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垂直于正交異性與各向同性雙材料界面裂紋尖端應(yīng)力場理論研究

2016-10-17 06:29胡帥帥
周口師范學(xué)院學(xué)報 2016年5期
關(guān)鍵詞:應(yīng)力場傅里葉尖端

胡帥帥,陳 娜

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 周口 466001)

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垂直于正交異性與各向同性雙材料界面裂紋尖端應(yīng)力場理論研究

胡帥帥,陳娜

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 周口 466001)

主要研究了各向同性與正交異性材料中與材料界面垂直的裂紋尖端問題.通過傅里葉積分變換推導(dǎo)出了裂紋尖端的位移、應(yīng)力場表達(dá)形式.構(gòu)造位錯密度函數(shù)并結(jié)合相應(yīng)的邊界條件,將問題轉(zhuǎn)化為奇異積分方程.最后給出應(yīng)力強度因子的表達(dá)式并分析了對其影響的相關(guān)因素.

各向同性材料;正交異性材料;垂直裂紋;傅里葉變換;應(yīng)力強度因子

隨著復(fù)合材料在工程領(lǐng)域中應(yīng)用的不斷擴大,復(fù)合材料中各種各樣的裂紋尖端研究就顯得非常重要.文獻(xiàn)[1]采用梅林變換法研究一類垂直裂紋問題.文獻(xiàn)[2]用liyong-mellin變換方法研究的是各向同性雙材料垂直裂紋問題.文獻(xiàn)[3]、[4]、[5]利用積分變換方法研究的是裂紋垂直于一非理想界面的問題.文獻(xiàn)[6]采用復(fù)變函數(shù)方法討論了正交各向異性雙材料界面裂紋.

本文通過傅里葉積分變換推出了正交異性與各向同性垂直界面裂紋尖端位移、應(yīng)力場的表達(dá)形式,結(jié)合相應(yīng)的邊界條件將問題化成第一類奇異積分方程,得出了應(yīng)力強度因子的表達(dá)式并分析了對其影響的相關(guān)因素.

圖1 含有垂直于各向同性、正交各向異性雙材料界面裂紋

1 力學(xué)模型

如圖1:y軸為雙材料結(jié)合面,長度為2a0的裂紋位于各向同性材料中且垂直于雙材料界面,裂紋中心距界面距離為c.裂紋被置于x軸上并完全含于各向同性材料. 在材料內(nèi)部給垂直裂紋施加一壓力,即

(1)

2 基本方程

由彈性力學(xué)知識可知,各向同性、正交各向異性材料的控制方程可表示為:

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

物理方程:

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

根據(jù)彈性力學(xué)知識構(gòu)造如下邊界連續(xù)條件:

(4)

v(1)(x,0)=0 ;0

(5)

(6)

(7)

(8)

2.1 模型求解

考慮到問題的對稱性,只需考慮右半部分即可,通過傅里葉積分變換構(gòu)造方程(2a)~(2d)的解為:

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

其中

(10)

(11)

2.2裂紋尖端應(yīng)力場

把方程(9a)~(9d)帶入方程(3a)~(3f)中可得:

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

(12e)

(12f)

由上式,求出Αj(s)和Βj(s) (j=1,2,3,4)就可以得出裂紋尖端應(yīng)力場的具體表達(dá)式.由邊界連續(xù)條件(4)~(8)可得:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

對方程(18)、(19)進(jìn)行傅里葉積分逆變換可得:

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

由方程(15)、(17)、(20)、(21),未知函數(shù)Α3(s)、Α4(s)、Β3(s)、Β4(s)可以用關(guān)于ω1,ω2的表達(dá)式表示.即

(24)

這里,不再給出Cj(s)、Dj(s)(j=1,2,3,4)的具體表達(dá)式.

由邊界條件v(1)(x,0)=0, 0

(25)

(26)

2.3 求解第一類積分方程方法

方程(26)很難求解,可以把其化成帶有柯西核的奇異積分方程,然后通過數(shù)值計算得出結(jié)果.為此,定義輔助位錯密度函數(shù)g(x)

(27)

可得:

(28)

又由于v(1)(a,0)=v(1)(b,0)=0,則位錯密度函數(shù)g(x)滿足單值約束條件.

(29)

對方程(28)就行傅里葉積分逆變換,可得:

(30)

把方程(30)代入方程(26),則方程可以轉(zhuǎn)化成:

(31)

其中

(32)

觀察方程(32)知,只有當(dāng)k(ξ,x)具有較簡單的形式時,方程(31)才容易求解.為此引入無量綱變量:

(33)

此時方程(31)化為:

(34)

這里

(35)

接下來通過切比雪夫配置方法把方程(34)離散成一個線性代數(shù)方程組

(36)

這里

λ1=...=λn-1=1

另外單值約束條件可以寫為:

(37)

求解線性方程組(36)、(37),就可以得到裂紋尖端應(yīng)力場、位移場.

3  應(yīng)力強度因子

根據(jù)斷裂力學(xué)的知識,定義裂紋尖端左右端的應(yīng)力強度因子如下:

(38)

由式(35)可得:

(39)

當(dāng)兩種復(fù)合材料均為各向同性材料時.計算可得:

k(ξ,x)=0

此時奇異積分方程(36)可以被表示為:

(40)

由式(39)裂紋尖端左右端的應(yīng)力強度因子為:

(41)

與文獻(xiàn)[7]結(jié)果一致.

4 結(jié)論

(1)構(gòu)造出垂直于正交異性與各向同性雙材料界面裂紋的力學(xué)模型.

(2)通過傅里葉積分變換、逆變換推導(dǎo)出正交異性與各向同性雙材料界面裂紋的位移場、應(yīng)力場,并給出了裂紋端應(yīng)力強度因子的具體表達(dá)式.

(3)驗證兩種材料均為各向同性材料時,推導(dǎo)出的應(yīng)力強度因子表達(dá)式與已知結(jié)論一致.

[1]Bogy D B.Two edge-bonded elastic wedges of different materials and wedge angles under surface tractions[J].ASME Journal of Applied Mechanics,1971,38:377-386.

[2]COOK T S, Erdogan F. Stresses in bonded materials with a crack perpendicular to interface [J]. International Journal of Engineering Science,1972, 10:677-697.

[3]Jinquan Xu. Interface Mechanics [M].Beijing:Science Publishing House, 2006.

[4]Zhong X C,Li X F,Lee K Y. Analysis of a mode-I crack perpendicular to an imperfect interface[J]. International Journal of Solids and Structures,2009,46:1456-1463.

[5]Zhang X S. A central crack at the interface between two different orthotropic media for the mode Ⅰand mode Ⅱ [J]. Engineering Fracture Mechanics, 1989, 33 (3):327-333.

[6]李俊林,張少琴,楊維陽,等.正交異性雙材料半無限界面裂紋尖端場分析[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報,2010,27(3):444-450.

[7]周振功,王彪. 位于兩不同正交各向異性半平面間張開型界面裂紋的性能分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2004,25(7):887-1000.

Analysis of a crack perpendicular to the interface between isotropic and orthotropic composite materials

HU Shuaishuai,CHEN Na

(School of Mathematics and Statistics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001,China)

The problem of a crack perpendicular to the interface between isotropic and orthotropic composite materials is investigated. By using Fourier integral transform, the displacement and the solution of stress field form crack tip is given. By introducing auxiliary dislocation density function and using the corresponding boundary conditions, the problem is transformed into the first category singular integral equation. Finally, the expressions of stress intensity factor are given and the relevant factors which influence the stress intensity factor are analyzed.

orthotropic materials; isotropic materials; Mode I perpendicular crack; Fourier transform; stress intensity factor

2016-05-18;

2016-06-12

周口師范學(xué)院青年科研基金資助項目(No. zknuB315211)

胡帥帥(1986- ),男,河南漯河人,碩士,主要研究方向為微分方程理論及應(yīng)用.E-mail:hsshuai@163.com

O174.2;O346.1

A

1671-9476(2016)05-0044-06

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.011

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