陳煥龍

摘 要：數(shù)學(xué)家普拉斯說(shuō)過(guò)：“甚至在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”。類比是指兩個(gè)不同的對(duì)象在某些屬性上相同或相似，而將一個(gè)對(duì)象的屬性遷移到另一個(gè)對(duì)象上作出推測(cè)的邏輯推理方法。它是一種非常重要和實(shí)用的數(shù)學(xué)思想，對(duì)揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系、啟發(fā)解題思路有著獨(dú)特的作用。在教學(xué)中使用類比教學(xué)法，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。孔子云：“溫故而知新”，重溫已學(xué)知識(shí)，通過(guò)類比方法獲取新知識(shí)，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：類比；內(nèi)涵；拓展

中圖分類號(hào)： G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1673-1069（2016）21-56-2

1 概念類比，揭示內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“類比就是一種相似?！卑褍蓚€(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，找出它們相同或相似的地方，從而推出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的其他一些屬性也有相似的地方，這是在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中常用的方法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，需掌握非常多的概念，有些還很抽象，為了讓學(xué)生快速、準(zhǔn)確地掌握新的概念，以學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)或現(xiàn)實(shí)生活中的事例，進(jìn)行類比教學(xué)。如在講授《空間幾何體》時(shí)，筆者結(jié)合學(xué)生的實(shí)際給出如下幾個(gè)問(wèn)題：

①沿某一方向移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)，形成什么圖形？

②沿不同于直線的方向移動(dòng)一條直線，形成什么圖

形？

③沿垂直方向移動(dòng)長(zhǎng)方形、正方形或三角形，形成什么圖形？由此，學(xué)生很容易得出空間幾何體的結(jié)構(gòu)形狀并生成：點(diǎn)→線→面→體的運(yùn)動(dòng)變化觀。

對(duì)于結(jié)構(gòu)上存在相似特征點(diǎn)的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，它們的性質(zhì)也多是存在一些共性的。如在學(xué)習(xí)“二面角”中的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，筆者先讓學(xué)生回憶初中所學(xué)“平面角”中的相關(guān)內(nèi)容，再逐漸引導(dǎo)學(xué)生分析二者之間的異同點(diǎn)。見(jiàn)表1：

“平面圖形”與“空間圖形”的類比往往是遵循從“點(diǎn)到線、線到面、邊長(zhǎng)到面積、面積到體積、線線角到二面角、三角形到四面體”，這樣，有效地強(qiáng)化了學(xué)生的理解和記憶。通過(guò)類比，由淺入深，化抽象為具體，讓學(xué)生可以獨(dú)立地獲取知識(shí)，將知識(shí)系統(tǒng)地歸納在一起，產(chǎn)生深刻的印象。

2 公式類比，深化記憶

對(duì)于數(shù)學(xué)而言，除卻眾多的概念外，還有很多的公式。學(xué)生經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生“張冠李戴”的現(xiàn)象。為此，可通過(guò)類比的應(yīng)用，幫助學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生記憶。如在講解“等比數(shù)列”的內(nèi)容時(shí)，通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)公式，類比得出等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)公式，見(jiàn)表2：

又如在“雙曲線”教學(xué)中，可以將“橢圓”和“雙曲線”知識(shí)相結(jié)合，可以將兩者的方程、對(duì)稱性、焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸進(jìn)性方程、曲線上點(diǎn)M處的切線方程相類比，通過(guò)這些知識(shí)可以將“橢圓”與“雙曲線”之間的各種知識(shí)系統(tǒng)化?！皺E圓”與“雙曲線”之間本身就存在很多的相似之處，學(xué)生在記憶時(shí)可以將兩者相結(jié)合記憶，讓他們更好地理解與記憶，讓他們?cè)谖罩R(shí)的時(shí)候更加全面，記憶更加牢固。這樣，既深化了教學(xué)內(nèi)容，又培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣。

3 解法類比，拓展思路

解題思路是解決問(wèn)題的關(guān)鍵因素。學(xué)生在解題時(shí)，常受到以前接觸過(guò)的問(wèn)題所啟發(fā)而產(chǎn)生解題思路。因此應(yīng)要求學(xué)生先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和歸納，尋找其中的規(guī)律，使學(xué)生達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的，讓學(xué)生由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”。

例1：設(shè)函數(shù)f（x）=，求f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（5）的值。

解：類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，可得

可見(jiàn)，通過(guò)類比的方法，可以增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

4 新舊類比，拓寬視野

在講授新知識(shí)時(shí)，經(jīng)常聯(lián)系舊知識(shí)，創(chuàng)造條件進(jìn)行類比，擴(kuò)展學(xué)生的思路，開(kāi)拓學(xué)生的視野，讓學(xué)生養(yǎng)成類比推理的習(xí)慣。通過(guò)新舊知識(shí)的類比，既有利于理解和掌握新知識(shí)，還能使舊知識(shí)得到鞏固，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。

如：在學(xué)習(xí)“四面體的性質(zhì)”時(shí)，可類比三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生自己得出類似的結(jié)論。見(jiàn)表3：

5 特征類比，探索規(guī)律

數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)碰到具有相同的條件、結(jié)論或問(wèn)題形式等各種對(duì)象。通過(guò)類比，能使學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)特征，引導(dǎo)探索一般結(jié)論，掌握從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，達(dá)到追根溯源的目的。

如在講完“基本不等式：如果a>0，b>0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”這一內(nèi)容時(shí)，可類比推理：如果a>0，b>0，c>0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。然后再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合上兩個(gè)結(jié)論相似的條件和結(jié)論，進(jìn)一步類比推理：如果a1>0，a2>0，…，an>0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)等號(hào)成立。

當(dāng)然，類比只是一種猜測(cè)，必須通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)論證才能成立，它有一定的局限性，應(yīng)該注意克服一些錯(cuò)誤的類比，如容易混淆的概念、性質(zhì)的類比。明確類比的可行性，準(zhǔn)確掌握概念、性質(zhì)的本質(zhì)，有區(qū)別地認(rèn)識(shí)那些相似的概念、性質(zhì)。

著名哲學(xué)家康德指出：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往可以指引我們前進(jìn)?！痹诼毿５臄?shù)學(xué)教學(xué)中，緊緊抓住相似或相近的概念、運(yùn)算與推理等，積極對(duì)職校數(shù)學(xué)中相似題型的解題方法進(jìn)行類比，提高學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)。針對(duì)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生自身情況選擇靈活多樣的教法，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率的提升，努力實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育與創(chuàng)新教育的要求。