張生媛

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院，南京 211106)

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兩個(gè)種群共進(jìn)化的志愿者困境模型

張生媛

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院，南京 211106)

介紹兩個(gè)種群共同進(jìn)化機(jī)制下的志愿者困境模型，即兩個(gè)種群之間的多個(gè)體志愿者博弈模型，通過(guò)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程組來(lái)研究模型在無(wú)限種群時(shí)的確定進(jìn)化動(dòng)態(tài)，分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

兩個(gè)種群；共同進(jìn)化；復(fù)制動(dòng)態(tài)；穩(wěn)定點(diǎn)

個(gè)體合作的產(chǎn)生和維持一直是進(jìn)化生物學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究中的重要問(wèn)題.進(jìn)化博弈為研究個(gè)體合作的產(chǎn)生和維持提供了數(shù)學(xué)方法，其中N個(gè)體囚徒困境、N個(gè)體雪堆博弈和公共物品博弈是研究個(gè)體合作進(jìn)化的3個(gè)經(jīng)典模型[1-6].此外，Diekmann于1985年提出了N個(gè)體志愿者困境模型，該模型描述了利他行為在社會(huì)中的困境[7].近年來(lái)，N個(gè)體志愿者困境模型引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.

志愿者困境的定義如下[7]：在一個(gè)N個(gè)個(gè)體組成的群體中，每個(gè)個(gè)體都有兩種策略選擇，一個(gè)是成為志愿者，一個(gè)是成為背叛者.志愿者付出的成本K為群體產(chǎn)生公共利益U，背叛者不付出成本不產(chǎn)生公共利益.如果群體中至少有一個(gè)個(gè)體選擇自愿，公共利益U就產(chǎn)生了.相反，如果沒(méi)有一個(gè)個(gè)體自愿，就沒(méi)有公共利益.顯然，如果群體中有一個(gè)個(gè)體是志愿者，那么其他志愿者付出的成本就浪費(fèi)了[8].志愿者困境的收益矩陣如下：

每次博弈中志愿者的個(gè)數(shù)CDm=001≤m≤NU-KU

志愿者困境模型在社會(huì)科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，例如，慈善機(jī)構(gòu)的志愿者打掃公共場(chǎng)所[4-5]；在壟斷集團(tuán)聯(lián)盟中，一個(gè)公司志愿花費(fèi)成本去懲罰另一個(gè)違反統(tǒng)一價(jià)格的公司[6].此外，志愿者困境在進(jìn)化生物學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用[8,12-14]：最典型的例子是，種群中的動(dòng)物通過(guò)發(fā)出警報(bào)聲音，提醒同伴躲避捕食者.在這種情況下,志愿者提高了其種群的集體安全，而志愿者因?yàn)榘l(fā)出警報(bào)聲音也增加了其被捕食的風(fēng)險(xiǎn).

依據(jù)志愿者困境模型及其推廣形式[13,15-16]，許多學(xué)者對(duì)影響志愿策略的因素進(jìn)行了研究，例如種群的規(guī)模對(duì)志愿策略的影響[8,17-19]，非線(xiàn)性收益對(duì)志愿策略的影響[14,20].以上的研究都是在一個(gè)種群中進(jìn)行的，而兩個(gè)種群的共同進(jìn)化機(jī)制在自然界是普遍存在的[22-25]，例如植物和傳粉昆蟲(chóng)之間的互利共生關(guān)系[21]，昆蟲(chóng)和腸道微生物之間的互利共生關(guān)系[22]，豆科植物和固氮細(xì)菌之間的互利共生關(guān)系[23].本文考慮兩個(gè)種群共同進(jìn)化機(jī)制下的志愿者困境模型，即討論兩種群之間的多個(gè)體志愿者博弈，因?yàn)閮蓚€(gè)種群的個(gè)體在博弈中付出的代價(jià)和收益是不相同的，所以博弈也是非對(duì)稱(chēng)的.當(dāng)兩個(gè)種群是無(wú)限種群時(shí)，我們通過(guò)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程組來(lái)描述模型的進(jìn)化動(dòng)態(tài)，并對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得出其進(jìn)化的雙穩(wěn)態(tài).

1　模型

考慮種群1與種群2，在共同進(jìn)化機(jī)制下這兩個(gè)種群之間的相互作用可以描述如下：首先從種群1中隨機(jī)選出一個(gè)個(gè)體，從種群2中隨機(jī)選出d2個(gè)個(gè)體，種群1中選出的那個(gè)個(gè)體與種群2中選出的d2個(gè)個(gè)體進(jìn)行相互作用，即種群1中的個(gè)體參與d2+1個(gè)個(gè)體志愿者困境博弈，個(gè)體在種群1中繁殖更新；然后從種群2中隨機(jī)選出一個(gè)個(gè)體，從種群1中隨機(jī)選出d1個(gè)個(gè)體，種群2中隨機(jī)選出的那個(gè)個(gè)體與種群1中的d1個(gè)個(gè)體進(jìn)行相互作用，即種群2中的個(gè)體參與d1+1個(gè)體志愿者困境博弈，個(gè)體在種群2中繁殖更新.我們只考慮種群之間的相互作用，不考慮種群內(nèi)的相互作用.

在每次博弈中，個(gè)體都要選擇志愿或者背叛.我們?cè)O(shè)種群1的策略為C1、D1，選擇志愿策略C1付出的成本為K1，獲得的收益為U1，U1>K1>0；種群2的策略為C2、D2，選擇志愿策略C2付出的成本為K2，獲得的收益為U2，U2>K2>0.于是該模型中兩個(gè)種群策略的收益矩陣可分別寫(xiě)為：

每次博弈中志愿者的個(gè)數(shù)C1D1m=001≤m≤d2+1U1-K1U1

每次博弈中志愿者的個(gè)數(shù)C2D2m=001≤m≤d1+1U2-K2U2

其中di為正整數(shù).

2　無(wú)限種群中的演化動(dòng)態(tài)

對(duì)于兩個(gè)無(wú)限種群，假設(shè)種群1中C1策略者所占比例為x，種群2中C2策略者所占比例為y，則種群1中C1策略和D1策略的期望收益分別為：

πC1(y)=U1-K1

(1)

(2)

同理種群2中C2策略和D2策略的期望收益分別為：

πC2(x)=U2-K2

(3)

(4)

由非對(duì)稱(chēng)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程：

將式(1)、(2)、(3)、(4)代入上式得：

(5)

令：

得到復(fù)制動(dòng)態(tài)方程(5)的5個(gè)平衡點(diǎn)：A(0,0)、B(0,1)、C(1,0)、D(1,1)和E(x*,y*)(x*=1-(K2/U2)1/d1，y*=1-(K1/U1)1/d2).A(0,0)表示兩個(gè)種群的個(gè)體都采用背叛策略；B(0,1)表示種群1的個(gè)體都采用背叛策略，種群2的個(gè)體都采用志愿策略；C(1,0)表示種群1的個(gè)體都采用志愿策略，種群2的個(gè)體都采用背叛策略；D(1,1)表示兩個(gè)種群的個(gè)體都采用志愿策略；E(x*,y*)表示種群1中采用志愿策略個(gè)體的頻率為x*，種群2中采用志愿策略個(gè)體的頻率為y*.

復(fù)制動(dòng)態(tài)式(5)是一個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)，將它在平衡點(diǎn)處線(xiàn)性化：

Application Research on Suction Bucket Foundation for Offshore Wind Power ZHANG Puyang,HUANG Xuanxu(1)

具體的，在A(yíng)(0,0)點(diǎn)線(xiàn)性化有：

顯然方程的特征值都為正，于是原非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)不穩(wěn)定.

在B(0,1)點(diǎn)線(xiàn)性化有：

顯然方程的特征值都為負(fù)，于是原非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)穩(wěn)定.

在C(1,0)點(diǎn)線(xiàn)性化有：

顯然方程的特征值都為負(fù)，于是原非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)穩(wěn)定.

在D(1,1)點(diǎn)線(xiàn)性化有：

顯然方程的特征值都為正，于是原非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)不穩(wěn)定.

在E(x*,y*)點(diǎn)

圖1　非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)的向量場(chǎng)圖

方程的特征值一正一負(fù)，于是原非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)不穩(wěn)定.

因此非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)B(0,1)、C(1,0)，即兩個(gè)種群互利共生機(jī)制下的志愿者困境有雙穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)最終進(jìn)化為種群1都背叛種群2都志愿或者種群1都志愿種群2都背叛的狀態(tài)，具體的進(jìn)化結(jié)果由初始條件確定.

令U1=1，K1=0.2，U2=2，K2=0.1，d1=3，d2=2，畫(huà)出非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)的向量場(chǎng)圖，如圖1所示.

從圖1中可以看出(0,1)、(1,0)線(xiàn)是非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).

再令U1=1，K1=0.2，U2=2，K2=0.1，d1=6，d2=7，畫(huà)出非線(xiàn)性系統(tǒng)式(5)在不同初始條件下的解.

圖2表示初始條件為(0.6,0.5)時(shí)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程式(5)的解，可以看到種群1中的個(gè)體都進(jìn)化為背叛策略，種群2中的個(gè)體都進(jìn)化為志愿策略.

圖3表示初始條件為(0.6,0.3)時(shí)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程式(5)的解，可以看到種群1中的個(gè)體都進(jìn)化為志愿策略，種群2中的個(gè)體都進(jìn)化為背叛策略.

圖2　初始條件為(0.6,0.5)時(shí)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程式(5)的解

圖3　初始條件為(0.6,0.3)時(shí)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程式(5)的解

3　結(jié)語(yǔ)

在本文中我們考慮兩個(gè)種群之間的多個(gè)體志愿者困境模型，種群1中個(gè)體參與d2+1個(gè)個(gè)體志愿者博弈，種群2中個(gè)體參與d1+1個(gè)個(gè)體志愿者博弈.我們分別分析該模型在無(wú)限種群時(shí)進(jìn)化動(dòng)態(tài).當(dāng)兩個(gè)種群都是無(wú)限種群時(shí)，進(jìn)化結(jié)果由初始條件決定，公共利益有可能由種群1的全部個(gè)體志愿產(chǎn)生，也有可能由種群2的全部個(gè)體志愿產(chǎn)生.本文的結(jié)果可以推廣到一般形式的兩種群多個(gè)體博弈中.

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[責(zé)任編輯王新奇]

A Dilemma Model for Volunteers of Two Coevolution Populations

ZHANG Sheng-yuan

(SchoolofScience,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing211106,China)

Inthispaper,adilemmamodelforvolunteersoftwopopulationsunderthecoevolutionmechanismismainlyintroduced,anditisagamemodelofmultiindividualvolunteersbetweentwopopulations.Byreplicatingthedynamicequationstostudytheevolutionarydynamicsofthemodelintheinfinitepopulation,andthestabilityoftheequilibriumpointisanalyzed.

twopopulations;coevolution;replicatingdynamics;thestablepoint

1008-5564(2016)03-0005-05

2015-12-19

張生媛(1993—)，女，安徽六安人，南京航空航天大學(xué)理學(xué)院碩士研究生，主要從事進(jìn)化博弈論研究.

O225

A