劉光華，鄧小燕

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 物理系，天津　300387;2. 天津工業(yè)大學(xué) 研究生院，天津　300387)

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量子相變與量子糾纏

劉光華1，鄧小燕2

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 物理系，天津300387;2. 天津工業(yè)大學(xué) 研究生院，天津300387)

作為量子體系一種內(nèi)在的非局域性關(guān)聯(lián)，量子糾纏已經(jīng)成為一個可利用的重要資源并廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域. 強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的量子相變，作為凝聚態(tài)理論中的一個重要現(xiàn)象，也一直是人們研究的熱點. 本文介紹了量子糾纏的定義，糾纏的判據(jù)，以及糾纏的度量. 接著，通過一個具體模型對如何利用量子糾纏描述量子相變進(jìn)行討論和分析. 研究發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系量子相變中量子糾纏扮演著非常重要的角色.

非局域關(guān)聯(lián)；量子糾纏；量子相變

量子糾纏是為了解釋量子力學(xué)中許多違反直覺的非局域性物理過程而提出的一個基本概念. 也就是說，量子糾纏是量子體系中存在的一種沒有經(jīng)典對應(yīng)的非局域性關(guān)聯(lián). 現(xiàn)在，量子糾纏已經(jīng)作為一種重要的資源而應(yīng)用于量子密碼術(shù)、高密度編碼、量子態(tài)的傳輸以及量子計算等許多領(lǐng)域[1-4]. 量子糾纏的研究已經(jīng)發(fā)展成為量子信息理論中非常重要的課題之一. 另外，強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的量子相變，作為凝聚態(tài)理論中的一個重要現(xiàn)象，也一直是人們研究的熱點. 在臨界點附近，強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的量子漲落變得非常劇烈，因而導(dǎo)致體系關(guān)聯(lián)長度的發(fā)散. 鑒于量子糾纏和量子相變均與非局域性關(guān)聯(lián)關(guān)系密切，凝聚態(tài)物理中常利用量子糾纏的具體行為來描述量子體系的量子相變. 本文首先對量子糾纏和量子相變等物理概念進(jìn)行介紹，接著對海森伯-易辛交替自旋模型的量子相變進(jìn)行具體描述，讓讀者對量子糾纏和量子相變之間的關(guān)系有個較為深刻的理解.

1　量子糾纏

量子理論深刻地改變了人類社會，推動了核能、激光、半導(dǎo)體等高科技的高速發(fā)展. 但是，量子理論曾經(jīng)引起的困惑至今仍然困擾著人們，自然界是否確實按照量子理論的規(guī)律運行？為此，量子力學(xué)出現(xiàn)了兩大陣營：以愛因斯坦為代表的一方始終認(rèn)定量子力學(xué)不是完備的理論，“上帝是不會玩骰子的”；而以哥本哈根學(xué)派領(lǐng)袖玻爾為代表的另一方則堅信量子理論的正確性. 在這場量子力學(xué)近百年的學(xué)術(shù)爭論中，影響最大的兩件事就是同在1935年由薛定諤提出的“薛定諤貓”佯謬[5]和由愛因斯坦等人提出的EPR佯謬[6]. 這些爭論的本質(zhì)在于，真實世界是遵從愛因斯坦的局域?qū)嵲谡摚€是玻爾的非局域性理論. 長期以來，這個爭論一直停留在哲學(xué)層面上，難以判斷“孰是孰非”，直到貝爾(Bell)基于愛因斯坦的隱參數(shù)理論而推導(dǎo)出著名的貝爾不等式，人們才有可能在實驗上依據(jù)貝爾不等式尋找判定這場爭論的依據(jù). 后來，有人在實驗上證實了貝爾不等式可以違背，即愛因斯坦的局域?qū)嵲谡撛谖⒂^世界不是真理，支持了玻爾的看法. 之后，隨著量子光學(xué)的發(fā)展，有更多的實驗支持了這個結(jié)論，即宏觀世界遵守貝爾不等式，而微觀世界能夠違背貝爾不等式. 可見，很多實驗結(jié)果的確和量子力學(xué)的結(jié)論是一致的[7]，雖然還是有人認(rèn)為在實驗的設(shè)想上還存在一些漏洞[8]. 現(xiàn)在人們知道，“EPR佯謬”中揭示的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)(非局域性)常被稱為EPR效應(yīng)，而且非局域性是量子力學(xué)的基本性質(zhì).

事實上，按照量子力學(xué)理論，EPR粒子對是處于所謂糾纏態(tài)的一對粒子，這個量子狀態(tài)最大地違背貝爾不等式，它有著奇特的性質(zhì)：人們無法單獨地確定某個粒子處在什么量子態(tài)上，這個態(tài)能給出的唯一信息就是它的整體特性：“兩個粒子之間的相互關(guān)聯(lián)”. 現(xiàn)在實驗上已成功地制備出這類具有糾纏性的量子態(tài).

1.1糾纏態(tài)

量子力學(xué)發(fā)展史上兩個著名的佯謬都涉及糾纏態(tài)的概念，下面對這個重要的物理概念進(jìn)行一些定量的討論. 所謂復(fù)合體系就是由兩個或兩個以上子系統(tǒng)組成的體系，而最簡單的復(fù)合體系是由兩個量子位(每個量子位具有兩個自由度:|0〉或|1〉)組成的一個體系. 每個量子位就是一個子系統(tǒng)，把它們分別叫作A和B. 在量子通信和糾纏理論中這兩個子系統(tǒng)分別隸屬于兩個被分離開來的觀察者:Alice和 Bob. 兩個子系統(tǒng)的任何狀態(tài)都可以分別表示成:

|Ψ〉A(chǔ)=α|0〉A(chǔ)+β|1〉A(chǔ)，|Ψ〉B=γ|0〉B+δ|1〉B

(1)

其中α2+β2=1，γ2+δ2=1. 這樣一來，這兩個子系統(tǒng)組成的復(fù)合體系狀態(tài)則可以用這兩個子系統(tǒng)的狀態(tài)的直積來表示:

|Ψ〉直積=|Ψ〉A(chǔ)?|Ψ〉B

(2)這樣的一個狀態(tài)叫直積態(tài)，但是直積態(tài)并不是唯一物理上可實現(xiàn)的狀態(tài). 如果讓A和B這兩部分之間相互作用，狀態(tài)就應(yīng)該是這些直積態(tài)的疊加. 所以，一般意義上的復(fù)合體系狀態(tài)可以寫成疊加態(tài)的形式:

(3)

如果一個復(fù)合態(tài)僅包括兩個部分，這樣的態(tài)就叫二分(bipartite)態(tài)，而包括兩個以上部分組成的復(fù)合態(tài)叫作多分(multipartite)態(tài). 兩個量子位組成的復(fù)合態(tài)，可以寫成4個糾纏態(tài)，分別是一個單重態(tài)

(4)

和3個三重態(tài)

(5)

其中|ij〉是|i〉?|j〉的縮寫. 這4個糾纏態(tài)扮演著重要角色，也就是眾所周知的Bell態(tài)或EPR對. 它們一起組成了兩個量子位態(tài)空間的一組正交歸一的完備基組，叫Bell基組. Bell態(tài)是最大糾纏態(tài)，可以通過對其中任何一個子系統(tǒng)進(jìn)行幺正變換，從而使4個基之間可以實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換. 值得注意的是，如果對Bell態(tài)中的其中一個qubit的狀態(tài)進(jìn)行測量(對于z方向有兩個本征值±1)，馬上就可以知道另一個qubit的狀態(tài). 比如，在單重的Bell態(tài)中對A量子位的本征態(tài)進(jìn)行測量，結(jié)果可能是|0〉或者|1〉，概率分別是1/2. 當(dāng)A的本征態(tài)一旦確定為|0〉(或|1〉)，B的本征態(tài)就一定是|1〉(或|0〉). 愛因斯坦曾把它稱為幽靈式的超距作用.

1.2Schmidt分解

Schmidt分解是研究處理由兩個部分(bipartite)組成的純態(tài)中糾纏的一個非常有用的工具. 它能把基組分解成雙正交的基組，從而對于一個直積基組能給出最少的基底. 對于一個給定的bipartite純態(tài)|φ〉，都可以用由這兩個子系統(tǒng)相互正交的基組的直積進(jìn)行展開：

(6)

其中c是一個dA×dB的系數(shù)矩陣，它通過奇異值分解可以寫成

c=UDV

(7)

根據(jù)上式，構(gòu)建新的基底：

(8)

并且重新定義λk=dkk，這樣就可以得到最后的形式：

(9)

1.3糾纏的判據(jù)

對于一個給定的量子態(tài)，一個首先感興趣并想問的問題是:它是否是糾纏的?或者說 它是否是可分離的? 可分離的態(tài)是一個沒有糾纏的態(tài)，它的每一個子系統(tǒng)都可以通過自身來描述. 對于純態(tài)來說，只有那些可以寫成直積(如式(2)所示)形式的態(tài)才是可分離的態(tài). 如果這個態(tài)不是直積態(tài)，那它就是一個糾纏態(tài). 在實際的操作中，人們只有找到這組恰當(dāng)?shù)幕M，才能把它寫成如式(2)那樣的直積形式. 這樣做有點困難，所以需要另一個更簡單的判斷方法，比如前面部分介紹的Schmidt分解. 就像前面提到的那樣，Schmidt系數(shù)就是約化密度矩陣本征值的平方根. 因此，Schmidt秩也就是約化密度矩陣的非零本征值. 通過Schmidt秩還可以獲得的信息是體系中有多少自由度是糾纏的. 對于一個可以寫成式(2)那樣的直積態(tài)，Schmidt秩是等于1的，此時就說體系是非糾纏的. 對于一個純態(tài)，這是一個判斷體系是否可分離或是否糾纏的必要充分條件. 因此，通過Schmidt秩可以把由兩部分組成的純態(tài)劃分為可分離和糾纏態(tài).

1.4糾纏的度量

理論上，有兩條途徑來量化糾纏. 一是操作性測量(operational measures)，它是基于如何使某一任務(wù)能較好的執(zhí)行基礎(chǔ)上的，通常要和Bell態(tài)相比較. 二是抽象測量(abstract measures)，即從一些糾纏測量應(yīng)該滿足的一些自然公理出發(fā)，然后再尋找滿足這些公理的函數(shù). 自從關(guān)于一些如何度量糾纏的文章[9-12]發(fā)表以來，這一課題已經(jīng)發(fā)展成了一個新的研究領(lǐng)域. 然而，如何定量地描述混合系綜的糾纏，仍然是一個沒有完全解決的難題.

在糾纏的度量中，由約化密度矩陣定義的馮·諾依曼熵是一個非常重要的物理量. 兩個子系統(tǒng)中任何一個的馮·諾依曼熵(兩者的熵是相等的)都能很好地用來測量糾纏. 正是由于這個原因，約化的馮·諾依曼熵又常被叫作糾纏熵ES. 糾纏熵是Bennett等人在文獻(xiàn)[11]中第一次引入用來測量糾纏的. 對于一個由A和B兩部分組成的二分量子體系，可以用約化密度矩陣來描述子體系A(chǔ)或者B. 約化密度矩陣ρA和ρB分別定義為

(10)

或者

(11)

從約化密度矩陣ρA或者ρB出發(fā)，糾纏熵ES可以定義為

ES(ψ)=-Tr(ρAlnρA)=-Tr(ρBlog2ρB)

(12)

很容易看出，對于兩個約化密度矩陣來說，糾纏熵ES都是相等的. 我們看到糾纏熵ES具有如下一些重要性質(zhì): 1) 對于直積態(tài)，糾纏熵ES等于0； 2) 當(dāng)約化密度矩陣完全混合(即子體系沒有獨立的自由度)時，糾纏熵取最大值； 3) 而且，在局域的幺正變換操作下，糾纏熵ES保持不變，這是糾纏的測量中的一個重要的特性.

另外，人們早就認(rèn)識到矩陣乘積態(tài)(MPS)可以用來描述一維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的量子基態(tài). 大家熟悉的一個典型例子就是嚴(yán)格可解的AKLT模型[13]，該模型的基態(tài)恰好是一個維數(shù)為2的矩陣乘積態(tài). 有趣的是MPS還可以用來研究一些費米子模型[14]. 近年來的研究表明，無論是數(shù)值重整化群還是密度矩陣重整化群，基態(tài)波函數(shù)都具有MPS 態(tài)的形式[15,16]. 下面，我們將采用基于矩陣乘積態(tài)框架下的無限時間演化塊消減(iTEBD)算法[17]研究具體量子體系的量子相變問題. 矩陣乘積態(tài)框架下，一維的兩周期量子體系基態(tài)通?？梢员硎境桑?/p>

(13)

其中mi表示局域物理指標(biāo)，Γa(Γb)表示奇(偶)格點上的三階張量.Λa(Λb)代表奇(偶)鍵上的對角矩陣. 當(dāng)矩陣乘積態(tài)具有正則化形式時，人們可以砍斷任意鍵進(jìn)行Schmidt分解:

(14)

(15)

對于兩周期的矩陣乘積態(tài)，就存在兩個二分糾纏度量(奇數(shù)鍵S2i-1,2i和偶數(shù)鍵S2i,2i+1).

2　量子相變

量子相變是強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的一個重要的物理現(xiàn)象. 所謂量子相變，就是強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系在絕對零溫條件下，由于體系耦合參數(shù)的改變而導(dǎo)致的體系在兩個性質(zhì)完全不同的相之間的改變[18]. 對于一個量子體系，如果僅改變其中某一個參量g的話，體系的哈密頓量就應(yīng)該是這個參量g的函數(shù)H(g). 當(dāng)參量g改變時，體系的基態(tài)可能會從一個有序態(tài)轉(zhuǎn)變到另外一個有序態(tài)或者無序態(tài)，而轉(zhuǎn)變點gC則稱為相變點. 在這一相變點上，經(jīng)常伴隨著一些關(guān)聯(lián)長度的發(fā)散，這個轉(zhuǎn)變點又叫作量子臨界點. 由于體系處于絕對零度， 沒有熱力學(xué)漲落，所以說量子相變純粹是由量子漲落導(dǎo)致的. 一些為大家熟悉的例子有，在橫向磁場中的Ising型自旋體系中發(fā)生的順磁和鐵磁相的轉(zhuǎn)變；高溫超導(dǎo)體系中隨空穴摻雜濃度的增大從反鐵磁有序態(tài)到超導(dǎo)態(tài)的轉(zhuǎn)變，以及液氦中的超流絕緣體轉(zhuǎn)變.

3　量子糾纏與量子相變

量子糾纏這個本來純粹是從量子信息理論角度發(fā)展起來的物理概念，應(yīng)該在量子多體物理的研究中同樣扮演著非常重要的角色[19,20]. 特別是，作為量子態(tài)內(nèi)在的一種特性，它和量子關(guān)聯(lián)有著密切的關(guān)系. 而我們知道，量子相變同樣與量子關(guān)聯(lián)關(guān)系非常密切. 因而， 可以預(yù)計，在量子相變點處的量子糾纏可能會發(fā)生根本性的變化. 所以，人們自然地期望能通過對量子糾纏的研究來探討量子相變問題.

為此，我們以海森伯-易辛交替自旋鏈為例對量子相變進(jìn)行一些討論. 一維的海森伯-易辛交替自旋1/2鏈可通過以下哈密頓量

(16)

來描述. 其中，JH和JI分別代表奇數(shù)鍵上的海森伯和偶數(shù)鍵上的易辛自旋交換作用. 為了方便，JH取為能量的單位，JI是可以變化的參量.N是自旋鏈格點的總數(shù)量. 當(dāng)JI趨于正無窮時，體系將變成反鐵磁態(tài). 而當(dāng)JI趨于負(fù)無窮時，體系基態(tài)將形成反鐵磁條紋相. 當(dāng)JI等于零時，基態(tài)是一個理想的無序二聚化態(tài). 這就意味著，隨著JI從負(fù)無窮變化到正無窮，體系將至少要發(fā)生兩次量子相變. 體系首先從反鐵磁條紋相變?yōu)闊o序的二聚化相，接著進(jìn)入反鐵磁相. 首先我們計算體系的磁化強(qiáng)度，磁化強(qiáng)度的定義為

(17)

(18)

以及Néel序參量

(19)

這些序參量的計算結(jié)果如圖1所示. 通過圖1，我們發(fā)現(xiàn)在整個參量區(qū)間，體系的磁化強(qiáng)度始終等于零. 在JI<-2區(qū)間，我們觀測到了非零的反鐵磁條紋序參量，而在其他兩個相中反鐵磁條紋序參量都等于零.JI<-2區(qū)間非零的反鐵磁條紋序參量證實了反鐵磁條紋相的存在. 另外，當(dāng)JI>2時，Néel序參量不等于零，表明這個區(qū)間基態(tài)屬于反鐵磁相. 在-2

圖1　磁化強(qiáng)度，反鐵磁條紋序參量以及Néel序參量

圖2　奇數(shù)鍵和偶數(shù)鍵的二分糾纏(bipartite entanglement)

為了描述JI=±2的兩個量子相變，我們計算了體系隨著JI變化時的二分糾纏(如圖2所示). 通過圖2，我們清楚地看到，二分糾纏在兩個相變點(JI=±2)表現(xiàn)出了奇異行為. 根據(jù)以前的研究[21]，這兩個奇異點代表著兩個二級量子相變. 為了進(jìn)一步驗證這些結(jié)論，我們還計算了體系的基態(tài)能量，包括格點能量，奇數(shù)和偶數(shù)鍵的能量(如圖3(a)所示). 研究發(fā)現(xiàn)，所有基態(tài)能量(包括格點能量(ei)，奇數(shù)鍵能量(e2i-1,2i)和偶數(shù)鍵能量和(e2i,2i+1))隨著JI的變化表現(xiàn)出連續(xù)的行為. 接著,我們還計算了它們的一階導(dǎo)數(shù). 從圖3(b)可見，格點能量的一階導(dǎo)數(shù)仍然表現(xiàn)出連續(xù)行為，而鍵能量的一階導(dǎo)數(shù)在兩個相變點均現(xiàn)出了奇異行為. 鍵能量的一階導(dǎo)數(shù)的奇異行為意味著這些相變屬于二級量子相變的范疇[21].

格點能量(ei)和鍵能量(e2i-1,2i 和e2i,2i+1)　 格點能量和鍵能量的一階導(dǎo)數(shù)圖3

4　總結(jié)

一般而言，為了描述量子相，直截了當(dāng)?shù)姆椒ㄊ怯嬎闫渚唧w的局域參量. 因此，序參量是依賴于具體的量子相的，不同的量子相具有不同的序參量. 特別是對于一些不能用局域序參量來描述的拓?fù)湎嘧儯騾⒘扛@得無能為力. 本文利用量子糾纏的奇異行為描述了海森伯-易辛自旋1/2鏈的量子相變. 研究表明，量子糾纏是一種非常有效的描述量子相變的方法，而且它并不依賴于具體模型. 然而，目前仍然還有很多問題需要進(jìn)一步去解決，如何有效度量量子體系的量子糾纏一直是一個難題，還需要我們不斷去探索. 而且，是否還有更好的量子糾纏的度量方法仍然需要在研究的過程中不斷去尋找；要想通過量子糾纏來研究量子相變，當(dāng)然就需要找到這兩者之間的普適聯(lián)系. 因此，人們要通過對一系列量子模型進(jìn)行系統(tǒng)研究，從中獲得量子相變與量子糾纏行為的普適關(guān)系.

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Quantum phase transitions and quantum entanglement

LIU Guang-hua1, DENG Xiao-yan2

(1. Department of Physics, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China;2．Graduate School, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China)

Quantum entanglement, as an inherent nonlocal correlation, has become one of the important available sources, and was widely applied in many fields. The quantum phase transition in strongly correlated systems, as an important phenomenon, is still a remarkable focus in condensed matter physics. In the present paper, the conception, the criteria, and the measurement of entanglement are introduced and discussed. Then, the quantum phase transitions in a representative model are investigated, and how to describe the quantum phase transitions by the quantum entanglement is also discussed. It is found that the quantum entanglement plays a key role in quantum phase transitions.

nonlocal correlation; quantum entanglement; quantum phase transitions

2015-04-27；

2015-10-15

天津工業(yè)大學(xué)校級教學(xué)改革項目(2013-2-33)資助

劉光華( 1976—) , 男, 江西泰和人, 天津工業(yè)大學(xué)副教授, 博士, 主要從事凝聚態(tài)物理研究工作.

教學(xué)研究

O 413.1

A

1000- 0712(2016)04- 0001- 06