李春曦，張碩，薛全喜，葉學(xué)民

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基于拋物線形氣-液界面的超疏水微通道減阻特性

李春曦，張碩，薛全喜，葉學(xué)民

(華北電力大學(xué)電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點實驗室，河北保定 071003)

針對超疏水表面微通道中的流動減阻特性，基于拋物線形氣-液界面假設(shè)，采用VOF模型模擬了微通道中的二維層流流動，分析了流動和結(jié)構(gòu)參數(shù)對減阻效果的影響。結(jié)果表明，含矩形微坑的超疏水表面微通道具有顯著減阻作用，隨Reynolds數(shù)增大而略有提高，量綱1壓降比隨入口速度增大而略有下降。當(dāng)增大微坑面積比或減小微通道高度時，減小，量綱1壓降比增大；且微通道高度越小，微坑面積比對的影響越顯著。隨拋物線形高度增加，壓降比和滑移長度均線性減小，而則線性增加。當(dāng)微坑深度大于其寬度的40%時，壓降比和滑移長度趨于定值。微坑形狀對減阻效果的影響依次是燕尾形、矩形、梯形和三角形。

超疏水表面；微通道；數(shù)值模擬；氣-液界面；層流；微尺度；兩相流

引 言

超疏水表面在減小流動阻力和自清潔材料方面具有良好的應(yīng)用前景，如水下航行器的表面減阻[1]，石油儲層的注水減阻技術(shù)[2]，荷葉表面的自清潔特性等。超疏水表面研究大多基于Cassie空氣墊模型[3]，如圖1所示。其表面具有凹凸不平的粗糙微結(jié)構(gòu)，當(dāng)流體流過時，在表面張力作用下，這些微結(jié)構(gòu)內(nèi)部能駐留部分氣體，形成剪切力較小的氣-液接觸面，極大地減少了表面上的固-液接觸面積，從而降低黏性阻力[4]。通常，在宏觀流動研究時，將原本具有凹坑微結(jié)構(gòu)的真實固體表面采用平整光滑固體表面替代，而在壁面處采用滑移邊界條件來表征超疏水表面的減阻效果[5]。

層流條件下超疏水表面的減阻效果已得到廣泛驗證。Ou等[6]通過具有微柱型超疏水表面的微通道實驗發(fā)現(xiàn)，在氣-液接觸面上流體有明顯滑移特征，減阻效果顯著。Choi等[7]研究了具有納米柱微結(jié)構(gòu)的超疏水表面微管道，指出其壓降較普通微管道可降低20%～30%?；羲乇蟮萚8]采用化學(xué)刻蝕和表面修飾法在鋁制微通道內(nèi)壁上制造出超疏水表面，并對比了水在超疏水微通道和超親水微通道中的流動壓降，發(fā)現(xiàn)水在超疏水微通道中的流動阻力降明顯降低，壓降減少最大可達25%。同樣，宋善鵬等[9]實驗研究了由化學(xué)刻蝕法得到的鋁基微通道，結(jié)果表明，超疏水微通道的明顯低于超親水微通道的，還發(fā)現(xiàn)氣體在凹槽中發(fā)生了旋渦運動。盧思等[10]針對具有微納雙重結(jié)構(gòu)的超疏水表面槽道阻力實驗表明，壁面處流體存在明顯滑移現(xiàn)象，減阻效果突出，最大減阻可達36.3%。

Ou等[6]在實驗中特別關(guān)注了疏水表面微結(jié)構(gòu)間的氣-液界面形狀，采用共聚焦表面輪廓測試儀觀測了微柱高度為30mm的超疏水表面，發(fā)現(xiàn)了氣-液界面曲率的存在，且壓差越大，氣-液界面輪廓的曲率越大，微柱間氣-液界面的下凹深度最大可達4mm，近似可視為拋物線。然而，目前大部分關(guān)于超疏水表面減阻的研究均假定氣-液界面為直線，而忽略了氣-液界面曲率所帶來的影響。其中，常允樂[11]采用固-氣復(fù)合壁面模型，研究了梯形、三角形、矩形和燕尾形4種微結(jié)構(gòu)對超疏水表面減阻的影響，結(jié)果表明，三角形微結(jié)構(gòu)的減阻效果最差，燕尾形微結(jié)構(gòu)的減阻效果最佳。Nizkaya等[12]基于氣-液界面為直線的氣墊模型，提出了將氣相內(nèi)流動影響轉(zhuǎn)化為氣-液界面處局部滑移長度的方法。宋保維等[13]構(gòu)造了具有棋盤狀微結(jié)構(gòu)的疏水表面，探討了氣-液界面上表面張力對疏水表面微結(jié)構(gòu)內(nèi)氣體封存的影響；以水下航行器的運動為背景，湍流下的非定常計算結(jié)果表明，氣-液界面并非直線，而是具有非常復(fù)雜的特征。Davies等[14]同樣基于氣-液界面為直線的假設(shè)，通過在氣-液界面上設(shè)定速度和剪切力，進而研究了超疏水表面微通道中的減阻特性，發(fā)現(xiàn)降低微通道高度有助于提高滑移流動和減阻效果。趙士林等[15]在壁面上設(shè)定滑移速度和忽略氣-液界面曲率的前提下，模擬了超疏水表面的單側(cè)滑移流動，并指出量綱1壓降比最大可達18.5%。

綜上所述，目前針對超疏水表面微通道中的流動減阻理論研究均假定氣-液界面為直線或在固體壁面處給定一個滑移速度，而并未考慮氣-液界面曲率的影響，因此上述結(jié)果并不能真實反映其實際減阻效果。為此，本文基于拋物線形氣-液界面，采用VOF模型確定恒定的氣-液界面形狀[6]，利用Fluent進行二維定常數(shù)值模擬，研究層流狀態(tài)下超疏水表面微通道中的流動減阻特征，分析流動和結(jié)構(gòu)參數(shù)對減阻能力的影響。

1 數(shù)學(xué)物理模型

針對兩無限大平板間的流動，由于流動沿微通道寬度方向保持不變，因此采用二維模擬展開分析。如圖2(a)所示，流體在二維微通道內(nèi)做層流流動，上壁面為具有規(guī)則微坑結(jié)構(gòu)的超疏水表面，下壁面為光滑無滑移表面；微坑內(nèi)駐存有氣體，氣-液界面形狀設(shè)為形狀因子為0.5的拋物線形，以使氣-液界面形狀與Ou等[6]實驗結(jié)果相符。假定水的密度和黏度均為常數(shù)，采用穩(wěn)態(tài)控制方程求解定常層流流動，并忽略重力影響。

對于微尺度下的流動，基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的控制方程仍然適用[16]。

連續(xù)性方程為

運動方程為

本文模擬的是氣液兩相流動，且氣-液界面保持不變，界面形狀依據(jù)Ou等[6]實驗結(jié)果選定，采用Fluent中的VOF模型跟蹤界面進行求解。VOF模型通過流體體積函數(shù)來確定自由面、跟蹤流體的變化。在計算單元的每個控制體積內(nèi)，用w和a表示水和空氣的體積分?jǐn)?shù)，兩者之和為1。在任何給定單元內(nèi)的變量及其屬性或代表水、或代表空氣、或為兩相混合，其值由體積分?jǐn)?shù)值決定。w=0指該控制體積中充滿空氣，w=1指該控制體積中充滿水；0<w<1指該控制體積中水占有體積w，空氣占有1-w，且兩相間存在界面。VOF模型通過求解相的體積分?jǐn)?shù)連續(xù)方程來跟蹤相之間的界面，對于水相

模型中未給相指定質(zhì)量源，因此右側(cè)源項為零。

輸運方程中的屬性由存在于每一控制體積內(nèi)的分相決定。對于氣液兩相流動，用下角標(biāo)a和w表示氣相和水相，若水相體積分?jǐn)?shù)被跟蹤，則每一單元的密度為=ww+(1-w)a，所有其他屬性（如黏度）均以該方式計算。

計算中，微通道左端和右端分別給定入口速度in和出口壓力作為邊界條件，且出口壓力保持1 kPa不變。速度與壓力采用SIMPLE耦合，動量方程采用二階迎風(fēng)格式離散。VOF初始化區(qū)域時，認(rèn)為流場已達到穩(wěn)態(tài)，微坑內(nèi)充滿空氣，通道內(nèi)充滿水,如圖2(b)所示。文中采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，并對微結(jié)構(gòu)附近，尤其是靠近氣-液界面處的網(wǎng)格進行加密，如圖2(c)所示。

微通道長度為=1000mm，高度為；微坑深度和寬度分別為和，兩微坑間的固體壁面（簡記為微脊）寬度為，周期單元長度為=+=25mm，拋物線形氣-液界面最大高度為。模擬中，微通道長度和周期單元長度保持不變，微通道中共有40個周期單元。

為便于分析，采用如下量綱1參數(shù)：相對微通道高度c=h/(/2)，量綱1入口速度c=in/，微坑面積比=/，相對拋物線形最大高度c=/，相對微坑深度c=/。其中h=2為微通道水力直徑，基準(zhǔn)速度=0.2 m·s-1。

模擬中進行了網(wǎng)格無關(guān)性檢驗，結(jié)果顯示，網(wǎng)格數(shù)分別為4.9萬、7萬、10萬、12萬、15.6萬個時與網(wǎng)格數(shù)為20.4萬個時所得微通道進出口壓降的最大偏差分別為2.7%、1.85%、1.47%、1.27%、0.67%。綜合考慮計算精度和計算時間，確定網(wǎng)格數(shù)為15.6萬個。

由數(shù)值計算所得微通道壓降可進一步求得Poiseuille數(shù)，其中Reynolds數(shù)=uinh/，為微通道的平均摩擦因子，為流體動力黏度。對于光滑壁面微通道中的穩(wěn)定不可壓層流[17]，為

式中，D1p2，為微通道中部穩(wěn)定段的壓降，1和2分別取500mm和900mm（相對進口的量綱1距離分別為0.5和0.9）處的截面平均壓強,此壓降段不受進口段效應(yīng)的影響；為壓降所對應(yīng)的微通道長度，為水的動力黏度。

由式（4）可得量綱1滑移長度[18]

此外，為有效衡量超疏水表面微通道的減阻效果，引入量綱1壓降比

式中，DS為不含微坑的光滑微通道中的壓降，Pa；D為含微坑的超疏水表面微通道中的壓降，Pa。

2 模擬結(jié)果與分析

2.1 與實驗結(jié)果對比

為驗證采用拋物線形氣-液界面假設(shè)的合理性，首先針對文獻[6]中的三維周期單元結(jié)構(gòu)進行了三維數(shù)值模擬，并與Ou等[6]的實驗結(jié)果進行了對比，如圖3所示，其中氣-液界面為拋物面假設(shè)，拋物面最大高度為4mm。圖3表明，與氣-液界面為平面假設(shè)相比，拋物面假設(shè)下的模擬結(jié)果更接近實驗值，由此表明采用拋物線形氣-液界面更接近超疏水表面的減阻效果。

為全面考察流動和結(jié)構(gòu)參數(shù)對減阻的影響，下文針對入口速度、微坑面積比、微通道高度、拋物線形高度和微坑深度等參數(shù)的影響展開分析，并比較4種微坑形狀的減阻效果。計算中所用量綱1參數(shù)，如無特殊說明，取值如下：c=1，=0.8，c=0.48，c=0.08，c=1。

2.2 微通道中Poiseuille數(shù)的變化

圖4為微通道中Poiseuille數(shù)隨Reynolds數(shù)的變化。已有研究表明，對于兩光滑無限大平板間的流動，Poiseuille數(shù)為常數(shù)，=96[19]。圖4表明，光滑微通道的模擬結(jié)果與理論解吻合良好，最大偏差僅為0.6%，由此表明文中所做數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。對于超疏水表面，其明顯小于光滑表面情形，平均降低了5.4%，即采用含矩形微坑的超疏水表面具有明顯的減阻作用。另外，隨增大，略有提高，這是因為當(dāng)平均流速增大時，水流過周期性分布的微觀結(jié)構(gòu)時所需的壓降會更大。

2.3 流動運動學(xué)特征

圖5為微通道中微坑附近的速度場分布。在該微通道中，由于微坑中駐留有部分氣體，從而使上壁面處的流動分為兩類：微脊處固-液界面上的無滑移流動和微坑處氣-液界面附近的滑移流動。而且，流動在這兩類邊界上的差別很大，固-液界面處的速度梯度大，在靠近壁面處速度減小為零；而微坑處的速度梯度小、速度并不為零，并且在微坑中存在明顯的逆時針環(huán)流[圖5（c）]。

圖5 微坑附近的速度場

圖6為在第20個微結(jié)構(gòu)附近不同位置處的量綱1速度縱向分布，選取位置分別為：微坑入口（s/=0.1）、微坑中間（s/=0.5）、微坑出口（s/=0.9）和微脊中間。其中s為以第20個微坑左側(cè)壁面為起點，向右沿流向的距離；*=/cl，cl為光滑微通道的截面最大速度。圖6(b)表明，4個位置處的速度分布僅在壁面附近有明顯差別，遠離壁面后則逐漸重合。在微坑中間位置，速度較大，且微通道中心線處的最大速度小于光滑微通道情形，這是因為流體在上壁面發(fā)生滑移，為滿足連續(xù)條件，中心線上的速度勢必減小。當(dāng)流體從微脊流向微坑時，因流動阻力減小，氣-液界面附近的流體逐漸加速，而當(dāng)靠近微坑出口時，微脊阻擋流體致使阻力增加，因而流動又逐漸減速。

圖7為第20個微結(jié)構(gòu)周期單元段沿流動方向的橫向速度分布，圖中每種情形下未做說明的量綱1參數(shù)值即為默認(rèn)參數(shù)值，即c=1，=0.8，c=0.48，c=0.08，c=1。比較圖7中=0.5和0.9可知，增大微坑面積比可提高微坑段的量綱1壁面速度，這是因為增大微坑面積比擴大了氣-液接觸面積，由此削弱了微脊表面的作用。當(dāng)其他參數(shù)相同時，=0.9時的微坑段最大量綱1壁面速度為=0.5時的兩倍多。當(dāng)=0.9時，對比c=0和0.08可知，當(dāng)氣-液界面為直線（c=0）時，微坑段壁面速度更大，表明直線形界面假設(shè)未考慮氣-液界面彎曲效應(yīng)帶來的阻力增加影響，因而不能準(zhǔn)確反映實際結(jié)果。

圖7還比較了入口速度c=1和3時對壁面速度的影響。由圖7可知，降低入口速度可提高微坑段的壁面速度，且速度分布關(guān)于微坑中心線的對稱性更好。微坑段壁面速度的分布關(guān)于微坑中心線一般不對稱，而是向下游偏移，這是由流動慣性所致。

微通道高度對壁面速度也有顯著影響，比較圖7中c=0.48和0.05發(fā)現(xiàn)，增加微通道高度降低了微坑段的壁面速度，且改善了速度分布關(guān)于微坑中心線的對稱性，這是由于增加微通道高度減小了超疏水表面面積與流體體積的比值，因而超疏水表面的作用被削弱。對比圖7中微坑深度的影響可知，降低微坑深度可減小微坑段的壁面速度，這是因為在微坑內(nèi)存在氣體逆時針環(huán)流，當(dāng)降低微坑深度時，氣-液界面離微坑底部的固體表面接近，從而增大了局部剪切力，進而降低了微坑段的壁面速度。

2.4 流動和結(jié)構(gòu)參數(shù)對減阻效果的影響

2.4.1 入口速度的影響 圖8對比了兩種氣-液界面情形下量綱1壓降比隨入口速度的變化。由圖8可知，壓降比均隨入口速度增大而略有下降；與拋物線形界面相比，直線形界面下的壓降比更大，平均高出3.25%，由此表明直線形界面假設(shè)因未考慮界面彎曲效應(yīng)，而高估了超疏水表面的減阻效果。

2.4.2 微坑面積比和微通道高度的影響 圖9為不同微坑面積比和微通道高度下的Poiseuille數(shù)變化。圖9表明，隨微坑面積比增大，單調(diào)減??；這是因為在微通道長度不變的前提下，增大微坑面積比將縮小微脊所占面積，由此減小了固-液接觸面積，因而阻力降低。隨微通道高度降低而減小，且微通道高度越小，隨微坑面積比的變化越顯著。當(dāng)c=0.05時，與微坑面積比近似呈線性減小關(guān)系，這是由于降低微通道高度增大了超疏水表面面積與流體體積的比值，因而超疏水表面的作用變顯著。與光滑微通道相比，當(dāng)=0.9時，c=0.05對應(yīng)的可減小54%（?44）；若其他參數(shù)不變，僅增大微通道高度使c=0.64，則僅減小8%（?88）。由此可見，在較小的微通道結(jié)構(gòu)中可獲得更好的減阻效果。

圖10為微坑面積比對壓降比的影響。圖10表明，壓降比隨微坑面積比增大而提高，這是由于增大微坑面積比可擴大氣-液接觸面積，因而減阻效果越好，壓降越小。同樣，采用直線形氣-液界面假設(shè)下的減阻效果明顯高于拋物線形氣-液界面假設(shè)。

圖11為量綱1壓降比隨微通道高度的變化。該圖表明，隨微通道高度增大，量綱1壓降比減??；這是由于當(dāng)微通道高度增大時，超疏水表面面積與流體體積的比值變小，因而超疏水表面作用減弱。

2.4.3 拋物線形高度的影響 為分析拋物線形界面高度對微通道減阻的影響，圖12和圖13給出了量綱1壓降比、Poiseuille數(shù)和量綱1滑移長度隨拋物線形高度的變化。圖12表明，當(dāng)c=0，即氣-液界面為直線時，量綱1壓降比和滑移長度最大，最小。隨拋物線形高度增加，量綱1壓降比和滑移長度線性減小，而線性增加，表明增加拋物線形高度對超疏水表面的滑移起到了阻礙作用。這是因為水向微坑內(nèi)的浸潤一定程度上影響了流動的順暢性，使流體經(jīng)歷交替的收縮與膨脹，同時滑移的減小使壁面速度梯度增加，導(dǎo)致摩擦阻力增加，因此隨拋物線形高度增加，減阻效果下降。因此，合理選擇微坑結(jié)構(gòu)參數(shù)，進而控制氣-液界面的彎曲高度對于提高減阻效果具有重要的作用。

2.4.4 微坑深度的影響 微坑深度對量綱1壓降比和滑移長度的影響如圖14和圖15所示。當(dāng)c<0.4時，量綱1壓降比和滑移長度均隨微坑深度增加而提高；但當(dāng)c>0.4時，二者則趨于定值，不再受微坑深度影響。這是由于氣體在微坑中發(fā)生逆時針環(huán)流，當(dāng)微坑深度較小時，氣-液界面附近的局部剪切力較大，因而阻力較大；而當(dāng)微坑深度較大時，氣-液界面附近的局部剪切力較小，阻力較小。另外，增大微坑面積比也可明顯提高減阻效果；當(dāng)=0.8且微坑深度足夠大時，量綱1壓降比為0.065，滑移長度為0.025，明顯高于=0.5時的0.013和0.006。

2.4.5 微坑形狀的影響 為分析微坑形狀對微通道減阻的影響，圖16比較了4種不同微坑形狀下的量綱1壓降比。該圖表明，燕尾形微坑對應(yīng)的量綱1壓降比最大，減阻效果最好，這是因為燕尾形微坑更有利于氣相內(nèi)旋渦運動的發(fā)生，從而在氣-液界面處產(chǎn)生更大的局部滑移速度；三角形微坑的量綱1壓降比最小，減阻效果最差；矩形和梯形微坑則介于兩者之間，該結(jié)論與文獻[11]中的結(jié)果一致。

3 結(jié) 論

基于拋物線形氣-液界面前提，對超疏水表面微通道中的單側(cè)滑移流動進行了二維數(shù)值模擬。主要結(jié)論如下。

（1）直線形氣-液界面假設(shè)高估了超疏水表面的減阻效果，采用拋物線形氣-液界面假設(shè)所得的結(jié)果更接近實驗結(jié)果。

（2）上壁面微坑和微脊附近的速度分布表明，流體在微通道上壁面存在明顯滑移特征。沿流向不同位置處的速度分布僅在上壁面附近存在顯著差別，而在遠離上壁面處則逐漸重合。當(dāng)提高微坑面積比和微坑深度，或降低入口速度和微通道高度時，將增大上壁面微坑段的量綱1壁面速度。含矩形微坑的超疏水表面微通道具有減阻作用，隨Reynolds數(shù)增大而略有提高；量綱1壓降比隨入口速度增大而略有下降。

（3）隨微坑面積比的增大或微通道高度的減小，減小，量綱1壓降比增大，減阻效果顯著；且微通道高度越小，隨微坑面積比的變化越顯著。增大氣-液界面的拋物線形高度，量綱1壓降比和滑移長度將線性減小，線性增加。當(dāng)微坑深度大于其寬度的40%時，量綱1壓降比和滑移長度趨于穩(wěn)定，不再受微坑深度影響。

（4）燕尾形微坑的減阻效果最好，三角形微坑的減阻效果最差，矩形和梯形微坑介于兩者之間。選取合適的微坑形狀及其結(jié)構(gòu)參數(shù)是控制減阻效果的重要方面。

符 號 說 明

a——兩微坑間固體壁面（微脊）的寬度，mm B——壓降Dp所對應(yīng)的微通道長度，mm Dh——微通道的水力直徑，mm d——微坑的寬度，mm f——微通道的平均摩擦因子 fRe——Poiseuille數(shù) H——微通道的高度，mm Hc——相對微通道高度 h——微坑的深度，mm L——微通道的長度，mm p1, p2——分別為距離微通道進口500 mm和900 mm處的截面平均壓強，Pa Re——Reynolds數(shù) S——周期單元的長度，mm U——基準(zhǔn)速度，m·s-1 uc——量綱1入口速度 uin——入口速度，m·s-1 Zc——相對微坑深度 b——微坑面積比 d——拋物線形氣-液界面的最大高度，mm dc——相對拋物線形氣-液界面的最大高度 m——水的動力黏度，Pa·s P——量綱1壓降比

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Drag reduction of superhydrophobic microchannels based on parabolic gas-liquid interfaces

LI Chunxi, ZHANG Shuo, XUE Quanxi, YE Xuemin

(Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, North China Electric Power University, Baoding071003,Hebei,China)

Based on the model of volume of fluid, two-dimensional fluid laminar flow in superhydrophobic microchannels was numerically simulated with given parabolic gas-liquid interfaces. The effects of several flow and structural parameters on, the normalized slip length and pressure drop were investigated. The results show that superhydrophobic microchannels with rectangular microcavities exhibited significant drag reduction in a way thatincreased slightly with increase of Reynolds number whereas normalized pressure drop decreased slightly with increase of inlet velocity. When the area ratio of microcavities was increased or the microchannel diameter was decreased,was reduced but normalized pressure drop was enhanced. In case of small microchannel diameter, the area ratio of microcavities significantly affected. With increase of the parabolic height, the ratio of normalized pressure drop and the normalized slip length decreased linearly, howeverincreased linearly. The impact of microcavities on the normalized slip length and the ratio of normalized pressure drop was minimal provided that the microcavity depth was greater than 40% of its width. The dovetail microcavities exhibited the greatest effect on drag reduction, followed by the rectangular, trapezoidal, triangular microcavities in the order of high to low.

superhydrophobic surfaces; microchannels; numerical simulation; gas-liquid interface; laminar flow; microscale; two-phase flow

2016-05-09.

Prof. LI Chunxi, leechunxi@163.com

10.11949/j.issn.0438-1157.20160629

O 35

A

0438—1157（2016）10—4126—09

國家自然科學(xué)基金項目（11202079）；河北省自然科學(xué)基金項目（A2015502058）。

2016-05-09收到初稿，2016-07-13收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者：李春曦（1973—），女，博士，教授。

supported by the National Natural Science Foundation of China (11202079) and the Natural Science Foundation of Hebei Province (A2015502058).