張亞霄，陳陽(yáng)舟，曲曉俊

（北京工業(yè)大學(xué)城市交通學(xué)院交通工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

線性時(shí)滯多智能體系統(tǒng)多類型拓?fù)淝袚Q下的一致性

張亞霄，陳陽(yáng)舟，曲曉俊

（北京工業(yè)大學(xué)城市交通學(xué)院交通工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

針對(duì)帶有時(shí)變時(shí)滯協(xié)議的連續(xù)時(shí)間線性高階多智能體系統(tǒng)在多類型有向通信拓?fù)淝袚Q下的一致性問(wèn)題進(jìn)行研究.考慮多智能體系統(tǒng)在可一致與不可一致通信拓?fù)渲g進(jìn)行切換的情況.通過(guò)一個(gè)線性變換將該一致性問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為一個(gè)切換時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.基于切換系統(tǒng)穩(wěn)定性理論與時(shí)滯系統(tǒng)理論，利用平均駐留時(shí)間方法分析，以線性矩陣不等式（linear matrix inequalities，LMIs）的形式給出多智能體系統(tǒng)達(dá)到狀態(tài)一致的充分條件.數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了理論分析所得結(jié)論的正確性.

多智能體系統(tǒng)；有向切換通信拓?fù)?；時(shí)變時(shí)滯；線性矩陣不等式；平均駐留時(shí)間

近年來(lái)，隨著通信、網(wǎng)絡(luò)以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，多智能體系統(tǒng)被越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于軍事、交通等領(lǐng)域.在分布式協(xié)調(diào)控制中，為完成共同目標(biāo)，智能體之間相互影響并且最終在某些個(gè)體狀態(tài)上達(dá)成一致，稱為一致性問(wèn)題［1］.

在實(shí)際應(yīng)用中，智能體之間的通信擁堵或者有限的傳輸距離會(huì)導(dǎo)致通信時(shí)滯.通信鏈路斷開(kāi)或重連情況會(huì)導(dǎo)致通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化，出現(xiàn)切換通信拓?fù)涞那闆r.基于低階帶有通信時(shí)滯和切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)一致性問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果［2-3］.

然而實(shí)際應(yīng)用中智能體的運(yùn)動(dòng)方程有時(shí)需要高階動(dòng)力學(xué)模型來(lái)刻畫.對(duì)于高階連續(xù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)［4］基于強(qiáng)連通平衡圖，利用Lyapunov-Krasovskii定理以線性矩陣不等式（linear matrix inequalities，LMIs）的形式給出帶有多常時(shí)滯高階多智能體系統(tǒng)平均一致性的充分條件.對(duì)于高階離散系統(tǒng)，文獻(xiàn)［5］基于圖論得出當(dāng)通信拓?fù)涞牟⒓嬖谝粋€(gè)有向生成樹(shù)時(shí)，帶有多時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)湎逻_(dá)到一致的充分條件.

然而，少有文獻(xiàn)考慮通信拓?fù)涞那袚Q過(guò)程對(duì)多智能體系統(tǒng)一致性產(chǎn)生的影響.文獻(xiàn)［6］基于無(wú)向通信拓?fù)?，利用平均駐留時(shí)間切換方法給出帶有相同時(shí)變通信時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)湎逻_(dá)到一致（同步）的充分條件.文獻(xiàn)［7-8］針對(duì)無(wú)通信時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)在可一致有向通信拓?fù)渲g進(jìn)行切換的情況，并得出當(dāng)切換信號(hào)分別滿足平均或動(dòng)態(tài)駐留時(shí)間條件時(shí)系統(tǒng)可以達(dá)到狀態(tài)一致的結(jié)論.

但是實(shí)際應(yīng)用中，通信拓?fù)淝袚Q過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)短暫的不可一致通信拓?fù)洌ɡ?，通信拓?fù)渲胁淮嬖谟邢蛏蓸?shù)）的情況.本文基于文獻(xiàn)［10-11］研究帶有相同時(shí)變時(shí)滯并且通信拓?fù)湓谝粋€(gè)同時(shí)包含可一致拓?fù)浜筒豢梢恢峦負(fù)涞募蟽?nèi)進(jìn)行切換的情況.首先通過(guò)一個(gè)線性變換，將帶有時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)在切換通信拓?fù)湎碌囊恢滦詥?wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的切換時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，基于滿足平均駐留時(shí)間方法和時(shí)間比率條件的切換信號(hào)，運(yùn)用自由權(quán)矩陣的方法得出的多智能體系統(tǒng)一致性的充分條件并以LMIs的形式表示.

在本文中，令I(lǐng)N表示N階單位矩陣，?表示矩陣或向量的Kronecker積，1N表示所有元素均為1 的N維列向量.

1　問(wèn)題描述

考慮一個(gè)多智能體系統(tǒng)

式中:xi∈R Rn和ui∈R Rm分別為第i個(gè)智能體的狀態(tài)和控制輸入（協(xié)議），I=｛1，2，…，N｝是智能體的指標(biāo)集，A∈R Rn×n和B∈R Rn×m分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣，假設(shè)（A，B）可鎮(zhèn)定.

多智能體系統(tǒng)（1）的通信拓?fù)銷（t）可用動(dòng)態(tài)有向圖G（t）=（V，E（t），W（t））來(lái)表示，其中頂點(diǎn)集V=I中的元素代表智能體.邊集E（t）?V×V中的元素表示智能體之間的通信鏈路.定義智能體i鄰居的集合Ni（t）=:｛j∈V:（j，i）∈E（t）｝，通信拓?fù)銷（t）=｛Ni（t），i∈I｝.加權(quán)鄰接矩陣W（t）=: ［wij（t）］N×N，其中矩陣元素wij表示智能體j向智能體i傳輸信息的通信權(quán)重.

考慮如下一致性協(xié)議［3］:

式中:K（t）∈R Rm×n為反饋增益矩陣；d（t）為時(shí)變時(shí)滯.考慮如下情況的時(shí)滯.

假設(shè)1 0≤d（t）≤т且|d·（t）|≤δ＜1，其中т 和δ是已知常數(shù).

定義1 稱系統(tǒng)（1）在協(xié)議（2）下達(dá)到漸近狀態(tài)一致，若對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)，均有

定義2 一個(gè)固定的通信拓?fù)銷稱為可一致的，若存在形如（2）的協(xié)議，使得系統(tǒng)（1）在N上可以達(dá)到漸近狀態(tài)一致.否則N不可一致.

假定系統(tǒng)（1）可能出現(xiàn)的通信拓?fù)涫怯邢薜?，不失一般性，設(shè)共有M個(gè)通信拓?fù)?，其中M1個(gè)可一致，M2個(gè)不可一致，M=M1+M2，即N（t）∈｛Nk，k∈M=｛1，2，…，M｝｝，M=M-∪M+.本文考慮滿足如下條件的通信拓?fù)?

假設(shè)2 通信拓?fù)銷（t）在集合｛Nk，k∈M｝內(nèi)切換，其中｛Nk，k∈M-｝中所有通信拓?fù)淇梢恢?，而集合｛Nk，k∈M+｝中所有通信拓?fù)涠疾豢梢恢?

協(xié)議（2）下系統(tǒng)（1）可以用如下切換系統(tǒng)表示:

式中:x=［xT1…xTN］T∈R RNn；φ（θ）為連續(xù)可微的初始條件函數(shù).切換信號(hào)σ（t）:［0，+∞）→M是一個(gè)分段常值函數(shù)，用于描述通信拓?fù)銷（t）的切換規(guī)律，即N（t）=Nk?σ（t）=k.假定在任意有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)通信拓?fù)銷（t）只有有限次切換.對(duì)任意給定的切換信號(hào)σ（t），定義切換序列｛（t0，k0），（t1，k1），…，（tr，kr），…，|kr∈M，r=0，1，…｝，其中σ（tr）=kr，即當(dāng)t∈［tr，tr+1）時(shí)，系統(tǒng)（1）的通信拓?fù)錇镹kr.Lσ（t）∈R RN×N是通信拓?fù)?Nσ（t）的加權(quán)Laplacian矩陣，它的元素為

本文研究目的是當(dāng)智能體之間的通信鏈路變化時(shí)，針對(duì)通信拓?fù)銷（t）滿足假設(shè)2的情況，研究切換信號(hào)σ（t）需要滿足怎樣的條件才能通過(guò)協(xié)議（2）使系統(tǒng)（1）達(dá)到漸近狀態(tài)一致.由于并非所有的切換信號(hào)都能使得系統(tǒng)（1）在切換拓?fù)湎逻_(dá)到狀態(tài)一致，因此考慮一類滿足如下平均駐留時(shí)間條件的σ（t）.

定義3［11］對(duì)任意時(shí)刻t2＞t1≥0，令Nσ（t1，t2）為切換信號(hào)σ（t）在時(shí)間間隔（t1，t2）內(nèi)的切換次數(shù).對(duì)于給定的Ta＞0和N0≥0，若

成立，則Ta稱為切換信號(hào)σ（t）的平均駐留時(shí)間，N0為其抖振上界.Sa［Ta，N0］表示所有滿足條件（4）的切換信號(hào)集合.

下面通過(guò)一個(gè)線性變換將帶有切換通信拓?fù)銷（t）和時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)（1）在協(xié)議（2）下的一致性問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)切換時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.應(yīng)用切換時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性理論得出在滿足平均駐留時(shí)間切換和時(shí)間比率條件的切換信號(hào)σ（t）下，通過(guò)協(xié)議（2）系統(tǒng)（1）達(dá)到漸近狀態(tài)一致的充分條件.

2　線性變換

其中

考慮如下線性變換［9］:

通過(guò)線性變換（5），系統(tǒng)（3）變?yōu)榫€性系統(tǒng)

令

由于Cσ（t）=Dσ（t）=0，系統(tǒng)（7）與變量z無(wú)關(guān)，可以寫成

定義4［11］如果存在δ＞0，c＞0，α＞0，當(dāng)初始條件滿足‖y（θ）表示2-范數(shù)）時(shí)，系統(tǒng)（8）的解滿足‖y（t）‖≤c‖y（θ）‖cle-αt，則稱系統(tǒng)（9）在切換信號(hào)σ（t）下是指數(shù)穩(wěn)定的.其中α稱為系統(tǒng)（9）的衰減指數(shù).

類似于定義4可定義切換系統(tǒng)（8）的第k（k∈M）個(gè)子系統(tǒng)滿足的衰減指數(shù)αk和α+k.

類似文獻(xiàn)［9］中引理2和定理1的證明過(guò)程，可得如下結(jié)論.

引理1 給定通信拓?fù)浼鸑k，k∈M｝和切換信號(hào)σ（t），通過(guò)協(xié)議（2），系統(tǒng)（1）達(dá)到漸近狀態(tài)一致的充要條件是切換時(shí)滯系統(tǒng)（9）是指數(shù)穩(wěn)定的.

給定連續(xù)函數(shù)V:［-т，+∞）×R R（N-1）n→R R+，

3　主要結(jié)果

當(dāng)通信拓?fù)錆M足假設(shè)3時(shí)，分析系統(tǒng)（1）的通信拓?fù)湓谟邢藜希鸑k，k∈M｝之間切換時(shí)，帶有時(shí)變時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)（3）達(dá)到狀態(tài)一致的充分條件.

和滿足

的常數(shù)μ≥1，使得

則對(duì)于滿足平均駐留時(shí)間條件

證明:由引理1可知，僅需要證明切換時(shí)滯系統(tǒng)（8）是漸近穩(wěn)定的.當(dāng)k∈M-時(shí)，選取如下分段Lyapunov函數(shù):

當(dāng)k∈M+時(shí)，選取如下分段Lyapunov函數(shù):

對(duì)于帶有恰當(dāng)維數(shù)的任意矩陣Xk=XTk≥0，有

當(dāng)t∈［tr，tr+1］時(shí)，令σ（t）=k，有

即當(dāng)t∈［tr，tr］時(shí)，有

由式（12）（24）可得

由式（4）（10），有

于是，可得

因此，在滿足式（10）（16）的切換信號(hào)下，切換系統(tǒng)（8）是漸近穩(wěn)定的.證畢.

定理2 如果存在n（N-1）×n（N-1）維的矩陣Pk=PTk＞0，Qk=0，Rk=RTk＞0，Yik（i=1，2，3），Zik（i=1，2），恰當(dāng)維數(shù)的矩陣（11）和滿足式（12）的μ≥1，不等式（13）～（15）成立.則對(duì)于滿足式（10）（16）的任意切換信號(hào)σ（t）∈Sa［Ta，N0］，當(dāng)通信拓?fù)銷（t）在集合｛Nk，k∈M｝之間按照σ（t）切換時(shí)，通過(guò)帶有時(shí)變時(shí)滯的控制協(xié)議（2），多智能體系統(tǒng)（1）達(dá)到漸近狀態(tài)一致.

4　仿真實(shí)例

考慮系統(tǒng)（1）中

且存在3個(gè)通信拓?fù)?

不失一般性，設(shè)拓?fù)涞母鬟厵?quán)重為1，與通信拓?fù)湎鄳?yīng)的增益矩陣為

通信時(shí)滯d（t）=0.005（1-sin t），所以有т=0.01 和δ=0.005，滿足假設(shè)1的條件.

由定義2和引理1可知，N1為可一致拓?fù)?，N2、N3為不可一致拓?fù)?

當(dāng)通信拓?fù)溥M(jìn)行切換時(shí)，可以計(jì)算出 α-= 0.692，α+=0.106，μ=1.3，選取α=0.2，α*=0.4，根據(jù)式（10）（16）分別得到時(shí)間比率

和平均駐留時(shí)間

圖1給出多智能體系統(tǒng)在拓?fù)銷1、N2、N3按照如圖2滿足式（10）（16）的切換信號(hào)σ（t）下的狀態(tài)變化曲線，此處取Ta=1.35和T-（t）/T+（t）=2.初始狀態(tài)x（0）=［4 0 16 11 10 15 18 9］，可以看出多智能體系統(tǒng)在拓?fù)銷1、N2、N3切換時(shí)仍可達(dá)到一致.

5　結(jié)論

1）利用文獻(xiàn)［9］中應(yīng)用于無(wú)時(shí)滯固定通信拓?fù)鋮f(xié)議下多智能體系統(tǒng)時(shí)的線性變換，得出帶有時(shí)變時(shí)滯和切換拓?fù)鋮f(xié)議的多智能體系統(tǒng)一致性的一個(gè)充要條件.

2）找到一類滿足平均駐留時(shí)間條件和時(shí)間比率條件的切換信號(hào)，給出帶有時(shí)變時(shí)滯協(xié)議的多智能體系統(tǒng)在多類型拓?fù)淝袚Q下達(dá)到一致的充分條件，并以LMIs的形式表示.

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（責(zé)任編輯 呂小紅）

Consensus of Linear Multi-agent System With Time-delay Under Multi-type Switching Topologies

ZHANG Yaxiao，CHEN Yangzhou，QU Xiaojun
（Beijing Key Laboratory of Transportation Engineering，College of Metropolitan Transportation，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

Consensus problem was studied for continuous-time linear high-order multi-agent system with time-varying delay under multi-type switching communication topologies under the case that the system switches between consensusable and unconsensusable communication topologies.This consensus problem was equivalently transformed into an asymptotic stability problem of a corresponding switched delay system by a linear transformation.Based on the stability theory of the switched systems and time-delay systems，a sufficient condition was presented by the average dwell-time method in terms of linear matrix inequalities（LMIs）to guarantee the consensus of the multi-agent system.The simulation result illustrates the effectiveness of the obtained results.

multi-agent system；directed switching communication topologies；time-varying delay；linear matrix inequalities（LMIs）；average dwell time

U 461；TP 308

A

0254-0037（2016）02-0184-06

10.11936/bjutxb2015080033

2015-08-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（6141101096）；高等學(xué)校博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20111103110017）

張亞霄（1985—），女，博士研究生，主要從事多智能體協(xié)作控制、魯棒控制方面的研究，E-mail:zhangyaxiao@ emails.bjut.edu.cn