算過(guò)程，本文提出一種改進(jìn)的方法估計(jì)系數(shù)矩陣。改進(jìn)的擬合方法表述如下：

設(shè)在個(gè)測(cè)點(diǎn)均測(cè)得頻響函數(shù)，令：

式(6)可簡(jiǎn)化為：

一個(gè)結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)阻尼與測(cè)點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，因而不同測(cè)點(diǎn)擬合出的有理分式傳遞函數(shù)分母系數(shù)D相差一個(gè)常數(shù)因子。為此采用最小二乘法求解式(8)可表示為:

通過(guò)式(9)得到系數(shù)向量后，再利用式(7)計(jì)算系數(shù)向量及其他參數(shù)。該方法可避免在進(jìn)行多參考點(diǎn)測(cè)量時(shí)，重復(fù)構(gòu)造轉(zhuǎn)換矩陣，減少轉(zhuǎn)換過(guò)程帶來(lái)的擬合誤差，同時(shí)一次性擬合可使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化。

得到向量、后，利用式(1)，令：

故可通過(guò)下式求出固有頻率與阻尼比：

用于頻響函數(shù)曲線擬合的正交式有多種，如Forsythe正交多項(xiàng)式、Legendre多項(xiàng)式、向量正交多項(xiàng)式等，文獻(xiàn)[7-8]均采用Forsythe正交多項(xiàng)式，但其遞推階段計(jì)算量較大，影響整體的識(shí)別速度。為改善這種情況，本文采用Chebyshev正交多項(xiàng)式，其遞

2 算法實(shí)現(xiàn)流程

本文采用Labview實(shí)現(xiàn)算法程序，若識(shí)別不能在一個(gè)頻段內(nèi)一次完成，可采用分段識(shí)別方式重復(fù)該過(guò)程。具體流程如圖1所示。

3 穩(wěn)定圖建立方法

模態(tài)定階是參數(shù)識(shí)別的重要步驟，常借助穩(wěn)定圖來(lái)完成[9]。由于系統(tǒng)真實(shí)模態(tài)是系統(tǒng)的物理極點(diǎn)，它出現(xiàn)的位置不會(huì)隨階次改變而改變，而計(jì)算極點(diǎn)出現(xiàn)的位置則隨階次的改變而不同[10-11]。穩(wěn)定圖極點(diǎn)的標(biāo)示過(guò)程(以第階極點(diǎn)為例)為：

2) 在第-1階尋找與之最接近的極點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)和；

3) 根據(jù)下式判斷相對(duì)變化量，有：

4) 若式(15)均不滿(mǎn)足，則以符號(hào)標(biāo)示為新出現(xiàn)的極點(diǎn)；若只滿(mǎn)足式(15a)而不滿(mǎn)足式(15b)，則以符號(hào)標(biāo)示為頻率穩(wěn)定極點(diǎn)；若式(15a)、式(15b)均滿(mǎn)足，則以符號(hào)標(biāo)示為穩(wěn)定極點(diǎn)。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性，本文構(gòu)建了多模態(tài)參數(shù)識(shí)別平臺(tái)，如圖2所示。主要包括力錘、傳感器、數(shù)據(jù)采集與分析系統(tǒng)。

實(shí)驗(yàn)中吊臂尺寸為180 mm× 40 mm× 25 mm，厚度為2 mm，實(shí)物圖如圖3所示。實(shí)驗(yàn)中支撐方式為固定支撐，采用輪點(diǎn)激勵(lì)、多點(diǎn)采集方式進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。實(shí)驗(yàn)采樣頻率為4 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)。為降低實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的偶然誤差，實(shí)驗(yàn)中對(duì)5次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取平均值作為擬合數(shù)據(jù)樣本。

圖4所示為測(cè)試所得吊臂的所有頻響曲線的幅值疊加譜。由圖4可看出，在響應(yīng)峰值附近其信號(hào)受噪聲的影響較小。

根據(jù)疊加譜選定階次及擬合區(qū)間，運(yùn)用改進(jìn)算法得到的結(jié)果如圖5所示。根據(jù)圖5的頻響函數(shù)，設(shè)定C≤1%、C≤5%進(jìn)行穩(wěn)定圖校驗(yàn)(計(jì)算到8階)，結(jié)果如圖6所示。從圖6可看出，試件有3階模態(tài)頻率。

為驗(yàn)證改進(jìn)方法在模態(tài)參數(shù)識(shí)別方面的優(yōu)越性，本文分別比較了采用有限元法、改進(jìn)方法和原方法對(duì)吊臂的固有特性進(jìn)行分析的結(jié)果。表1列出了3種情況下吊臂零件的模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果。

由表1可得，改進(jìn)方法的識(shí)別結(jié)果與有限元結(jié)果在第一、第二和第三階固有頻率方面的相對(duì)識(shí)別誤差分別是0.453%、0.313%和0.265%；原方法的相對(duì)識(shí)別誤差是0.994%、0.442%和0.341%。而改進(jìn)方法在第一、第二和第三階阻尼比方面的識(shí)別結(jié)果與理論值的相對(duì)誤差分別是：10.6%、28.5%和2.00%；原方法的相對(duì)誤差則為7.00%、29.9%和11.0%。

表1 吊臂零件識(shí)別結(jié)果比較

因此，通過(guò)比較可得出，改進(jìn)方法在頻率識(shí)別精度方面優(yōu)于原方法，而在阻尼比識(shí)別方面，階次越高，改進(jìn)方法在識(shí)別精度上的優(yōu)勢(shì)比原方法明顯。此外，本文提出的改進(jìn)方法簡(jiǎn)化了識(shí)別過(guò)程中的繁瑣計(jì)算過(guò)程，識(shí)別所需時(shí)間較短，可更好地用于實(shí)時(shí)識(shí)別過(guò)程，加速識(shí)別進(jìn)程。

5 結(jié) 束 語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)基于傳遞函數(shù)有理分式識(shí)別模態(tài)參數(shù)方法的分析，提出了一種基于傳遞函數(shù)有理分式的簡(jiǎn)化模態(tài)參數(shù)識(shí)別算法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)方法在參數(shù)識(shí)別方面的準(zhǔn)確性和高效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法可快速有效地識(shí)別動(dòng)態(tài)參數(shù)。本文得到的結(jié)論如下：1) 利用傳遞函數(shù)有理分式模型，在原有正交多項(xiàng)式識(shí)別方法基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)方法。該方法采用一次性擬合，有效地避免多次求解中矩陣轉(zhuǎn)換過(guò)程，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化。2) 利用文中所述極點(diǎn)標(biāo)示方法建立穩(wěn)定圖，可較好地校驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膮?shù)識(shí)別結(jié)果。3) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)方法能有效地提高模態(tài)參數(shù)的識(shí)別的精度。

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編 輯 黃 莘

Modal Parameter Identification Algorithm Based on the Rational Fraction of Transfer Function

YU Ya-ting, LI Min, JIANG Min, and ZOU Yu

(School ofEngineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

In order to reduce the precision loss of the coefficient matrix in the process of multiple reference modal parameter identification, an improved algorithm is proposed on the basis of orthogonal polynomial recognition algorithm. The improved algorithm is deduced in detail and the implementation flow chart is also proposed. And then, an experimental platform is setup and a recognition experiment on roller is carried out to validate the accuracy of the improved algorithm. The experimental results indicate that the improved algorithm compared with the original algorithm has the higher identification accuracy with the simpler identification process. The presented algorithm is helpful to identify the geometry parameters of key structures according its modal signal.

modal parameter; orthogonal polynomials; stability diagram; transfer functions

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.03.026

2014 - 07 - 08；

2015 - 06 - 15