張奕雄

(韓山師范學(xué)院 物理與電子工程系，廣東 潮州　521041)

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多點(diǎn)測(cè)量法與最小偏向角法在色散特性測(cè)量中的比較分析

張奕雄

(韓山師范學(xué)院 物理與電子工程系，廣東 潮州521041)

探討入射角、偏向角關(guān)聯(lián)函數(shù)上有利區(qū)域的多點(diǎn)測(cè)量法，在獲取這些非最小偏向角的測(cè)量數(shù)據(jù)后，進(jìn)行最小二乘法的非線性擬合，得到對(duì)應(yīng)入射光線波長(zhǎng)的介質(zhì)的折射率，從而可對(duì)系列譜線的折射率進(jìn)行色散方程擬合，進(jìn)而，其擬合結(jié)果的不確定度與通常采用的最小偏向角方法實(shí)現(xiàn)的色散方程擬合的參數(shù)不確定進(jìn)行比較.實(shí)驗(yàn)表明，多點(diǎn)測(cè)量擬合法可獲得擬合量的較小相對(duì)誤差及較高相關(guān)系數(shù)，多點(diǎn)測(cè)量法可作為一種高精度測(cè)量介質(zhì)折射率及色散特性的補(bǔ)充方法.

多點(diǎn)測(cè)量擬合法; 最小偏向角; 折射率; 非線性擬合;色散特性;

實(shí)驗(yàn)獲取介質(zhì)的色散特性曲線多為采用最小偏向角測(cè)量的方法[1，2]，利用測(cè)得的系列譜線的折射率，進(jìn)行介質(zhì)色散方程的最小二乘法擬合.而最小偏向角的精確臨界位置判斷的不準(zhǔn)，會(huì)引入一定的誤差[3]，難于滿足高精度測(cè)量要求.本文提出多點(diǎn)測(cè)量擬合法，選擇避開入射角與偏向角所成的函數(shù)曲線變化率近零區(qū)域及極值的測(cè)量不利區(qū)域，進(jìn)行系列入射角、偏向角的可靠位置測(cè)量，并實(shí)現(xiàn)其最小二乘法的入射角、偏向角函數(shù)關(guān)系擬合，從而獲得對(duì)應(yīng)入射波長(zhǎng)的介質(zhì)折射率，進(jìn)而獲得色散特性測(cè)量的較小實(shí)驗(yàn)誤差，滿足高精度測(cè)量要求.

1　最小偏向角方法獲取介質(zhì)的色散方程

當(dāng)波長(zhǎng)為λ的光線從三棱鏡的側(cè)面以入射角i1入射折射率為n、頂角角度為A的三棱鏡后，產(chǎn)生折射角γ1的折射，當(dāng)折射光線傳播到棱鏡的另一面時(shí)，以入射角i2入射，折射角γ2出射棱鏡，光線從入射棱鏡到出射棱鏡發(fā)生了偏向角δ角度的偏轉(zhuǎn).由折射定律可得

sini1=nsinγ1及nsini2=sinγ2

(1)

由三棱鏡及入射光線、出射光線的幾何關(guān)系可得[1，4，5]

δ=(i1-γ1)+(i2-γ2)=i1+γ2-A

(2)

為了得到入射角、偏向角及折射率的關(guān)系，γ2用入射角及折射率表示

(3)

式(3)即為入射角、偏向角及折射率的函數(shù)關(guān)系式.

選定樣品棱鏡后，其頂角為一定值A(chǔ)，對(duì)于入射波長(zhǎng)λ的光線，其折射率為定值n，由入射角與偏向角的關(guān)系可知，存在最小偏向角δmin，通常測(cè)得δmin后依據(jù)折射率與最小偏向角的關(guān)系[1，3]可求得樣品折射率：

(4)

在不同實(shí)驗(yàn)環(huán)境測(cè)得系列譜線對(duì)應(yīng)的最小偏向角的二組數(shù)據(jù)，表1為第一組測(cè)量數(shù)據(jù)、表2為第二組測(cè)量數(shù)據(jù).

表1　不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的最小偏向角及利用式(6)計(jì)算的樣品折射率(第一組測(cè)量數(shù)據(jù))

表2　不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的最小偏向角及利用式(6)計(jì)算的樣品折射率(第二組測(cè)量數(shù)據(jù))

柯西色散方程中折射率與波長(zhǎng)有如下關(guān)系[1，6]：

(5)

而指數(shù)衰減式中折射率與波長(zhǎng)的關(guān)系[2]為

n=Be-λA-1+C

(6)

利用origin軟件的自定義非線性擬合功能，再利用式(5)和(6)進(jìn)行系列譜線色散方程的最小二乘法擬合[7-10]，得到測(cè)量的第一組及第二組數(shù)據(jù)所擬合的柯西色散方程和指數(shù)衰減方程的參量分別如表3、表4所示，所擬合出的柯西色散方程曲線分別如圖1、圖2所示.

表3　最小偏向角法測(cè)得第一組折射率數(shù)據(jù)的色散方程擬合結(jié)果

表4　最小偏向角法測(cè)得第二組折射率數(shù)據(jù)的色散方程擬合結(jié)果

圖1　　　　最小偏向角法測(cè)得折射率(第一組最小偏向角法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))的柯西色散方程最小二乘法擬合曲線

圖2　　　　最小偏向角法測(cè)得折射率(第二組最小偏向角法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))的柯西色散方程最小二乘法擬合曲線

從表3及表4的結(jié)果分析得出，采用最小偏向角法測(cè)得折射率，并進(jìn)行色散方程擬合，擬合的參量b及c的標(biāo)準(zhǔn)誤差達(dá)到了與對(duì)應(yīng)參量相差一個(gè)量級(jí)以內(nèi).這在一些色散曲線的應(yīng)用實(shí)驗(yàn)中，可能難于滿足要求，如基于法拉第磁光效應(yīng)測(cè)量電子荷質(zhì)比的實(shí)驗(yàn)中，要求獲得較小不確定度的b、c擬合量[6].最小偏向角法測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)無(wú)論采用柯西方程還是指數(shù)衰減方程來(lái)擬合，獲取的相關(guān)系數(shù)比較小，有待提高.因在實(shí)驗(yàn)中，最小偏向角精確位置判斷的不準(zhǔn)，引入一定的誤差，從而使最小偏向角法未能滿足高精度測(cè)量的要求.

2　多點(diǎn)測(cè)量擬合方法獲取介質(zhì)的色散

實(shí)驗(yàn)中，為了滿足高精度測(cè)量要求，依據(jù)選定樣品棱鏡后，對(duì)于入射波長(zhǎng)λ的光線，其偏向角滿足與入射角、折射率所成的函數(shù)關(guān)系曲線關(guān)系，選擇測(cè)量的有利區(qū)域，進(jìn)行系列入射角、偏向角的可靠位置測(cè)量，并實(shí)現(xiàn)其最小二乘法的入射角、偏向角函數(shù)關(guān)系式(3)的擬合，從而獲得對(duì)應(yīng)入射波長(zhǎng)的介質(zhì)折射率，進(jìn)而利用origin進(jìn)行系列譜線折射率的色散方程式(5)的最小二乘法擬合，得到所擬合出的介質(zhì)色散方程.

在不同實(shí)驗(yàn)環(huán)境利用多點(diǎn)測(cè)量方法獲得二組數(shù)據(jù)，表5、表6分別對(duì)應(yīng)多點(diǎn)測(cè)量方法的第一組、第二組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)中，選擇不同的入射波長(zhǎng)，利用入射角與偏向角多點(diǎn)測(cè)量及擬合方法，獲得系列譜線的折射率.

表5　實(shí)驗(yàn)測(cè)得不同波長(zhǎng)入射樣品棱鏡，對(duì)應(yīng)入射角與出射角的第一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表6　實(shí)驗(yàn)測(cè)得不同波長(zhǎng)入射樣品棱鏡，對(duì)應(yīng)入射角與出射角的第二組實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)表5所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行入射角、偏向角及折射率的函數(shù)關(guān)系式(3)最小二乘法擬合，結(jié)果如圖3所示，并得到系列譜線的折射率，如表7、表8所示.

入射波長(zhǎng)λ/nm404.66407.78435.84491.60496.03546.07576.96623.44690.72折射率n1.682721.681601.672991.660761.659971.652691.649231.645041.64043擬合相關(guān)系數(shù)0.999890.999820.999900.999850.999950.999950.999940.999910.99995

表8　實(shí)驗(yàn)測(cè)得的第二組數(shù)據(jù)以不同波長(zhǎng)入射樣品棱鏡，對(duì)應(yīng)的折射率擬合結(jié)果

圖4所示為表7中不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的折射率進(jìn)行柯西色散方程最小二乘法擬合結(jié)果.

從表9、表10多點(diǎn)測(cè)量法進(jìn)行柯西色散方程的擬合結(jié)果分析得出，多點(diǎn)測(cè)量法各擬合量的相對(duì)誤差小于最小偏向角法擬合的結(jié)果.文獻(xiàn)[11]中有類似的最小偏向角法直線擬合出色散特性系數(shù)的結(jié)果，系數(shù)a及b的相對(duì)誤差也同樣比本文的多點(diǎn)測(cè)量法的大，相關(guān)系數(shù)為0.999 23，也比本文多點(diǎn)測(cè)量法的小.在一些高精度色散測(cè)量要求的應(yīng)用中，最小偏向角法未能滿足要求，而多點(diǎn)測(cè)量法則是較為理想的一種選擇.

圖4　　　　多點(diǎn)測(cè)量擬合法獲得折射率的柯西色散方程最小二乘法擬合曲線

擬合量a擬合量b擬合量c擬合量值標(biāo)準(zhǔn)誤差擬合量值標(biāo)準(zhǔn)誤差擬合量值標(biāo)準(zhǔn)誤差擬合曲線相關(guān)系數(shù)1.622261.37E-048.07E-157.03E-172.99E-288.27E-300.99999

表10　多點(diǎn)測(cè)量擬合法第二組實(shí)驗(yàn)獲得折射率的柯西色散方程的擬合結(jié)果

3　測(cè)量結(jié)果分析及結(jié)論

對(duì)多點(diǎn)測(cè)量方法獲得折射率進(jìn)行柯西色散方程擬合的結(jié)果與最小偏向角法擬合的結(jié)果進(jìn)行比較得出，多點(diǎn)測(cè)量擬合法可獲得較小的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差.最小偏向角法的擬合相關(guān)系數(shù)無(wú)論采用柯西方程還是指數(shù)衰減方程擬合，該相關(guān)系數(shù)都比較小.采用多點(diǎn)測(cè)量法所擬合出參量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)誤差達(dá)到了與對(duì)應(yīng)參量相差二個(gè)量級(jí)，擬合相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.999 99.這些數(shù)據(jù)表明，最小偏向角法因其臨界位置判斷有一定的困難，造成一定誤差，而多點(diǎn)測(cè)量擬合方法，雖測(cè)量數(shù)據(jù)量大，能避開測(cè)量不利區(qū)域，有效地提高了實(shí)驗(yàn)的可靠性，實(shí)現(xiàn)了高質(zhì)量的測(cè)量，因此，多點(diǎn)測(cè)量法可作為一種高精度測(cè)量介質(zhì)折射率及擬合色散方程的補(bǔ)充方法.

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Comparison of the multi-point measuring method and the least deviation angular method in the measurement of dispersion relation

ZHANG Yi-xiong

(Department of Physics and Electronic Engineering, Hanshan Normal University, Chaozhou, Guangdong 521041, China)

Based on the multi-point measurements, the refractive index is fitted from the data of non-least deviation angular by the nonlinear-fitting of Origin (software), to gain the dispersion relation of sample. The multiple point measuring method can be used to improve the degree of accuracy of dispersion relation of sample and achieve higher precision measurement than the least deviation angular method, by comparing multiple point measuring method and the least deviation angular method of fitting results of dispersion equation.

multi-point measuring and fitting method; least deviation angular; refractive index; nonlinear-fitting; dispersion relation

2015-01-20；

2015-11-20

廣東省高等學(xué)校教育技術(shù)中心立項(xiàng)試驗(yàn)課程項(xiàng)目(GDHBL017)資助

張奕雄(1979—)，男，廣東五華人，廣東潮州韓山師范學(xué)院物理與電子工程系實(shí)驗(yàn)師，碩士，主要研究方向：光學(xué)、近代物理.

O 482.55

A

1000- 0712(2016)04- 0033- 05