黃澤秋

【摘 要】 函數(shù)是初中課程教學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作具有積極作用。同時(shí)，學(xué)好函數(shù)知識(shí)也能促進(jìn)學(xué)生思維轉(zhuǎn)變，使之實(shí)現(xiàn)從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變，有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維，并幫助他們掌握函數(shù)建模方式。此外，函數(shù)不僅描述數(shù)量間的關(guān)系，還是解決問(wèn)題的重要工具，在教學(xué)中應(yīng)該予以重視和關(guān)注。文章分析了初中學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)遇到的困難，并提出改進(jìn)策略。

【關(guān) 鍵 詞】 函數(shù)；易錯(cuò)問(wèn)題；分析；研究

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2016）27-0039-02

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是學(xué)生掌握起來(lái)感覺(jué)難度較大的一部分。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生學(xué)習(xí)后，出現(xiàn)“似懂非懂”的現(xiàn)象，不利于其以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)主線，在學(xué)習(xí)中要準(zhǔn)確把握相關(guān)的概念和性質(zhì)，要通過(guò)實(shí)例的應(yīng)用去體會(huì)函數(shù)中各種變量的關(guān)系，從而加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和把握程度。

一、初中函數(shù)教學(xué)概述

在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是關(guān)鍵內(nèi)容，對(duì)后續(xù)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有積極作用，也為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。通過(guò)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)，學(xué)生可以更好地分析數(shù)量間的關(guān)系，并促進(jìn)學(xué)生思維轉(zhuǎn)變，讓他們從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變，促進(jìn)其思維能力提升。因此，函數(shù)部分要以學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解和對(duì)函數(shù)思想的領(lǐng)會(huì)為教學(xué)重點(diǎn)，注重培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)解決問(wèn)題的能力。雖然初中階段的教學(xué)主要是給學(xué)生打基礎(chǔ)，但對(duì)于其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)都至關(guān)重要，因此，解決函數(shù)教學(xué)中學(xué)生易犯的錯(cuò)誤，對(duì)提高教學(xué)效果具有重要的意義。

函數(shù)部分具有很強(qiáng)的邏輯性和系統(tǒng)性，知識(shí)之間的聯(lián)系也更為緊密，由于它廣泛的應(yīng)用性和知識(shí)的基礎(chǔ)性，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力具有積極作用，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。函數(shù)學(xué)習(xí)階段是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，只要學(xué)好了函數(shù)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和屬性轉(zhuǎn)換能力都會(huì)有明顯的提升。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)部分時(shí)，往往不求甚解，在做練習(xí)題時(shí)生搬硬套，雖然有時(shí)候能夠通過(guò)這種方式獲得較好的成績(jī)，但在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)就會(huì)暴露不足。

二、二次函數(shù)部分學(xué)生問(wèn)題解析

為了考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)和方程與函數(shù)關(guān)系的理解，筆者設(shè)計(jì)了如下練習(xí)題：

例1：已知b≠0，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=bx和y=bx2的圖象應(yīng)該是什么樣的？

通過(guò)對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行總結(jié)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于函數(shù)部分考慮問(wèn)題不夠全面，例如，很多學(xué)生選擇了A選項(xiàng)，他們只是考慮到了b>0，因?yàn)檎壤瘮?shù)的圖象在第一象限和第三象限，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口應(yīng)該向上，所以他們選擇了符合自己判斷的A選項(xiàng)。還有部分學(xué)生僅僅意識(shí)到圖象會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選擇了B選項(xiàng)。另外，即使選對(duì)的也有接近一半的學(xué)生有涂改答案的跡象，說(shuō)明這些學(xué)生當(dāng)中還有很多人的思路不夠清晰，考慮問(wèn)題不夠全面，所以在不同類函數(shù)同一坐標(biāo)系這類問(wèn)題上還需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

例2：小蝸牛從O點(diǎn)開(kāi)始出發(fā)，沿著扇形OAB勻速爬行一周，假設(shè)小蝸牛的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，它到O點(diǎn)距離為S，求s，t的相關(guān)函數(shù)圖象為哪個(gè)？

在對(duì)學(xué)生的答卷匯總中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生看不出圖象標(biāo)識(shí)t，s的意思，對(duì)路程、距離和路徑之間的關(guān)系弄不明白。接著，又對(duì)選擇錯(cuò)誤的學(xué)生進(jìn)行分類匯總發(fā)現(xiàn)，這道題做錯(cuò)的學(xué)生中有70%的學(xué)生選擇了B答案，由此可見(jiàn)，很多學(xué)生只是憑著自己的印象和感覺(jué)選擇了B，他們認(rèn)為這是剛學(xué)過(guò)的，所以肯定選這個(gè)，這就是因?yàn)閷?duì)圖象理解不夠透徹，沒(méi)有理解函數(shù)的本質(zhì)。

這道題考察的是學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，及對(duì)函數(shù)概念、性質(zhì)的理解。在函數(shù)圖象中，通過(guò)路程和時(shí)間等因素考查學(xué)生對(duì)函數(shù)理解的問(wèn)題比較多，也是最為貼近學(xué)生生活的例子，因此，要幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)函數(shù)相關(guān)概念的理解教學(xué)，以提高對(duì)函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力。通過(guò)這道題目還可以看出很多學(xué)生和教師并沒(méi)有重視教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，只是機(jī)械地生搬硬套所學(xué)知識(shí)，結(jié)果導(dǎo)致很多學(xué)生在這種情景題目中難以找出函數(shù)模型中的數(shù)量關(guān)系。

在解答這道題時(shí)，首先應(yīng)該看出數(shù)量的遞增和遞減變化，并找出它們的分割點(diǎn)。然后根據(jù)題目已經(jīng)明確小蝸牛的運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)，在起初會(huì)隨著時(shí)間的變化，離圓點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)，但是當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圓弧位置時(shí)，沿著圓弧開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，距離圓點(diǎn)的位置不變。當(dāng)走到圓弧下方時(shí)，小蝸牛與圓點(diǎn)之間的距離會(huì)隨著時(shí)間的增大而逐漸縮小，直到回到原點(diǎn)。通過(guò)這樣的分界分析運(yùn)動(dòng)路線，就很容易發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。

例3：如圖，拋物線y=bx2-5bx+4b，交x軸于點(diǎn)A，B，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（5，4），求b的值和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

這道題考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力，通過(guò)對(duì)學(xué)生解題步驟的匯總發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要的解題方法為配方法、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)法，其中一部分學(xué)生選擇了配方法進(jìn)行計(jì)算，但是有一部分學(xué)生在計(jì)算上出現(xiàn)了問(wèn)題，由此可見(jiàn)，關(guān)于函數(shù)的計(jì)算部分也是很多學(xué)生的弱點(diǎn)。此外，還有大部分學(xué)生采用了套用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的形式，由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)依然停留在公式記憶的水平上，應(yīng)用起來(lái)缺少靈活性。

例4：已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，請(qǐng)畫出經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的函數(shù)圖象，并給出相應(yīng)的理由。

這是一道開(kāi)放性試題，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的整體掌握情況。很多學(xué)生會(huì)選取保守的做法，選擇一次函數(shù)。通過(guò)學(xué)生的做答可以看出，很多學(xué)生會(huì)思維定式般地選擇直線，理由是“兩點(diǎn)就可以確定一條直線，因此為一次函數(shù)”，“兩個(gè)點(diǎn)可以在一條曲線上”。還有些學(xué)生因?yàn)椴荒芡ㄟ^(guò)這兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式來(lái)驗(yàn)證這個(gè)函數(shù)，而感覺(jué)不安心，不知道從何處下手。endprint

例5：判斷下列說(shuō)法是否正確。

（1）函數(shù)是方程。（2）函數(shù)是特殊的數(shù)。

（3）函數(shù)反映一種變化的過(guò)程。（4）函數(shù)是一種關(guān)系。

對(duì)學(xué)生回答匯總發(fā)現(xiàn)，第一題的正確率非常低，很多學(xué)生判斷第一題為正確，甚至有些教師也會(huì)認(rèn)為是正確的，出錯(cuò)的主要原因就是受思維定勢(shì)影響，而片面將函數(shù)解析式的涵義和方程的定義畫上了等號(hào)，并且對(duì)所學(xué)的知識(shí)不求甚解，所以根本沒(méi)有開(kāi)解函數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，這正是學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)章節(jié)時(shí)存在的重大誤區(qū)。

這道題考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的判斷，以掌握學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，了解學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解程度。方程和函數(shù)是很多學(xué)生難以搞明白的問(wèn)題，該題將方程與函數(shù)巧妙結(jié)合起來(lái)，直接考查學(xué)生的弱點(diǎn)。方程，是含有未知數(shù)的等式，實(shí)質(zhì)上它是等式，這是學(xué)習(xí)中不容忽視的內(nèi)容，而函數(shù)是某個(gè)變化過(guò)程中對(duì)變量x，y變化關(guān)系的表示，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是反映一種變化的過(guò)程。單從形式上來(lái)看，方程是含有未知數(shù)的等式，而函數(shù)解析式表示已知數(shù)與未知數(shù)之間聯(lián)系的式子。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)解析式這一章節(jié)時(shí)都會(huì)面臨這樣的困惑：“為什么所學(xué)習(xí)的三種類型的函數(shù)式是一個(gè)方程的形式，而單獨(dú)的代數(shù)式也是函數(shù)式？”因此，教師在教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)相關(guān)概念的講解，從而幫助學(xué)生更好地理解概念。

三、問(wèn)題總結(jié)

學(xué)生在學(xué)習(xí)初中函數(shù)章節(jié)中面臨的主要問(wèn)題可以概括為以下幾點(diǎn)：

第一，學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念及含義理解不到位，學(xué)生判斷函數(shù)的主要依據(jù)不是函數(shù)的定義，而是函數(shù)的書寫“模樣”。同時(shí)還缺少靈活的思維方式，一旦變換函數(shù)的書寫形式，學(xué)生就難以把握函數(shù)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

第二，學(xué)生的函數(shù)意識(shí)薄弱，當(dāng)學(xué)生面臨函數(shù)問(wèn)題時(shí)，他們不能立即找出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，更不用說(shuō)建立相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式了。

第三，學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用比較欠缺，學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)大都是直接套用公式，一旦出現(xiàn)其他形式的問(wèn)題，他們就會(huì)感覺(jué)難以下手。當(dāng)出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，不能夠靈活運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)化的方式，難以靈活處理。

第四，片面看待問(wèn)題，學(xué)生的閱讀分析能力有待提高，當(dāng)出現(xiàn)應(yīng)用類的問(wèn)題時(shí)，對(duì)于一些隱含條件學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)。即使是反比例函數(shù)和二次函數(shù)，學(xué)生也是通過(guò)大量的練習(xí)來(lái)形成解答模式，然后通過(guò)直接套用來(lái)解決問(wèn)題的。

初中函數(shù)內(nèi)容從學(xué)習(xí)開(kāi)始，就帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入了另一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，函數(shù)不僅僅是用來(lái)描述事物變化的過(guò)程，還是解決問(wèn)題的工具，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力具有積極作用。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該采取有效對(duì)策，使學(xué)生通過(guò)函數(shù)的學(xué)習(xí)在思維上和經(jīng)驗(yàn)上能夠更上一個(gè)層次。

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（編輯：朱澤玲）endprint