孔凡東

(西安交通工程學(xué)院 思政與基礎(chǔ)課部,西安 710300)

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復(fù)變函數(shù)的奇特性與應(yīng)用芻議

孔凡東

(西安交通工程學(xué)院 思政與基礎(chǔ)課部,西安 710300)

復(fù)變函數(shù)源于實(shí)踐，發(fā)展于抽象，它不但具有客觀存在性，而且具有一些奇特性.作為工具，對(duì)于實(shí)踐中一些問題的求解極具特色，給人們帶來種種方便.

復(fù)變函數(shù);奇異特性;應(yīng)用芻議

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它是一門理論性非常強(qiáng)的自然基礎(chǔ)學(xué)科，具有高度的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、嚴(yán)密的邏輯性等特點(diǎn)；它源于實(shí)踐，發(fā)展于抽象，但是一旦抽象與具體事務(wù)聯(lián)系在一起，它又是很具體的；復(fù)變函數(shù)從它的產(chǎn)生、發(fā)展，到比較完備的理論體系及在實(shí)際中廣泛的應(yīng)用也印證了這一點(diǎn).復(fù)變函數(shù)作為一門工程數(shù)學(xué)，它具有很多奇特功能，使得其具有廣泛的應(yīng)用，成為解決現(xiàn)實(shí)世界問題的有力工具.

1　復(fù)數(shù)的客觀存在性

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2=-1是無解的.由于解方程的需要，最初由歐拉于1777年引入了一個(gè)稱為虛數(shù)單位的量i，規(guī)定：i2=-1，從而使得±i為方程x2=-1的兩個(gè)根.這種數(shù)說明它既不是無，也不比無大，又不比無小，所以不得不是虛的.它在很長一段時(shí)間里被許多人僅看作是一種空間的符號(hào)游戲，但是，正是它的引入，在實(shí)踐中解決了諸如負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)等一些用別的方法解決不了的實(shí)際問題后，終于得到了人們的認(rèn)可；由于它的真實(shí)有用，并且服從于數(shù)的規(guī)律，和任何實(shí)數(shù)的存在一樣地具體，特別是1801年高斯采用平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)后，使復(fù)數(shù)成為平面上點(diǎn)的化身，他把平面上圖形之間復(fù)雜的幾何關(guān)系變成了數(shù)的語言.因此，復(fù)數(shù)變得客觀了，不再是“虛幻”的了，而是客觀實(shí)在的數(shù).事實(shí)上虛數(shù)和實(shí)數(shù)是對(duì)立的并在復(fù)數(shù)里得到了統(tǒng)一.因此高斯說，賦予這種虛的東西以一種同樣客觀的存在性，復(fù)數(shù)這個(gè)東西，開端是給幻想以一個(gè)符號(hào)，結(jié)尾卻成為數(shù)學(xué)觀念的系統(tǒng)整理必不可少的工具，成為解決繁難問題的有力工具，成為對(duì)相離甚遠(yuǎn)的一些數(shù)學(xué)分支找出其密切關(guān)系的一種方法[1].

2　復(fù)變函數(shù)的奇特性

3　復(fù)變函數(shù)的工具性

把數(shù)學(xué)定義為工具或十分看重它的工具性，是基于數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用；復(fù)變函數(shù)也是源于實(shí)際應(yīng)用，因此它的應(yīng)用性或工具性是不言而喻的.

3.1在電路與系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

交流電是現(xiàn)代文明的重要標(biāo)志.我們使用的各類家電，不管是打電話還是看電視，都是信號(hào)或能量的傳遞，其中無時(shí)無刻不在使用著復(fù)數(shù)這個(gè)工具；因?yàn)槿藗優(yōu)榱烁玫乩谜莆针娔?，必須?duì)電路或系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確分析與計(jì)算，但是對(duì)正弦交流電路的分析(它是其他交流電的基礎(chǔ))，往往是十分繁難的.有了復(fù)數(shù)這個(gè)工具就使得對(duì)正弦交流電路的分析提供了極大方便；欲對(duì)時(shí)域中正弦穩(wěn)態(tài)交流電路的分析，只需將時(shí)域電路模型轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的稱為相量模型電路，待分析完相量關(guān)系后，寫出對(duì)應(yīng)的時(shí)域量即可.這是由于正弦交流電路中正弦激勵(lì)源Amsin(ωt+θ)對(duì)應(yīng)Amej(ωt+θ)的虛部，即：

3.2在定積分中的應(yīng)用

當(dāng)然，使用留數(shù)時(shí)被積函數(shù)必須與某個(gè)解析函數(shù)對(duì)應(yīng)，積分區(qū)間需化為沿閉曲線所圍區(qū)域，且被積函數(shù)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)以及其他一些條件，這里也不實(shí)例舉證了.

復(fù)變函數(shù)理論中還有一個(gè)求高階導(dǎo)數(shù)的重要公式：

這里f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)簡(jiǎn)單閉曲線.它揭示了f(z)沿C的曲線積分與其中任意一點(diǎn)z0處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，這在實(shí)函數(shù)積分中是沒有的；此式揭示了f(z)的積分與求導(dǎo)可以互表，這為我們求積分帶來極大方便，因?yàn)榉e分比求導(dǎo)一般要繁難.

3.3在幾何上的應(yīng)用

一般地，xOy平面曲線方程與復(fù)平面上復(fù)數(shù)方程間具有對(duì)應(yīng)關(guān)系：

不僅如此，復(fù)平面上的復(fù)數(shù)還可以與空間球面上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即空間球面上任意一點(diǎn)可以用復(fù)平面上的點(diǎn)來表示.這里也不再細(xì)述.

4　結(jié)語

萊布尼茨說，圣靈在分析學(xué)這個(gè)奇跡上，在理想世界這個(gè)怪物上，在存在和非存在之間的這個(gè)兩棲類上，找到了一條絕妙的出路，這就是-1的虛根[1].虛數(shù)的引入及復(fù)變函數(shù)的產(chǎn)生，為人們解決實(shí)際問題提供了一個(gè)強(qiáng)有力的工具，這源于它的實(shí)踐性，它不但具有客觀性而且具有很多實(shí)數(shù)不具備的奇特性，而對(duì)于實(shí)踐中的一些問題的求解極具特色，給人們提供了種種便捷方法.

[1]方延明.數(shù)學(xué)文化[M].北京.清華大學(xué)出版社，2009.

[2]深圳大學(xué)復(fù)變函數(shù)與場(chǎng)論教研組.復(fù)變函數(shù)與場(chǎng)論簡(jiǎn)明教程[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2012.

[責(zé)任編輯馬云彤]

On Singularity of Complex Function and Its Application

KONG Fan-dong

(Department of Ideological, Political and Basic Courses, Xi’an Traffic Engineering Institute, Xi’an 710300, China)

Complex function is originated from practice, and its development is attributed to abstraction. The type of function is not only objectively existent, but also singular as well. It provides people with distinctive solutions to problems in the practical life, which brings people much convenience.

complex function; singularity; application

1008-5564(2016)03-0025-03

2016-02-28

孔凡東(1956—)，男，河北保定人，西安交通工程學(xué)院思政與基礎(chǔ)課部副教授，主要從事電路理論和高等數(shù)學(xué)研究.

O174.51

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