陶新芝

(江蘇省昆山中學，昆山　215300)

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“一類與橢圓有關的最值問題”的教學分析①

陶新芝

(江蘇省昆山中學，昆山215300)

圓錐曲線是高中解析幾何的核心內(nèi)容，其最值問題是與不等式、函數(shù)密切相關的具有較強綜合性的問題．掌握與橢圓有關的最值問題，不僅有助于學生分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)，還能夠通過滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想，增強思維的靈活性．那么，如何更加有效地指導學生學習“與橢圓有關的最值問題”呢？筆者在實踐中進行了多次嘗試，并獲得一些有意義的經(jīng)驗．

教學中，筆者先通過多媒體向學生演示了“運動的太陽系”，并請學生結合所學知識，從數(shù)學角度研究地球公轉過程中，地球距離太陽中心的最近和最遠的距離．其設計意圖在于，利用天體運動中所蘊含的數(shù)學問題激發(fā)學生的學習興趣，使學生主動引入平面直角坐標系，用代數(shù)的方法思考幾何問題，以體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)，并通過把實際問題轉化為數(shù)學問題，體會數(shù)學知識的實際應用價值．

分析：求定點到橢圓上的任意點之間距離的最值問題，常用兩點間距離公式求解，通過消元將該問題轉化成二次函數(shù)的最值問題，用代數(shù)方法解決幾何問題．或者考慮F點的特殊性，利用橢圓的第二定義，將兩點間的距離問題轉化為橢圓上點到直線的距離問題，采用數(shù)形結合的方法加以解決．

當x=-a時，PFmax=a+c；

當x=a時，PFmin=a-c．

通過觀察圖形并結合運動的觀點(動橢圓上的點定直線或動直線定橢圓)得：

圖1

本題是研究焦點到橢圓上任意點的距離的最值問題，目的是引出解決此類最值問題的兩種基本方法，即函數(shù)法和定義轉化法．由上題的研究可以發(fā)現(xiàn)，橢圓的右頂點是到右焦點最近的點，其對應的位置在太陽系中稱為近日點；橢圓的左頂點是到右焦點最遠的點，其對應的位置在太陽系中稱為遠日點．教學中可引導學生思考：如果定點是長軸上除焦點外的其他點，這個結論成立嗎？由此進行下面的探究．

分析：用兩點間距離公式求解，通過消元將問題轉化成二次函數(shù)的最值問題．解題過程中需要關注目標函數(shù)的定義域．

當x=-2時，PM2max=9?PMmax=3．

教師再結合地球公轉問題，引導學生思考，如何計算地球距太陽表面的最近距離．通過回歸實際，從學生的直觀感知出發(fā)得到問題的解決方法，并揭示該問題的本質(zhì)，即橢圓上任意一點到圓上任意一點距離的最值．

圖2

分析：此題有兩個動點，考慮先確定一個，利用圓的性質(zhì)，可知PQmin=PMmin-r，再利用探究問題1的結論即可求得PQmin，則問題得到解決．這個變式是對探究問題1的強化，難點在于對兩個動點的處理．利用圓的性質(zhì)突破難點，這是化歸思想的具體應用．

解：設圓M的半徑為r，

由圓的性質(zhì)和題意，可知PQmin=PMmin-r．

在經(jīng)典問題的幾何法解題過程中，我們采用數(shù)形結合的方式研究了橢圓上的點到與x軸垂直的直線距離的最值問題，如果直線不垂直于x軸，應該怎樣解決？

分析：求橢圓上的點到直線距離的最值問題，可以利用點到直線距離公式構建二元目標函數(shù)，再用解決二元最值問題的基本方法來解決；或者借鑒解決經(jīng)典問題時動直線定橢圓的操作過程，得到平行于已知直線的直線與橢圓相切時切點到直線的距離最近，而最近距離等于切線到已知直線的距離．

解此類問題時，學生很容易想到代數(shù)法和幾何法這兩種解題途徑．大部分學生利用代數(shù)法解題時會在消元的時候遇到困難；而利用幾何法解題時，計算切點又過于復雜．因此可以組織學生進行分組討論，最后歸納總結：當目標函數(shù)不便于直接消元時，可以利用三角換元或者目標函數(shù)的幾何意義找到解題的突破口．求圓錐曲線上的點到某條直線距離的最值時，利用數(shù)形結合思想先求與已知直線平行的且與圓錐曲線相切的直線方程，再求兩平行線之間的距離可以避免煩瑣的計算．

在“一類與橢圓有關的最值問題”的課堂教學中，筆者運用了系統(tǒng)的方法分析教學問題，建立了解決問題的策略方案．這個過程的科學化運作是行為主義、建構主義等教學設計理論有機結合的結果．

行為主義認為學習是一種行為的變化，強調(diào)刺激、反應和強化．這種理論給教學設計的啟示是：(1)反應必須在刺激之后立即出現(xiàn)；(2)重復練習能加強學習和促進記憶；(3)與反應正確性有關的信息可以促進學習．本節(jié)課在完成例題的解答后，利用探究問題1及兩個變式，探究問題2和探究問題3不斷刺激，促使學生學習和反復操練，達到強化和鞏固的目的．

建構主義認為，學習者要真正獲取知識，是學習者在一定社會文化背景和情境下，利用必要的學習資源，通過與他人的協(xié)商、交流與合作，由本人進行意義建構而獲得的．建構主義強調(diào)創(chuàng)設情境，并使學習者進入情境；強調(diào)為學習者提供各種資源，讓學習者自主學習和探究；強調(diào)組織學習者之間進行協(xié)商學習．根據(jù)建構主義學習理論，教學設計必須體現(xiàn)的是：(1)強調(diào)“情境”的重要性；(2)強調(diào)以學生為中心；(3)強調(diào)“協(xié)作學習”的重要性．根據(jù)這種教學設計理論，本節(jié)課設置并圍繞太陽系行星公轉的情境，不斷提出問題，促使學生充分利用已有的知識體驗和生活經(jīng)驗進行獨立思考、分組討論和交流總結，努力實現(xiàn)課程改革中“以學生為本”的基本理念．

根據(jù)這兩種理論的結合，本節(jié)課利用多媒體課件輔助教學，直觀形象地展示了問題情境，圍繞情境不斷提出與橢圓有關的最值問題，層層遞進反復強化，始終貫徹以教師為主導，學生為主體，探究為主線，引導學生主動參與到課堂教學的全過程中．從教學效果上看，這種實踐是非常有益的．

(責任編輯：李珺)

① 本文系江蘇省中小學教學研究2013年度第十期立項課題《普通高中師生共建教學問題庫的實踐》(編號：2013JK10-L086，主持人：姜紅珍、胡福林)的研究成果之一．