朱群娣 洪平洲 黃賢通

（贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，贛州，341000）

由非順序主子陣和缺損廣義特征對構(gòu)造對稱三對角矩陣*

朱群娣 洪平洲 黃賢通

（贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，贛州，341000）

本文討論形如AnX=λCnX的方程，其中An是一個對稱三對角矩陣，Cn是一個對角矩陣.對矩陣An進行3×3分塊，給定An的一個非順序主子陣Ar+1，r+s，給定Cn和四個向量X1=（x1，…，xr）'，X3=（xr+s+1，…，xn）'，Y1=（y1，…，yr）'，Y3=（yr+s+1，…，yn）'和兩個不同實數(shù)λ，μ，構(gòu)造一個對稱三對角矩陣An和兩個向量X2=（xr+1，…，xr+s）'，Y2=（yr+1，…，yr+s）'，滿足AnX=λCnX和AnY=μCnY，其中X=（X1'，X2'，X3'）'，Y=（Y1'，Y2'，Y3'）'.本文給出問題有解的條件，解的表達式和相應(yīng)算法，并給出數(shù)值算例驗證算法的有效性.

對稱三對角矩陣 對角矩陣 廣義特征值反問題 非順序主子陣 缺損廣義特征對

1　引言

矩陣特征值反問題自上世紀(jì)50年代以來，日益?zhèn)涫荜P(guān)注，尤其對Jacobi矩陣、實對稱矩陣、對稱三對角矩陣等相應(yīng)的特征值反問題的研究.戴華［1］提出周期對稱三對角矩陣的特征值反問題；胡錫炎［2］等人研究了由譜數(shù)據(jù)和主子陣構(gòu)造Jacobi矩陣；黃賢通［3］提出由對稱三對角陣及其去掉第K行第K列所余子矩陣的各一個特征對來構(gòu)造原矩陣問題；白中治［4］由兩個特征對構(gòu)造正定Jacobi矩陣等；2014年國外學(xué)者K.Ghanbari，F(xiàn).Parvizpour［5］提出由主子陣和兩個缺損的特征對構(gòu)造雅可比矩陣形如，AnX=λCnX 其中An是Jacobi矩陣、Cn是正定三對角矩陣，已知Ak是An的順序主子陣，給定Cn，二個向量X2=（xk+1，…，xn）'，Y2=（yk+1，…，yn）'，和不同實數(shù)λ，μ ，構(gòu)造Jacobi矩陣和兩個向量X1=（x1，…，xk）'，Y2=（y1，…，yk）'，滿足AnX=λCnX和AnY=μCnY，其中X=（X1'，X2'）'，Y=（Y1'，Y2'）'.于是本文在此基礎(chǔ)上，考慮以下的

問題P 對對稱三對角矩陣An進行3×3分塊：

給定正整數(shù)r，s，n滿足r≥3，r+s≥6，n≥9和實數(shù)λ，μ，λ≠μ以及向量X1，Y1∈Rr，X3，Y3∈Rn-r-s，Ar+1，r+s，Cn，尋找向量X2，Y2∈Rs，xiyi≠0，（i=1，… ，n），br≠0，br+s，A1，r，Ar+s+1，n，構(gòu)造出矩陣

使得（An-λCn）X=0，（An-μCn）Y=0，其中X1=（x1，…，xr）'，X2=（xr+1，…，xr+s）'，Y1=（y1，…，yr）'，X3=（xr+s+1，…，xn）'，Y2=（yr+1，…，yr+s）'，Y3=（yr+s+1，…，yn）'，X=（X1'，X2'，X3'）'，Y=（Y1'，Y2'，Y3'）'.

2　非順序主子陣的雙特征對的性質(zhì)

引入以下記號.

σ（Ap，q，Cp，q）為矩陣對（Ap，q，Cp，q）廣義特征值集合，其中p=r+1，q=r+s-1. Ai，j，Ci，j分別表示由An，Cn第i，i+1，i+2，…j-1，j行和列構(gòu)成的主子陣.

性質(zhì)1［6］設(shè)An∈Sn×n，Cn∈Sn×n，λ，μ ∈σ（An，Cn），λ≠μ，X ，Y是（An，Cn）相對應(yīng)的特征向量，即滿足AnX=λCnX，AnY=μCnY （1.1），則有X'CnY=0.

3　問題P的求解

由方程組（An-λCn）X=0，（An-μCn）Y=0，展開得

可整理成以下七類方程的求解：

（1）針對i=1，2，…，r-1，b0=0成立

（2）針對i=r+s+2，…，n-1，n，bn=0，有

（3）針對i=r+1，…，r+s-1，其中p=r+1，q=r+s-1整理得

（4）針對i=r+s+1

（5）針對i=r+s

（6）針對i=r

（7）由性質(zhì)1得X'CY=0，X2'C2Y2=-（X1'C1Y1+X3'C3Y3）.下面求解上述等價方程.

針對第（1）類方程（2.1）式，求解ai，bi，i=1，2，…，r-1.

定理1 滿足第（1）類方程（2.1）式中的ai，bi存在的條件是xiyi+1-xi+1yi≠0，當(dāng)條件成立時，方程有唯一解，且解的表達式如下

其中δi=λcixi-bi-1xi-1，ηi=μciyi-bi-1y i-1.

證明 記δi=λcixi-bi-1xi-1，ηi=μciyi-bi-1yi-1.由 （2.1）式，可 知方程有解條件 為det（Di）≠0，i=1，2，…，r-1，即xiyi+1-xi+1yi≠0，且解的表達式如下：

由此可得（2.6）.

針對第（2）類方程（2.2）式，求解ai，bi-1，i=r+s+2，…，n-1，n.

定理2 滿足第（2）類方程（2.2）式中的ai，bi-1存在的條件是xiyi-1-xi-1yi≠0，當(dāng)條件成立時，方程有唯一解，且解的表達式如下

其中δi=λcixi-bixi+1，ηi=μciyi-biyi+1.

證明 記δi=λcixi-bixi+1，ηi=μciyi-biyi+1，由（2.2）式，可知方程有解條件為det（Di）≠0，i=r+s+2，…，n-1，n ，即xiyi-1-xi-1y i≠0，且解的表達式如下

由此得到（2.7）.

針對第（3）類方程求解xr+i，yr+i，它們由xr+s，yr+s，br，i=1，2，…，s-1表出.

定理3 當(dāng)λ，μ?σ（Ap，q，Cp，q）時，滿足第（3）類方程解的表達式為

證明 運用性質(zhì)2得到如下方程組

其解為：

其中

對上述（2.10）和（2.11）整理即得（2.8）式和（2.9）式.

針對第（4）類方程（2.3）式，求解ar+s+1，由xr+s，yr+s表出.

定理4 第（4）類方程（2.5）式中的ar+s+1存在的條件是xr+s+1yr+s-xr+syr+s+1≠0，當(dāng)條件成立時，方程有唯一解，且解的表達式為

證明 根據(jù)

當(dāng)xr+s+1yr+s-xr+syr+s+1≠0時，消去br+s可直接得到上述（2.12）.

針對第（4）類和第（5）類方程求解br+s，由xr+s，yr+s表出.

定理5 滿足上述（2.4）式的br+s存在的條件是yr+s+1-xr+s+1≠yr+s-xr+s，當(dāng)條件成立時，方程有唯一解，且解的表達式為

其中

證明 組成如下方程組

由（2.17）-（2.16）-（2.15）+（2.14）整理即得上述（2.13）.

其中

證明 由方程

消去br+s得到

把（2.8）和（2.9）中的i=s-1代入（2.19）即可得到（2.18）.

針對第（6）類方程（2.5）式求解ar.

定理7 滿足第（6）類方程的ar存在的條件是xryr+1-xr+1yr≠0，當(dāng)條件成立時，方程有唯一解，且解的表達式

證明 由（2.5）式

消去br得，當(dāng)xryr+1-xr+1yr≠0時，有上述（2.20）成立.

證明 根據(jù)（2.5）式有

當(dāng)xryr+1-xr+1yr≠0時，消去ar得到

把（2.8）和（2.9）中i=1代入（2.22），可得（2.21）式.

定理9 由（2.18）和（2.21）式，有

由（2.18）式和（2.23）式，有

定理10 我們有

定理11 br滿足方程

其中，

綜上所述，可得

定理12 記θ=yr+s/xr+s，則問題P滿足下列條件時有解：

（4）xr+s，yr+s滿 足，且 對i

當(dāng)上述條件成立時，解的表達式如下：

綜合上述討論結(jié)果給出求解問題的算法：

算法

Step 1 令p=r+1，q=r+s-1，計算φp，q（λ），φp，q（μ），若φp，q（λ）φp，q（μ）=0則轉(zhuǎn)Step 13；

Step 3 按式（2.27）計算ai，bi，i=1，2，…，r-1；

Step 4 按式（2.28）計算ai，bi-1，i=r+s+2，…，n ；

Step 11 按式（2.30）計算ar，ar+s+1；

Step 12 按式（2.31）計算br+s，問題獲解；

Step 13 停止計算，退出程序.

4　數(shù)值算例

給定正整數(shù)r=3，s=3，n=9，ε=1.0e-003及兩個實數(shù)λ=0.2841，μ=1.0266，四個向量

R3，xiy i≠0，i=1，…，9；b3≠0，b6，A1，3，A7，9，構(gòu)造矩陣

使得‖A9X-λC9X‖≤ε，‖A9Y-μC9Y‖≤ε.

解 根據(jù)定理1得a1=0.9849，a2=4.9778，b1=8.0096，b2=18.0205；由（2.34）可算得a8=2.0459，a9=9.9871，b7=13.9887，b8=17.9967；由matlab7.0計算，可知方程0.0052b43-0. 3037b23+2.4728=0有四個解，b3=7.0018，b3=-7.0018，b3=3.1249，b3=-3.1249，具體如下：

情形1 b3=7.0018

此時，可算得x6=0.0172，y6=0.0158；x4=0.1092，

x5=-0.1894；y4=0.0632，y5=0.0652；a3=8.9802，

a7=1.0109；b6=5.0054；構(gòu)造的矩陣A9如下：

其他要計算的數(shù)據(jù)如下：

（1）X2=（x4，x5，x6）'=（0.1092，-0.1894，0.0172）'，b3=7.0018；

（2）Y2=（y4，y5，y6）'=（0.0632，0.0652，0.0158）'，b6=5.0054；

（4）‖A9X-λC9X‖=8.2127e-004，‖A9Y-μC9Y‖=3.4283e-004

（5）X'C9Y=-4.9878e-005

（6）σ（A9，C9）=（-0.7559，-0.5880，0.0345，0.1697，0.2841，0.7313，1.0266，1.1402，1.9992）.

情形2 b3=-7.0018

此時，可算得x6=-0.0172，y6=-0.0158；x4=-0.1092，

x5=0.1894；y4=-0.0632，y5=-0.0652；a3=8.9802，

a7=1.0109；b6=-5.0432；構(gòu)造的矩陣A9如下：

其他要計算的數(shù)據(jù)如下：

（1）X2=（x4，x5，x6）'=（-0.1092，0.1894，-0.0172）'，b3=-7.0018，

（2）Y2=（y4，y5，y6）'=（-0.0632，-0.0652，-0.0158）'，b6=-5.0432，

（4）‖A9X-λC9X‖=0.0023，‖A9Y-μC9Y‖=9.4044e-004，X'C9Y=-4.9878e-005；

（5）σ（A9，C9）=（-0.7560，-0.5880，0.0345，0.1689，0.2842，0.7319，1.0266，1.1405，1.9992）.

情形3 b3=3.1249

此時，可算得x6=0.0102，y6=0.0050；x4=0.2547，x5=-0.4233；y4=0.0286，y5= 0.0288；a3=6.1845，

a7=0.0283；b6=15.7496；構(gòu)造的矩陣A9如下：

其他要計算的數(shù)據(jù)如下：

（1）X2=（x4，x5，x6）'=（0.2547，-0.4233，0.0102）'，b3=3.1249；

（2）Y2=（y4，y5，y6）'=（0.0286，0.0288，0.0050）'，b6=15.7496；

（4）‖A9X-λC9X‖=0.0075，‖A9Y-μC9Y‖=0.0020，X'C9Y=-2.5037e-004；

（5）σ（A9，C9）=（-0.8865，-0.5997，-0.1001，0.0432，0.2842，0.9047，1.0266，1.2978，1.8983）.

情形4 b3=-3.1249

此時，可算得x6=-0.0102，y6=-0.0050；x4=-0.2547，

x5=0.4233；y4=-0.0286，y5=-0.0288；a3=6.1845，

a7=0.0283；b6=-15.9700；構(gòu)造的矩陣A9如下：

其他要計算的數(shù)據(jù)如下：

（1）X2=（x4，x5，x6）'=（-0.2547，0.4233，-0.0102）'，b3=-3.1249；

（2）Y2=（y4，y5，y6）'=（-0.0286，-0.0288，-0.0050）'，b6=-15.9700；

（4）‖A9X-λC9X‖=0.0116，‖A9Y-μC9Y‖=0.0031，X'C9Y=-2.5037e-004；

（5）σ（A9，C9）=（-0.8903，-0.5997，-0.1046，0.0432，0.2842，0.9069，1.0266，1.3037，1.8984）.

以上實驗數(shù)據(jù)說明此算法是有效可行的.

［1］戴華.周期對稱三對角矩陣的特征值反問題［J］.南京航空學(xué)院學(xué)報，1993（2）：277-282.

［2］胡錫炎，張磊，黃賢通.由譜數(shù)據(jù)和主子陣構(gòu)造Jacobi矩陣［J］.數(shù)值計算與計算機應(yīng)用，1997（2）：143-150.

［3］黃賢通.對稱三對角陣的特征反問題［J］.南方冶金學(xué)院學(xué)報，1998（1）：50-56.

［4］廖安平，白中治.由兩個特征對構(gòu)造正定Jacobi矩陣［J］.數(shù)值計算與計算機應(yīng)用，2002（2）：131-138.

［5］K.Ghanbari*，F(xiàn).Parvizpour and H.Mirzaei.Constructing Jacobi matrices using prescribed mixed eigendata. Linear and Multilinear Algebra，2014（6）：721-734.

［6］李承寬，王金林.Jacobi矩陣的一類廣義特征值反問題［J］.南昌航空大學(xué)學(xué)報，2010（1）：64-68.

［7］黃賢通.幾類特殊結(jié)構(gòu)Jacobi矩陣的廣義逆特征問題及其應(yīng)用［D］.湖南：湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，2007.

［8］O.H.Hald.Inverse eigenvalue problems for Jacobi matrix.Linear Algebra Appl，14（1976）：63-85.

Constructing a Symmetric Tridiagonal Matrix Based on Its Defective Generalized Eigenpair and Nonleading Principle Submatrix

Zhu Qundi Hong Pingzhou Huang Xiantong
（College of Mathematics and Computer Science，Gannan Normal University，GanZhou 341000，Jiangxi Province，China）

In this paper we consider the equation AnX=λCnX，where Anis a symmetric tridiagonal matrix and Cnis a diagonal matrix.Regarding Anas a 3×3 blocked matrix，given a（r+1）×（r+s）non-sequential principle submatrix of An，given Cn，four vectors X1=（x1，…，xr）'，X3=（xr+s+1，…，xn）'，Y1=（y1，…，yr）'，Y3=（yr+s+1，…，yn）'and two distinct real numbersλ，μ ，we construct a symmetric tridiagonal matrix Anand two vectors X2=（xr+1，…，xr+s）'，Y2=（yr+1，…，yr+s）'such that AnX=λCnX and AnY=μCnY，where X =（X1'，X2'，X3'）'，Y=（Y1'，Y2'，Y3'）'.The existence conditions such that the problem has a solution and the corresponding algorithm to find the solutions are given.A numerical example is presented to show the validity of the algorithm.

Symmetric tridiagonal matrix Diagonal matrix The inverse generalized eigenvalue problem Nonleading principle submatrix Defective generalized eigenpair

中央財政支持地方高校發(fā)展專項基金—應(yīng)用數(shù)學(xué)創(chuàng)新團隊建設(shè)

2016年02月03日