劉孔潔，董迎輝，朱海飛

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

超指數(shù)跳擴散模型下動態(tài)保護基金的定價

劉孔潔，董迎輝*，朱海飛

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

在標的基金價格服從超指數(shù)跳擴散模型假設(shè)下，考慮了動態(tài)保護基金的定價問題。利用首中時分布的拉普拉斯變換，給出了動態(tài)保護基金價格拉普拉斯變換的顯示表達公式。

動態(tài)保護基金；超指數(shù)跳擴散模型；拉普拉斯變換

由Gerber和Shiu[1]，以及Gerber和Pafumi[2]引入的動態(tài)保護基金，最近成為保險行業(yè)最受歡迎的投資基金之一。保護是動態(tài)的是因為每當(dāng)基金的價格低于某個閥值時，基金價格會通過發(fā)行人注入資金來提升，實際上，一個動態(tài)保護基金可以分解為一個全裸的基金和動態(tài)保護。因此，個人和機構(gòu)投資者可以使用這些產(chǎn)品規(guī)避投資組合的下行風(fēng)險。由于該基金為投資者提供了一個比傳統(tǒng)的歐式看跌期權(quán)更為復(fù)雜且更為有利的收益結(jié)構(gòu)，因此，該基金的價值將比傳統(tǒng)的看跌期權(quán)更大，其定價問題也更為復(fù)雜。文獻[2]在Black-Schole模型框架和常利率假設(shè)基礎(chǔ)上，給出了動態(tài)保護基金的定價公式。董迎輝[3]在Black-Schole模型和隨機利率模型框架下，研究了動態(tài)保護基金的定價問題。然而，Black-Schole模型不能描述股票收益率厚尾尖峰的特點，隨機波動率模型則改進了Black-Schole模型，具體可參見文獻[4]，另一類比較流行的模型是跳擴散模型。Merton[5]首次考慮用跳擴散過程來描述資產(chǎn)的價格過程，雖然跳擴散過程彌補了Black-Schole模型的很多不足之處，但在一般的跳擴散模型下很難給出一些依賴于路徑的期權(quán)的定價公式，如，在文獻[5]所提出的正態(tài)跳擴散模型下，雖然能得到歐式期權(quán)的定價公式，但卻無法給出奇異期權(quán)（如美式期權(quán)、回望期權(quán)等）的定價公式。

Kou和Wang[6－7]提出了用雙指數(shù)跳擴散模型來描述股票的價格過程，利用指數(shù)分布的無記憶性，一些奇異期權(quán)（如障礙期權(quán)、回望期權(quán)、永久美式期權(quán)）的閉型定價公式可以得到。受此啟發(fā)，在文中，筆者將考慮用幾何超指數(shù)跳擴散模型來描述股票的動態(tài)。事實上，超指數(shù)跳擴散過程是一類比雙指數(shù)跳擴散過程更一般的風(fēng)險模型，它不僅能刻畫資產(chǎn)投資回報的厚尾尖峰性，還能用來近似任意的跳擴散過程。在該模型下，筆者將給出動態(tài)保護基金價格的拉普拉斯變換，利用數(shù)值算法反演所得到的拉普拉斯變換，便能得到動態(tài)保護基金價格的數(shù)值解。

文中的內(nèi)容安排如下：第一部分介紹了動態(tài)保護基金的概念和標的基金價格的動態(tài)；第二部分給出了超指數(shù)跳擴散模型下，動態(tài)保護基金價格拉普拉斯變換的表達公式；第三部分是結(jié)論。

1　超指數(shù)跳擴散模型下的動態(tài)保護基金

假設(shè)標的基金的價格過程服從如下的幾何超指數(shù)跳擴散過程

其中F（0）＞0為基金的初始價格，r＞0為無風(fēng)險利率，σ＞0為擴散系數(shù)，W（t）是一個標準布朗運動，N（t）是一個強度為λ的泊松過程，{Yi，i＝1，2，…}是一個獨立同分布的超指數(shù)隨機變量序列，其共同的密度函數(shù)為

其中0＜K≤F（0）為一常數(shù)。由定義（4）可知，動態(tài)保護基金的收益將始終高于K。

2　動態(tài)保護基金的價格公式

令DGF0（F（0），T）表示具有到期日為T的動態(tài)保護基金在0時刻的價格。則由資產(chǎn)定價理論得

因此，具有到期日為T的動態(tài)保護基金合同所提供的動態(tài)保護在0時刻的價格為

為了給出DGF0（F（0），T），以及DP0（F（0），T）的表達公式，定義一個新測度

令b=ln（K/F（0））＜0。則由測度變換，（6）變?yōu)?/p>

由于在跳擴散模型下，很難給出最小值分布的表達公式，因此，文中也無法給出（8）式的閉型公式。幸運的是，人們能夠給出超指數(shù)跳擴散模型下首中值分布的拉普拉斯變換，受此啟發(fā)，筆者將考慮DGF0（F（0），T）的拉普拉斯變換。

定義X的首中時為

引理令X為（7）式所描述的超指數(shù)跳擴散過程，則對任意的δ＞0，X首中時的拉普拉斯變換為

其中r1，r2，…，rm+1是下列方程

的m+1個不同的負根，系數(shù)c1，c2，…，cm+1滿足

證明可參見文獻[8]。

注如果允許（3）式中的某些pi或qi取負數(shù)，則{Yi，i＝1，2，…}是一個獨立同分布的混合雙指數(shù)隨機變量序列，此時，方程（9）不一定有m+1個不同的負根，因此，X首中時的拉普拉斯變換也不一定具有該文引理中的表達形式。

利用文中引理便可得出的拉普拉斯變換。

定理對任意的δ＞0，到期日為T的動態(tài)保護基金在0時刻的價格DGF0（F（0），T）的拉普拉斯變換為

其中b=ln（K/F（0）），r1，r2，…，rm+1是方程（9）的m+1個負根，c1，c2，…，cm+1滿足（10）。

證明經(jīng)簡單運算可得

則DGF0（F（0），T）的拉普拉斯變換為

其中最后一個等式是由文中引理得到的。

推論對任意的δ＞0，到期日為T的動態(tài)保護基金所提供的動態(tài)保護在0時刻的價格DP0（F（0），T）的拉普拉斯變換為

其中b=ln（K/F（0）），r1，r2，…，rm+1是方程（9）的m+1個負根，c1，c2，…，cm+1滿足（10）。

證明DP0（F（0），T）的拉普拉斯變換為

利用文中定理立得結(jié)論。

3　結(jié)語

筆者提供了一個超指數(shù)跳擴散模型下，為動態(tài)保護基金定價的方法。動態(tài)保護基金可以分解為期權(quán)和標的基金的組合，利用首中時分布的拉普拉斯變換，給出了動態(tài)保護基金價格拉普拉斯變換的閉型表達公式，從而可以通過拉普拉斯反演算法（如Gaver-Stehfest算法）給出動態(tài)保護基金價格的數(shù)值解。

[1]GERBER H U，SHIU E S W.From ruin theory to pricing reset guarantees and perpetual put options[J].Insurance：Mathematics and Economics，1999，24（1-2）：3-14.

[2]GERBER H U，PAFUMI G.Pricing dynamic investment fund protection[J].North American Actuarial Journal，2000，4（2）：28-37.

[3]董迎輝.Vasicek利率模型下具有隨機障礙的動態(tài)保障年金的定價[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2013，29（3）：237-245.

[4]GRISELDA D，GREGORY R.Pricing variable annuity guarantees in a local volatility framework[J].Insurance：Mathematics and Economics，2013，53（3）：650-663.

[5]MERTON R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976，3：125-144.

[6]KOU S G，WANG H.Option pricing under a double exponential jump diffusion model[J].Management Science，2004，50：1178-1192.

[7]KOU S G，WANG H.First passage times of a jump diffusion process[J].Advance of Applied Probability，2003，35：504-531.

[8]DONG Y H，WANG G J，WU R.Pricing zero-coupon bond and its fair premium under a structural credit risk model with jumps[J].Journal of Applied Probability，2011，48：404-419.

Pricing dynamic guaranteed funds under the hyper-exponential jump-diffusion model

LIU Kongjie，DONG Yinghui，ZHU Haifei
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

We evaluate the price of dynamic guaranteed funds under the assumption that the price of underlying naked fund follows the hyper－exponential jump-diffusion process.Based on the Laplace transform of the first passage time,we derive the closed-form expression for the Laplace transform of the price of dynamic guaranteed funds.

dynamic guaranteed funds；hyper－exponential jump－diffusion model；Laplace transform

O211．5MR（2000）Subject Classification：93E15

A

1672－0687（2016）01－0041－04

責(zé)任編輯：謝金春

2013－10－31

國家自然科學(xué)基金資助項目（11301369）；江蘇省自然科學(xué)基金資助項目（BK20130260）；本科生實踐創(chuàng)新訓(xùn)練計劃項目（201310332062X）

劉孔潔（1993-），男，江西贛州人。*

董迎輝（1978-），女，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，E－mail：dongyinghui1030@163.com。