傅海明,戴正德

(1.廣州華夏職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,廣東 廣州,510935;2.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,云南 昆明 650091)

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(2+1)維NNV方程的周期孤立波解和雙周期孤立波解

傅海明1,戴正德2

(1.廣州華夏職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,廣東 廣州,510935;2.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,云南 昆明 650091)

擴(kuò)展了Hirota法,即將Hirota法中的測試函數(shù)用新的測試函數(shù)來替代,并利用擴(kuò)展了的方法來構(gòu)造(2+1)維Nizhnik-Novikov-Veselov方程的周期孤子解和雙周期孤子解.顯然擴(kuò)展的Hirota方法也可以解其他一些非線性發(fā)展方程.

(2+1)維Nizhnik-Novikov-Veselov方程; Hirota方法;周期孤子解;雙周期孤子解

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,非線性發(fā)展方程的應(yīng)用越來越廣泛,如非線性光學(xué)、流體力學(xué)、彈性理論和凝聚態(tài)物理等,這些領(lǐng)域的研究都用到非線性發(fā)展方程的解,因此,吸引了很多學(xué)者去尋求非線性發(fā)展方程的精確解.傳統(tǒng)的求解方法主要有逆散射法[1]、Backlund法[2]、Darboux變換法[3]、Hirota雙線性法[4-6]、Painlevé 展開法[7]等.近年在眾多學(xué)者的努力下,又發(fā)展出許多新的求解非線性發(fā)展方程的方法,如雙曲函數(shù)法[8]、齊次平衡法[9]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[10]、包絡(luò)變換法[11-12]、ADM方法[13]、雙指數(shù)函數(shù)法[14]、利用分支理論直接積分法[15]和新輔助函數(shù)法[16]等等.

Hirota法是Hirota最先使用的,用該方法可以求出非線性方程的孤子解和多孤子解.筆者把Hirota法擴(kuò)展為可以求出非線性發(fā)展方程的含有周期的孤子解.然后利用擴(kuò)展了的Hirota法求得(2+1)維Nizhnik-Novikov-Veselov方程

(1)

的周期孤子解和雙周期孤子解.

1　方程(1)的求解過程

使用變換

(2)

再引進(jìn)雙線性算子

(3)

方程(1)通過式(2)和式(3)可以寫成雙線性型形式:

(4)

使用測試函數(shù)

f(x,y,t)=a1cosξ1+a2sinhξ2+exp(-ξ3)+a3exp(ξ3)

(5)

其中, ξi=kix+hiy+wit+ηi0(i=1,2,3),ki,hi,wi為待定常數(shù),ηi0(i=1,2,3)為任意實常數(shù).

把式(5)代入式(4),并且令sinξ1exp(±ξ3),cosξ1exp(±ξ3),sinhξ2exp(±ξ3),coshξ2exp(±ξ3),exp(0),sinξ1sinhξ2,cosξ1coshξ2的系數(shù)為零,得到如下代數(shù)方程組

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

利用 MATLAB 解以上代數(shù)方程組,得到如下幾種情形

(17)

(18)

把式(18)代入式(2),得方程(1)的孤子解為

(19)

(20)

把式(20)代入式(2),得方程(1)的孤子解為

(21)

(22)

(23)

把式(23)代入式(2),得方程(1)的周期孤子解為

(24)

(25)

把式(25)代入式(2),得方程(1)的周期孤子解為

(26)

(27)

(28)

把式(28)代入式(2),得方程(1)的周期雙孤子解為

(29)

(30)

把式(30)代入式(2),得方程(1)的周期雙孤子解為

(31)

(32)

由于a3,h3任意性，不妨假設(shè)a3=1,h3=iH3,則式(32)變?yōu)?/p>

(33)

把式(33)代入式(5), 并設(shè)ξ3=iX3得

f(x,y,t)=±2cosξ1+a2sinhξ2+2cosX3,

(34)

把式(34)代入式(2),得方程(1)的雙周期孤子解為

(35)

2　結(jié)論

筆者擴(kuò)展了Hirota法,即將Hirota法中的測試函數(shù)用新的測試函數(shù)來替代.以(2+1)維Nizhnik-Novikov- Veselov方程為例,給出用這個擴(kuò)展后的方法求周期孤子解的具體過程,這些孤子解都沒曾見報道過.容易看到,這個擴(kuò)展后的方法適用于相當(dāng)一部分非線性方程.

[1]ABLOW ITZ M J, CLARKS ON P A. Soliton, nonlinear evolution equations and inverse scattering [M].Cambridge Univ. Press, 1991:123-136.

[2]谷超豪.孤立子理論及其應(yīng)用[M ].杭州:浙江科技出版社, 1990:86-98.

[3]MAT VEEV V B, S ALLEM A.Daroux transformations and solitons[M]. Berlin: Springer, 1991:326-387.

[4]HIROTAR. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons[J]. Phys Rev lett, 1971, 27: 1192-1194.

[5]傅海明,戴正德.(3+1)維K-P方程的周期孤波解[J].山西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010, 33(1): 4-7.

[6]傅海明,戴正德.(3+1)維孤子方程的周期孤波解[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011, 47(2): 32-34,42.

[7]樓森岳.推廣的 Painlevé 展開及 KdV方程的非標(biāo)準(zhǔn)截斷解[J].物理學(xué)報,1998,47: 1739-1745 .

[8]李志斌,張善卿.非線性波方程準(zhǔn)確孤立波解的符號計算[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,1997,17(1):81-89.

[9]WANG M L, ZHOU YB, LI ZB. Application of homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics[J]. Phys Lett A, 1996,213:67-75.

[10]劉式適,傅遵濤,劉式達(dá)，等.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報, 2001,50 (11):2068-2073 .

[11]FU Hai-Ming, DAI ZHeng-De. Exact chirped solitary-wave solutions for Ginzburg-Landau equation[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations，2010(15):1462- 1465.

[12]傅海明,戴正德.一類非線性偏微分方程的新孤立波解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,50 (2):47-49.

[13]SALAN M, KAYA D. An application of the ADM to seven-order Sawada-Kotara equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2004,157: 93-101.

[14]FU Hai-Ming, DAI ZHeng-De. Double Exp-function Method and Application[J]. International Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009,10(7):927-933.

[15]LI Ji-Bin, ZHANG Li-Jun. Bifurcations of traveling wave solution in generalized Pochhammer-Chree equation[J]. Chaos, Soitons and Fractals, 2002,14:581-593.

[16]傅海明,戴正德.新輔助函數(shù)法及(2+1)維Burgers方程的精確解[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,33(4):25-29.

Periodic-soliton wave solutions and double periodic-soliton wave solutions for (2+1)-dimensional NNV equation

FU Haiming1, DAI Zhengde2

(1. Department of Basic Courses, Guangzhou Huaxia Technical College, Guangzhou 510935, China;2.College of Mathematics & Statistics, Yunnan University, Kunming 650091, China)

Hirota method proposed recently is extended to construct more exact solutions of nonlinear evolution equations. To be more precise, new text function is used instead of text function in Hirota method. By using the extended Hirota method, (2+1)-dimensional Nizhnik-Novikov-Veselov equation is solved an abundance of exact periodic soliton wave solutions and double periodic soliton wave solutions. Obviously, the extended Hirota method can be applied to solve some other nonlinear evolution equations as well.

(2+1)-dimensional Nizhnik-Novikov-Veselov equation; Hirota method; periodic-soliton wave solutions; double periodic-soliton wave solutions

2016-04-04;

2016-05-16

國家自然科學(xué)基金資助項目(No.11061028)

傅海明(1981- ),男,廣東從化人,講師,碩士,主要從事可積系統(tǒng)與孤立子方面的研究.

O175.29

A

1671-9476(2016)05-0039-05

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.010