潘文全

(南開大學(xué) 哲學(xué)院，天津　300350)

?

論邏輯真理的范圍

潘文全

(南開大學(xué) 哲學(xué)院，天津300350)

通過考察兩大類邏輯系統(tǒng)：實(shí)在論邏輯系統(tǒng)和反實(shí)在論的邏輯系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)Henkin的方法能夠給出這些系統(tǒng)的完全性證明。用這種方法可以構(gòu)造出包含所有系統(tǒng)邏輯真理的集合，而這個集合就是邏輯真理的范圍。所以完全性是一個劃分邏輯真理和非邏輯真理的標(biāo)準(zhǔn)。

邏輯真理；事實(shí)真理；實(shí)在論；反實(shí)在論；范圍；有界

一、邏輯真理的先行研究

從古希臘邏輯誕生以來，關(guān)于邏輯真理的討論眾說紛紜，特別是伴隨著近代哲學(xué)的認(rèn)識論轉(zhuǎn)向，邏輯學(xué)進(jìn)入了心理主義占主流的時期，當(dāng)時對邏輯的觀點(diǎn)分為經(jīng)驗(yàn)主義、唯理主義。經(jīng)驗(yàn)主義以穆勒為代表，認(rèn)為邏輯是對經(jīng)驗(yàn)的歸納總結(jié)，比如對矛盾律的解釋，穆勒認(rèn)為矛盾律是對信仰與不信仰這兩種精神狀態(tài)的總結(jié)，而且將這兩種精神指向外界，可以在外界發(fā)現(xiàn)光明與黑暗、聲音與寂靜、前行與后繼等現(xiàn)象，總之每一個肯定的現(xiàn)象都與其否定處在尖銳的對立之中，穆勒把矛盾律總結(jié)為對這些事實(shí)的一般化[1]。與此對立的唯理主義卻認(rèn)為邏輯同上帝一樣是超驗(yàn)的，不能從經(jīng)驗(yàn)中得到，他們批評經(jīng)驗(yàn)主義者，認(rèn)為從經(jīng)驗(yàn)中得到的邏輯就不能絕對為真，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)總是可錯的，比如康德對邏輯的看法就趨向于唯理主義。在《邏輯學(xué)講義》中，康德區(qū)分了一般邏輯和先驗(yàn)邏輯，他認(rèn)為一般邏輯是其他科學(xué)的基礎(chǔ)和一切知性的使用入門，不允許從任何一門科學(xué)或者任何一種經(jīng)驗(yàn)中得到它的原理，邏輯的原理是先天的法則，是必然的法則，這種法則的獲得方式在它自身那里就可以得到[2]。

在弗雷格發(fā)表《概念文字》之后，現(xiàn)代數(shù)理邏輯誕生了，對邏輯的看法也發(fā)生了革命性的變化。羅素的邏輯真理論是基于邏輯原子論的符合論，他把恒真的命題函項(xiàng)稱為邏輯真理，所以他的邏輯真理觀具有形式性、客觀必然性、先驗(yàn)性等特征[3]。維特根斯坦構(gòu)造了真值表，從基本命題開始，認(rèn)為邏輯真理就是析取排列所有的可能，窮盡了這些可能之后就是必然，在二值邏輯系統(tǒng)中，一個基本命題有真假之分，由n個基本命題構(gòu)成的復(fù)合命題就有2n種可能性，其中必有一種是重言式，一種是矛盾式，將那些所有重言式命題析取排列就得到了必然的真[4]。邏輯經(jīng)驗(yàn)主義關(guān)于邏輯真理的觀點(diǎn)與康德有淵源關(guān)系，而且完全貫徹經(jīng)驗(yàn)主義的立場，堅(jiān)持命題的意義在于可證實(shí)性，但是邏輯命題原則上是不可證實(shí)的，那么只有拒斥邏輯了，這明顯同邏輯是有意義的相矛盾，所以邏輯經(jīng)驗(yàn)主義需要一種擺脫困境的方法。他們修改了康德的分析命題和綜合命題的定義，認(rèn)為分析命題是沒有任何經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的重言式，僅僅依靠符號的定義為真，而當(dāng)一個命題的真取決于經(jīng)驗(yàn)時就是綜合命題，自然地就取消了先天綜合命題的存在。所以，邏輯經(jīng)驗(yàn)主義認(rèn)為邏輯命題是分析的命題，它們不包括任何經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容，證實(shí)原則對它們失效，因此這些命題是必然的、先天的。另一方面，涉及經(jīng)驗(yàn)的命題只能是偶然的，它依靠經(jīng)驗(yàn)證實(shí)。

1951年，奎因批評了邏輯經(jīng)驗(yàn)主義關(guān)于分析命題和綜合命題的觀點(diǎn)，邏輯經(jīng)驗(yàn)主義拒斥了康德的先天綜合命題，只承認(rèn)相互區(qū)別的分析命題和綜合命題，但是奎因認(rèn)為不能做出這兩種命題的區(qū)分，它們其實(shí)都是經(jīng)驗(yàn)命題。他認(rèn)為分析性通常被定義為：A是分析的，當(dāng)且僅當(dāng)A是邏輯真理或者A能通過同義詞替換為邏輯真理?？虻姆瘩g集中在第二點(diǎn)，他認(rèn)為第二點(diǎn)需要依靠“同義性”來說明，實(shí)際上，同義性概念本身同分析性概念一樣模糊，本身也需要進(jìn)一步被說明，而且用同義性、可替換性、語義規(guī)則來刻畫同義性的種種嘗試都直接或者間接包含邏輯循環(huán)，所以分析命題和綜合命題之間的區(qū)分是做不出來的。其次邏輯學(xué)家對邏輯真理進(jìn)行的不同解釋都是基于萊布尼茨的觀點(diǎn)，即邏輯真理與事實(shí)真理的區(qū)分[5]，奎因又從結(jié)構(gòu)、代換、模型、證明、語法等方面出發(fā)對邏輯真理進(jìn)行了不同以往的解釋[6]，認(rèn)為分析命題是不存在的，邏輯命題不是分析命題而是經(jīng)驗(yàn)命題，所以邏輯命題就不是先天的、分析的、必然的，而是經(jīng)驗(yàn)的、偶然的，因此能夠被修正[7]。因此奎因就拒斥了邏輯經(jīng)驗(yàn)主義的分析命題和經(jīng)驗(yàn)命題的區(qū)分。

東方學(xué)者關(guān)于邏輯真理的解釋也做出了杰出的貢獻(xiàn)。1957年以后金岳霖形成了“反映性與規(guī)范性相統(tǒng)一”的新型邏輯真理觀，并給出了完整的闡發(fā)和論證[8]。梅劍華認(rèn)為西方哲學(xué)史上存在三組基本的哲學(xué)概念：分析與綜合、先天與后天、偶然與必然。傳統(tǒng)認(rèn)為分析陳述=先天陳述=必然陳述，康德打破了分析陳述與先天陳述的聯(lián)系；克里普克打破了先天陳述與必然陳述的關(guān)系；奎因打破了分析陳述與綜合陳述的區(qū)分；最近，卡普蘭打破了分析陳述與必然陳述的關(guān)聯(lián)，策爾塔打破了必然陳述與邏輯陳述之間的關(guān)聯(lián)，所以，分析命題就是邏輯為真的命題,而非必然為真的命題[9]。陳波認(rèn)為邏輯真理不能一般地被定義，只能是相對于一定的邏輯系統(tǒng)而言的，具有系統(tǒng)相對性；由于分析命題和綜合命題之間的區(qū)分不成立，邏輯真理不是沒有經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的分析命題，它或多或少含有經(jīng)驗(yàn)成分，而且通過一系列中間環(huán)節(jié)與經(jīng)驗(yàn)保持聯(lián)系；邏輯真理不具有絕對必然性，只有相對必然性；邏輯真理是可錯的[10]。但是，王路認(rèn)為陳波的論證是站不住腳的，邏輯是可錯的是一個很壞的觀點(diǎn)[11]。

可以看出，學(xué)界對邏輯真理的討論是不夠深入的，甚至可以說是很簡單的，都還停留在討論邏輯真理的定義上，關(guān)于邏輯真理的范圍、性質(zhì)基本上都沒有涉及到。本文將著眼于邏輯系統(tǒng)的構(gòu)造與證明，對這個問題提供一個新的看法，即邏輯的真理只限于完全性定理之內(nèi)，超出了完全性定理的東西就屬于歸納邏輯的范圍，這些真理不再是邏輯的真理，它們是事實(shí)真理。

二、邏輯真理的實(shí)在論進(jìn)路

實(shí)在論的代表是弗雷格、早期維特根斯坦、奎因等人。他們認(rèn)為邏輯不僅僅是思維方式或者形式主義，而且描述事物的存在狀態(tài)，對實(shí)在做出了斷定，因此它是一種本體論的研究，所以無論邏輯命題的真假是否被確定，以及是否有能力證明它們的真假，邏輯命題總有一個真假值，那么在這種意義上邏輯是客觀的，邏輯是一種發(fā)現(xiàn)而不是發(fā)明。在實(shí)在論內(nèi)部，從對邏輯的認(rèn)識是超驗(yàn)的還是經(jīng)驗(yàn)的區(qū)分出發(fā)，分為柏拉圖主義和經(jīng)驗(yàn)主義。超驗(yàn)的就意味著可以獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)而知道邏輯命題的真假，即柏拉圖主義，它的最大問題在于不能說明獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)之外如何認(rèn)識到這些超驗(yàn)命題。經(jīng)驗(yàn)主義認(rèn)為通過經(jīng)驗(yàn)，邏輯可以被認(rèn)識到，認(rèn)識的方法就是歸納法，得到的邏輯是一種經(jīng)驗(yàn)真理，那么關(guān)于邏輯推理的絕對保真性只是一種錯覺，但是經(jīng)驗(yàn)主義認(rèn)為邏輯具有一定程度的保真性，原因是它與經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系不是直接的而是間接的，它通過多級抽象使得經(jīng)驗(yàn)的成分極少，在人的知識體系中具有最高的抽象性，它的作用僅僅是作為一種經(jīng)驗(yàn)的加工方式，使得它與經(jīng)驗(yàn)看起來極為不同，對經(jīng)驗(yàn)主義觀點(diǎn)的挑戰(zhàn)主要來自于邏輯的高度保真性[1]。

實(shí)在論的邏輯觀無論是上述哪種觀點(diǎn)，它們都是通過符合論來定義的，即語句的真不僅僅在于它同其他語句的關(guān)系，更重要的是它與世界的符合關(guān)系，符合就為真，不符合就為假。符合論有悠久的傳統(tǒng)，起源于亞里士多德，現(xiàn)代有羅素、早期維特根斯坦、奎因、塔斯基等。其中塔斯基真概念的定義是現(xiàn)代符合論的典型代表，塔斯基的基本思想是：第一，規(guī)定對象語言L的語法結(jié)構(gòu)，“真”謂詞是相對于L被定義的；第二，確定元語言L′的語法結(jié)構(gòu)，在其中語言L被定義；第三，在L′中定義語言L的“滿足”，在L′中通過已被定義的“滿足”來定義“真”。我們首先定義一個對象語言：

1.定義L的字母表

a．邏輯符號：

(1)變項(xiàng)x,y,z……

(3) ?，?，

(4)“(”，“ )”

b．非邏輯符號：

(1)常項(xiàng)c0，c1……

(2)關(guān)系R

(3)函數(shù)F

2.L形成規(guī)則

a.項(xiàng)的形成規(guī)則:

(1)任意變項(xiàng)或者常項(xiàng)是L的項(xiàng)；

(2)t0……tn是項(xiàng)，則F(t0……tn)也是項(xiàng)。

b.公式的形成規(guī)則：

(1)如果t0……tn是項(xiàng)，那么R(t0……tn)是原子公式；

(3)如果A、B是公式，則A∨B也是；

(4)如果A是公式，x是變項(xiàng)，則?xA，?xA也是；

(5)任意公式只能由以上規(guī)則的有窮多次運(yùn)用得到。

3.演繹基礎(chǔ)

a.公理：

(1)A∨A→A

(2)A→A∨B

(3)A∨B→B∨A

(4)(B∨C)→((A∨B)→(A∨C))

(5)?(x)A(x)→A(y)

(6)A(y)→?(x)A(x)

b.推理規(guī)則：

R1：MP

R2：A(y/x)→B,得?(x)A(x)→B，y不在?(x)A(x)和B中自由出現(xiàn)。

R3：A→B(y/x)，得A→?(x)B(x)，y不在A和?(x)B(x)自由出現(xiàn)。

以上給出了一個希爾伯特類的一階語言，現(xiàn)在可以定義經(jīng)典邏輯中的邏輯真，首先需要定義元語言L′，在L′中通過定義“滿足”來定義“真”。令元語言由自然語言加上特定的符號構(gòu)成，那么與邏輯對應(yīng)的實(shí)在可以用模型M=〈W,R,v〉來表示，其中W是任意元素的非空集合，被稱為M的論域，其中的元素被稱為個體，R是W中的任意n元關(guān)系，F(xiàn)是W中任何意n元函數(shù)，v是一個映射，它滿足：

(1) 對L中的每一個n元符號R，v(R)是M上的一個n元關(guān)系；

(2) 對L中的每一個個體常項(xiàng)c，v(c)是M上的一個個體；

(3) L中的每一個變元x，v(x)把變項(xiàng)映射到M上的論域上。

有了形式語言L和模型M，就可以確定語言L中的語句對于M的真假，M滿足L的任意公式α，記為Mα，其歸納定義如下：

通過完全性證明可以得到，對任意M都為真的公式是邏輯為真的公式。

以上定義了經(jīng)典邏輯的真，實(shí)際上邏輯理論還包括哲學(xué)邏輯，它與經(jīng)典邏輯有極大的不同，主要包括兩大類：一是變異邏輯，以否定或者修改一階邏輯的某些基本假設(shè)而建立的邏輯分支，表現(xiàn)為經(jīng)典邏輯的擇代系統(tǒng)，比如直覺主義邏輯、多值邏輯等；二是應(yīng)用邏輯，利用經(jīng)典邏輯去分析具體科學(xué)，表現(xiàn)為經(jīng)典邏輯的擴(kuò)充系統(tǒng)。這兩類邏輯的出現(xiàn)改變了經(jīng)典邏輯的真概念。

可能世界語義學(xué)適用于大部分哲學(xué)邏輯分支，特別是擴(kuò)充系統(tǒng)，甚至可以適用于經(jīng)典邏輯，這就為比較經(jīng)典邏輯和應(yīng)用邏輯提供了基礎(chǔ)。在這個意義上，可以把邏輯真分成7個不同的層次。在上面M=〈W,R,v〉的基礎(chǔ)上，把W定義為可能世界w0,w1……的集合，R為可能世界之間的可通達(dá)關(guān)系，v為對象語言L在某個可能世界wi上的賦值，由于在哲學(xué)邏輯中存在可能世界、模型、框架、模型類等不同的層次，那么在哲學(xué)邏輯中首先相對于特定的可能世界來定義塔斯基的“滿足”，在此基礎(chǔ)之上構(gòu)造了模型的“滿足”、框架的“滿足”、模型類的“滿足”、框架類的“滿足”，所以由“滿足”定義的邏輯真也相對化了，即或者相對于W中的某個可能世界、或者相對于模型、或者相對于框架、或者相對于模型類、或者相對于框架類為真[7]，對于這些不同的層次，通過完全性證明可以得到：

(1) 在某一個模型的某個可能世界上為真，在M=〈W,R,v〉上，W={w0}，R={〈w0,w1〉},v (p,w0)=1，對于公式T：p→p，由M,w0p，得M,w0p→p，得T在M上為真，這是最基本的為真。

(2) 弱模型為真，對于某一公式A，只在可能世界集的某個子集上為真，這對于證明非正規(guī)模態(tài)邏輯十分必要。

(3) 模型為真，當(dāng)且僅當(dāng)在該模型的所有可能世界上為真，在M=〈W,R,V〉上，W={w0,w1}，R=?，v(p,w0)=v(p,w1)=1，得v(p,w0)=v(p，w1)=1，v(p,w0)=v(P，w1)=0，v((p→p),w0)=v((p→p),w1)=1，所以M(p→p)，在這個模型上(p→p)為真。

(4) 在框架上為真，當(dāng)且僅當(dāng)對框架上的任意賦值v都為真，在模型上為真只是對框架上某一賦值為真的特例。因此框架上為真與具體的賦值v無關(guān)，只與R的性質(zhì)有關(guān)，如果哲學(xué)邏輯系統(tǒng)含有公理D、T、E、B、4，那么要求R分別具有延續(xù)性、自返性、歐幾里得性、對稱性、傳遞性。比如在M=〈W,R,V〉上，W={w0}，R={〈w0,w1〉},v (p,w0)=1或者v(p,w0)=0都有M,w0p→p，所以不論如何賦值，公式T在自返框架上總為真。

(5) 在模型類中為真，當(dāng)且僅當(dāng)對該模型類中每一個模型都為真，也就是說對于任意公式，找出那些讓該公式為真的模型，再由這些模型構(gòu)成一個集合，即為在模型類中為真。

(6) 在框架類為真，即對框架類中任意的框架都為真。

(7) 普遍為真。即在所有框架組成的框架類上為真，或者在所有模型組成的模型類中為真，這等價于經(jīng)典邏輯中定義的真，所有經(jīng)典邏輯的內(nèi)定理都是在這個意義上為真的公式，因?yàn)檫@些公式與可能世界之間的通達(dá)關(guān)系無關(guān)，所以可以用可能世界語義學(xué)解釋經(jīng)典邏輯，也可以把經(jīng)典邏輯看成哲學(xué)邏輯的一個子部分。

從以上通過在元語言L′中定義真可以看出，對象語言中的任意語句為真，當(dāng)且僅當(dāng)它被或者模型、或者框架、或者模型類、或者框架類等實(shí)在所滿足，而且能夠證明對應(yīng)于不同實(shí)在的完全性，那么就能得到在對象語言與實(shí)在之間存在同構(gòu)，所以通過對象語言L中的符號的形式推導(dǎo)，就能必然真地得到實(shí)在中的真結(jié)論。但是對于任意實(shí)在，是否都有一個形式語言L與它同構(gòu)呢？答案是否定的。塔斯基的真不可定義性、哥德爾不完全性定理、丘奇-圖靈的不可判定性定理證明了在初等算術(shù)中任意真的語句不能在形式算術(shù)系統(tǒng)中得到證明。這些邏輯的限制性定理表明了形式化思想或者形式系統(tǒng)的邊界和最大能力[12]。所以，對于任意的實(shí)在，不能找到相對應(yīng)的形式系統(tǒng)來證明所有的真語句，對于超出了邏輯形式系統(tǒng)之外的推理，沒有必然保真的工具可以利用。因此，可以把形式邏輯看成是對休謨問題的處理，邏輯抽象掉了語言中的意義，試圖僅僅通過處理形式來得到必然真的結(jié)論，這在一定的范圍內(nèi)成功了，但是不完全性定理也證明這種方式解決不了休謨問題，所以邏輯真理必須被限制在一定的范圍內(nèi)。比如一階邏輯具有可靠性和完全性，能夠在一階形式語言內(nèi)通過形式證明確定一階模型中的任意語句的真假；D系統(tǒng)對應(yīng)了持續(xù)框架；T系統(tǒng)對應(yīng)了自返框架；S4對應(yīng)了自返傳遞框架；S5對應(yīng)了等價框架等。超出這個范圍就不能必然得到真的結(jié)論，只能得到或然的結(jié)論，所以從這個角度來看可以把演繹邏輯規(guī)約到廣義歸納邏輯，在歸納邏輯中劃出一個界限，邏輯真理屬于演繹邏輯，屬于必然真理，非邏輯真理是狹義歸納邏輯，屬于事實(shí)真理。

三、邏輯真理的反實(shí)在論進(jìn)路

實(shí)在論假設(shè)了存在某個東西，邏輯的論斷與這個實(shí)在都有符合或者不符合的性質(zhì)，所以實(shí)在論接受二值原則。反實(shí)在論與實(shí)在論不同，它從人的認(rèn)識出發(fā)，認(rèn)為邏輯必須與人類的認(rèn)識能力合拍，在不能證明實(shí)在存在的情況下，就不能用實(shí)在來說明問題，所以反實(shí)在論認(rèn)為邏輯是由其證明條件而確定的，“真”表明了能夠構(gòu)造它，“假”表明構(gòu)造了一個矛盾；對于任意命題，不能斷定它要么真要么假；另外純形式的符號被看成是第二位的現(xiàn)象，它們是由于人自身認(rèn)知能力的限制和出于交流被構(gòu)造出來的，符號只表明了心理的認(rèn)識過程。反實(shí)在論的代表流派是構(gòu)造主義，表現(xiàn)為直覺主義邏輯系統(tǒng)[13]，此系統(tǒng)作為經(jīng)典邏輯的擇代系統(tǒng)即變異邏輯而出現(xiàn)，它否定或者修改了經(jīng)典邏輯的以下假設(shè)：(1)外延原則：經(jīng)典邏輯在處理語句時只考慮它們的外延，語詞的外延是它所指的對象，語句的外延是它的真假值；(2)二值原則；(3)個體域非空，量詞具有存在涵義，不允許出現(xiàn)不指稱任何個體的空詞項(xiàng)；(4)采用實(shí)無窮，可以接受非構(gòu)造對象[7]。

當(dāng)邏輯主義為數(shù)學(xué)尋找邏輯基礎(chǔ)時，直覺主義把直覺作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其基本思想是首先找到自然數(shù)的基礎(chǔ)是直覺，再構(gòu)造有理數(shù)、實(shí)數(shù)、直覺主義連續(xù)統(tǒng)、分析學(xué)，由此建立整個數(shù)學(xué)，然后在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上建立邏輯，邏輯位于數(shù)學(xué)之上，原因是直覺主義認(rèn)為邏輯這一概念比數(shù)學(xué)復(fù)雜，不能作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。當(dāng)把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還原為直覺時，這種直覺是個人的也是人類共有的，在人類蒙昧?xí)r期，甚至在動物身上，都能觀察到一種基本的能力，即區(qū)分外界變化的能力。有了這種能力就能把變化前看成一個整體，把變化后看成一個整體，把這種過程抽象就形成了原始數(shù)覺，直覺主義把這個過程定義為“貳-壹性”，這個過程的核心就是孤立對象，把注意力集中在單個對象上。沒有這種區(qū)分的能力就沒有數(shù)覺，注意這里孤立的僅僅是知覺不是實(shí)在，把注意力固定在一個知覺上就創(chuàng)造了一個實(shí)體，“存在就是被構(gòu)造”。僅僅有注意還不能有計(jì)數(shù)，還需要記憶，它使被注意過的知覺能被比較，判定它們是否同一，這樣計(jì)數(shù)活動就產(chǎn)生了，在這個過程中心理的部分是根本的。于是在心靈中創(chuàng)造了自然數(shù)，簡單地說就是原始數(shù)覺孤立出一列對象，首先固定一個對象，然后在此對象上加入另一對象，然后再加入另一對象，如此反復(fù)進(jìn)行下去便得到了所有自然數(shù)，其抽象形式就是從n到n+1的數(shù)學(xué)歸納法。綜上可以得出直覺和構(gòu)造產(chǎn)生了自然數(shù)，在其基礎(chǔ)之上利用有序?qū)皖悩?gòu)造出了有理數(shù)，再通過戴德金分割構(gòu)造出實(shí)數(shù)，如此得到整個數(shù)學(xué)[13]。在直覺主義數(shù)學(xué)之上可以建立直覺主義邏輯系統(tǒng)，Heyting完成了這個工作，他建立了直覺主義邏輯系統(tǒng)HQC[13]。

公理模式：

H1.A→(A∧A)

H2.(A∧B)→(B∧A)

H3.(A→B)→((A∧C)→(B∧C))

H4.(A→B)∧(B→C)→(A→C)

H5.A→(B→A)

H6.A∧(A→B)→B

H7.A→(A∨B)

H8.(A∨B)→(B∨A)

H9.(A→C)∧(B→C)→((A∨B)→C)

H12.A(y)→?(x)A(x)

H13.?(x)A(x)→A(y)

(對于H12、H13，y對A(x)中的x自由，A(y)由將A(x)中x的每次自由出現(xiàn)變?yōu)閥得到)

變形規(guī)則：

R1：MP

R2：從A和B得到A∧B

R3：A(y/x)→B,得?(x)A(x)→B，y不在?(x)A(x)和B中自由出現(xiàn)

R4：A→B(y/x)，得A→?(x)B(x)，y不在A和?(x)B(x)自由出現(xiàn)

以上給出了HQC的形式系統(tǒng)，Heyting1930年給出了證明論語義[13]：

1.p∧q被斷定?p和q都被斷定。

2.p∨q被斷定?p和q中至少一個被斷定。

4.p→q被斷定?擁有一個構(gòu)造r，加到證明p的任何構(gòu)造上將得到q的構(gòu)造。

5.?(x)A(x)被斷定?對論域中的任意a，擁有一個一般性的構(gòu)造方法產(chǎn)生A(a)。

6.?(x)A(x)被斷定?對論域中的某個a，能構(gòu)造出A(a)。

對于直覺主義的構(gòu)造概念，Kleene提出了一種可實(shí)現(xiàn)的解釋，即把它等同于部分遞歸函數(shù)[13]。但是Kleene的可實(shí)現(xiàn)性解釋并不完全，把構(gòu)造與部分可遞歸同等對待也不合理。Gedel用泛函解釋與構(gòu)造相比較，但是也證明了HQC對泛函解釋不完全[13]。這些都表明了HQC的構(gòu)造概念非常弱，可構(gòu)造類非常大，已經(jīng)證明Dale語義、Beth語義、Kripke語義、代數(shù)語義、拓?fù)湔Z義對HQC都是完全的，這幾種語義也都是等價的。事實(shí)上HQC依據(jù)的構(gòu)造概念是布勞威爾后期的思想，此時除了哲學(xué)方面的立場差異，直覺主義數(shù)學(xué)與經(jīng)典數(shù)學(xué)幾乎沒有什么區(qū)別了。

雖然反實(shí)在論從人的認(rèn)識出發(fā)，建立了數(shù)學(xué)進(jìn)而建立了邏輯，但是從上面可以看到直覺主義邏輯同經(jīng)典邏輯一樣，對于不同的語義，也存在完全和不完全的現(xiàn)象，結(jié)果趨同于實(shí)在論，這說明了它們之間不是完全不同的，差別僅僅是出發(fā)點(diǎn)不一樣。實(shí)在論首先假定了實(shí)在，然后產(chǎn)生了符合不符合問題，整體上偏向于模型論的思路；相反，反實(shí)在論首先從認(rèn)識出發(fā)，堅(jiān)持只有被構(gòu)造出來的才是實(shí)在的，整體上偏向于證明論的思路。但是，它們都同屬于認(rèn)識論的主客二分的思維方式，所以限制性定理做出的否定性結(jié)論都是適用于它們的。對于邏輯的推理，只有限制在完全性定理的范圍之內(nèi)才能得出必然真的判斷，超出這個范圍邏輯將不再提供必然真的保證。

四、完全性與邏輯真理

雖然已經(jīng)確立了完全性能夠作為一個標(biāo)準(zhǔn)去劃分邏輯真理和非邏輯真理，但是仍然不清楚如何達(dá)到這個臨界點(diǎn)，下面將采用Henkin的方法來實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)[14]。首先需要注意的是Henkin方法是一種構(gòu)造模型的辦法，所以對于反實(shí)在論的直覺主義邏輯系統(tǒng)也是適合的，那么這種方法當(dāng)然也就是一種考察全部邏輯系統(tǒng)的合適方法。首先假定一個邏輯系統(tǒng)序列L1，L2…Li…由于初始符號和公理集的不同，任意的Li可能是經(jīng)典邏輯的系統(tǒng)，也可能是直覺主義邏輯系統(tǒng)，或者是哲學(xué)邏輯系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)這個序列窮盡了所有的邏輯系統(tǒng)。

對于任意的系統(tǒng)Li，通過Henkin的方法可以找出這個系統(tǒng)的邏輯真理集。假設(shè)序列A0，A1…是Li中所有的wf.的枚舉，那么可以用下述方法構(gòu)造Li的擴(kuò)張序列J0，J1，J2…令J0=Li，如果能夠在J0中證明A0，那么J0=J1，如果不能夠在J0中證明A0，那么把A1作為一個新公理加入到J0中而得到J1。一般地，對n≥1，由Jn-1構(gòu)造Jn：如果在Jn-1中證明了An-1，那么Jn-1=Jn；如果在Jn-1中不能證明了An-1。那么Jn是增加了An-1作為新公理而得到的Jn-1的擴(kuò)張。最后令Ti=∪i∈NJi，那么就得到了邏輯系統(tǒng)Li的邏輯真理集Ti。通過以上的構(gòu)造可以發(fā)現(xiàn)集合Ti窮盡了Li的所有的邏輯真理，也就是說如果再往Ti中加入一個其他元素，那么Ti就包含了非邏輯真理。綜上所述，Ti中只包含邏輯真理不包含非邏輯真理。

相對于邏輯系統(tǒng)Li得到了它的邏輯真理集Ti，如果對邏輯系統(tǒng)序列L1，L2…中的所有系統(tǒng)重復(fù)這一過程，那么就得到了一個邏輯真理集的序列T1，T2…令T=∪i∈NTi，那么可以得到一個包含了所有邏輯系統(tǒng)的真理的集合，這個集合T中的元素全是邏輯真理，沒有非邏輯真理，而且所有的邏輯真理都在其中，無一遺漏。通過集合論還可以考察集合T中元素的個數(shù)，已知Ti的基數(shù)是無窮的，令Ti的基數(shù)為λi，那么T的基數(shù)就是所有λi中最大的那一個。

這里需要說明幾點(diǎn)：首先，盡管不同的邏輯系統(tǒng)所承認(rèn)的對象不同，例如直覺主義邏輯系統(tǒng)不承認(rèn)經(jīng)典邏輯系統(tǒng)中的排中律，但是在完全性作為劃分邏輯真理和非邏輯真理的標(biāo)準(zhǔn)之下，把直覺主義邏輯系統(tǒng)的邏輯真理集與經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的邏輯真理集并起來并不會有矛盾；其次，不同的哲學(xué)邏輯系統(tǒng)由于刻畫的對象不同，那么初始符號和公理集也會不同，所以集合T中不會出現(xiàn)矛盾，盡管可能會出現(xiàn)重復(fù)的元素，但是不影響結(jié)論。

上述考察了建立邏輯系統(tǒng)的不同進(jìn)路。實(shí)在論從假設(shè)實(shí)在出發(fā)，通過“滿足”定義了邏輯真，得出邏輯真理滿足完全性定理，不滿足完全性定理的是非邏輯真理；反實(shí)在論從假設(shè)人的認(rèn)識能力出發(fā)，最后得到了相同的結(jié)果?？梢钥闯觯m然他們出發(fā)點(diǎn)不同，但殊途同歸，即邏輯真理具有完全性這個性質(zhì)。在建立一個邏輯系統(tǒng)的過程中，當(dāng)一步一步地往系統(tǒng)中加入新的公理時就需要去證明新系統(tǒng)的完全性，但是這個過程是不可能永遠(yuǎn)進(jìn)行下去的。當(dāng)逐漸加入新的公理時，這個系統(tǒng)將在某個時刻不再具有完全性，那么我們說這就是一個界限，一個臨界點(diǎn)，在具有完全性的這個極大系統(tǒng)中的就是邏輯真理，超出其外的就是事實(shí)真理。

[1]MILL J S.System of Logic.Toronto[M].[S.l.]:Univ of Toronto Press,1973.

[2]康德.邏輯學(xué)講義[M].許景行，譯.上海:商務(wù)印書館,2010:155.

[3]王愛鳳.論羅素邏輯真理觀的特征[J].內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(社會科學(xué)版),2011(2):7-9.

[4]張滿.維特根斯坦與金岳霖邏輯真理思想比較研究[D].秦皇島：燕山大學(xué),2014.

[5]畢富生.論邏輯真理和事實(shí)真理[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會科學(xué)版),2008(6):11-15.

[6]陳昱竹.蒯因論邏輯真理[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會科學(xué)),2012(5):10-12,18.

[7]陳波.邏輯哲學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2005.

[8]張建軍.論后期金岳霖的邏輯真理觀——金岳霖后期邏輯哲學(xué)思想探析之一[J].學(xué)術(shù)月刊,2005(9):21-28.

[9]梅劍華.分析性、必然性和邏輯真理[J].哲學(xué)分析,2014(1):69-82,198.

[10]陳波.論邏輯真理[J].自然辯證法研究,1990(2):1-15.

[11]王路.邏輯真理是可錯的嗎? [J] 哲學(xué)研究,2007(10):108-116,128.

[12]SMULLYAN R M.GODEL’S INCOMPLETENESS THEOREMS[M].New York:Oxford University Press,1992.

[13]柯華慶.直覺主義邏輯的語義基礎(chǔ)[M].上海:上海三聯(lián)書店,2014.

[14]LEON H.The Completeness of the First-Order Functional Calculus[J].Journal of Symbolic Logic,1949(14):159-166.

(責(zé)任編輯張佑法)

On the Scope of Logic Truth

PAN Wen-quan

(School of Philosophy, NanKai University, Tianjin 300350, China)

By exploring two logic systems: logic system about realism and logic system about anti-realism, the study finds that the method devised by Henkin can give proofs of completeness for those systems, so the method can construct a set include truth of all systems, and the set is the scope of logic truth. So completeness is a criterion to distinguish logic truth from fact truth.

logic truth; fact truth; realism; anti-realism; scope; bounded

2016-02-20

國家社會科學(xué)基金重大項(xiàng)目“現(xiàn)代歸納邏輯的新發(fā)展、理論前沿與應(yīng)用研究”(15ZDB018)；國家社會科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目“基于邏輯視域的認(rèn)知研究”(11AZD056)

潘文全(1987—)，男，四川南充人，博士研究生，研究方向：歸納邏輯、數(shù)學(xué)哲學(xué)。

引用格式：潘文全.論邏輯真理的范圍[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會科學(xué))，2016(8):18-24.

format：PAN Wen-quan.On the Scope of Logic Truth[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(8):18-24.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.08.004

B81

A

1674-8425(2016)08-0018-07