劉睿琳，田雙亮，田文文

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

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五邊形鏈的Merrifield-Simmons指標(biāo)

劉睿琳，田雙亮*，田文文

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

五邊形鏈；Merrifield-Simmons指標(biāo)；遞推公式

0　引言

Merrifield-Simmons指標(biāo)是在1989年由美國(guó)化學(xué)家Merrifield和Simmons在文獻(xiàn)[1]中引入的化學(xué)拓?fù)渲笜?biāo)，它表示圖G中所有獨(dú)立集的數(shù)目，記為σ(G).該指標(biāo)與物質(zhì)的沸點(diǎn)有著密切的聯(lián)系，且有著較為廣泛的應(yīng)用，相關(guān)的應(yīng)用參見文獻(xiàn)[2,3]．文獻(xiàn)[4]中研究了五角鏈關(guān)于獨(dú)立集數(shù)的極端情形，并得出了相應(yīng)的極圖.文獻(xiàn)[5,6]中研究了四角鏈及五邊形鏈的Hosoya指標(biāo).文獻(xiàn)[7]關(guān)于最大和最小的Merrifield-Simmons指標(biāo)給出了一個(gè)很好的綜述．文中Fn表示第n個(gè)Fibonacci數(shù)，即滿足Fn=Fn-1+Fn-2,n≥2，且F0=0,F1=1．本文通過(guò)n個(gè)五邊形序列在不同構(gòu)聯(lián)接位下構(gòu)造了兩類特殊的五邊形鏈，并且研究了這兩類五邊形鏈的Merrifield-Simmons指標(biāo)，給出了具體的表達(dá)式．文中未加說(shuō)明的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)參見文獻(xiàn)[8]．

設(shè)Q1,Q2，…，Qn為n個(gè)五邊形構(gòu)成的五邊形序列．記Wn為五邊形鏈，如果滿足：

1)對(duì)任意的1≤s

2)每個(gè)正方形與割邊的頂點(diǎn)都為3度頂點(diǎn)．

用Φn表示含有n個(gè)五邊形構(gòu)成的五邊形鏈的全體．設(shè)Wn∈Φn，則五邊形鏈Wn(n≥2),可由Wn-1再聯(lián)接一個(gè)五邊形得到，而每條鏈中的五邊形都有四個(gè)可聯(lián)接位，其中與接點(diǎn)距離相等的兩個(gè)可聯(lián)接位是同構(gòu)的，所以只有兩種非同構(gòu)的聯(lián)接方式：Wn-1→[Wn-1]k=Wn，其中k=1、2，分別稱為1-位聯(lián)接和2-位聯(lián)接,如圖1所示.

圖1　兩種聯(lián)接方式

圖2　五邊形鏈和

在證明主要結(jié)論之前，先給出幾個(gè)相關(guān)引理如下．

引理1[2]設(shè)G是一個(gè)簡(jiǎn)單圖，對(duì)任意的υ∈V(G)，有σ(G)=σ(G-υ)+σ(G-NG[υ])．

引理3[2]對(duì)于n階的路Pn，有σ(Pn)=Fn+2．

引理4[2]對(duì)于n階的圈Cn，有σ(Cn)=Fn+1+Fn-1．

1　主要結(jié)論及其證明

定理1對(duì)任意的正整數(shù)n≥2，有

證明1) 如圖2所示，根據(jù)引理1、引理2和引理3可得

2)如圖2所示，根據(jù)引理1、引理2和引理3可得

2　進(jìn)一步的結(jié)果

定理2對(duì)任意的正整數(shù)n≥2,有

[1] Merrifield R E，Simmons H E．Topological Methods in Chemistry[M]．New York：Wiley，1989．

[2] Gutman I，Polansky O E．Mathematical Concepts in Organic Chemistry[M]．Berlin：Sprin-ger，1986．

[3] Gutman I，Cyvin S J．Introduction to the Theory of Benzenoid Hydrocarbons[M]．Berlin：Springer，1989．

[4] 曹月芬．五角鏈關(guān)于獨(dú)立集數(shù)的極端情形[J]．集美大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，15(4)：304-307．

[5] 田文文，田雙亮．四角鏈的Hosoya指標(biāo)[J]．蘇州科技學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014，31(1)：34-38．

[6] 田文文，楊斐，田雙亮．五邊形鏈的Hosoya指標(biāo)[J]．重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013，30(9)：29-33．

[7] Wagner S，Gutman I．Maxima and minima of the Hosoya Index and the Merrifield-Simmons index[J]．Acta Appl Math,2010，112：323-346．

[8] Bondy J A，Murty U S R．Graph theory with applications[M]．New York：The Macmillan Press，1976．

The Merrifield-SimmonsIndex of Pentagonal Chains

LIU Rui-lin1，TIAN Shuang-liang，TIAN Wen-wen

(Mathematics and Computer Science College，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030, China)

Pentagonal chains；Merrifield-Simmons index；Recurrence formula

2016-04-02

國(guó)家民委科研項(xiàng)目(14XBZ018)；甘肅省自然科學(xué)基金(145RJZA158)；西北民族大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助研究生項(xiàng)目(Yxm2015182)．

*

劉睿琳(1993— )，女，甘肅永靖人，碩士研究生，主要從事組合數(shù)學(xué)與圖論方面的研究.

O157.5

A

1009-2102(2016)02-0001-05