国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

非合作博弈中擴張Nash均衡點的存在性

2016-10-27 06:26:23趙春香洪世煌劉花花
關(guān)鍵詞:集值局中人偏序

趙春香,洪世煌,劉花花

(杭州電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,浙江 杭州 310018)

?

非合作博弈中擴張Nash均衡點的存在性

趙春香,洪世煌,劉花花

(杭州電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,浙江 杭州 310018)

以不動點定理為主要研究工具,考慮非貨幣化非合作博弈中擴張Nash均衡點的存在性問題.首先引入一個不連續(xù)集值算子的不動點定理,然后將該不動點定理運用于非貨幣化非合作博弈,獲得了一個擴張Nash均衡點的存在性定理.由于該博弈模型中局中人的支付函數(shù)是不連續(xù)的,且支付函數(shù)值是向量值,因此所得的擴張Nash均衡點的存在性定理更具有普遍性和廣泛的應(yīng)用性.

偏序集;不動點;非貨幣化非合作博弈;擴張Nash均衡點

0 引 言

大多數(shù)博弈問題都假設(shè)支付函數(shù)定義在實數(shù)域上,即它的值域為實數(shù)集的子集[1-2].然而隨著博弈論的迅速發(fā)展和應(yīng)用,人們發(fā)現(xiàn),來自于現(xiàn)實生活中的許多博弈模型中,其局中人的支付函數(shù)并非是實值的.例如社會選擇博弈,投票博弈和軍事學(xué)中的某些博弈,其局中人的支付函數(shù)均為向量值.近些年,局中人的策略集是向量空間的子集且其支付函數(shù)定義在偏序集上的博弈,被稱為非貨幣化非合作博弈[3-5].對于Nash均衡的研究,不動點定理一直是相當(dāng)重要的數(shù)學(xué)工具.本文利用文獻(xiàn)[6]中關(guān)于不連續(xù)集值算子的不動點定理,考慮非貨幣化非合作博弈中的擴張Nash均衡問題.與文獻(xiàn)[5]相比,雖然本文的博弈模型需要具備一些拓?fù)浠虼鷶?shù)結(jié)構(gòu),但證明過程簡化,并且支付函數(shù)也不要求連續(xù).

1 預(yù)備知識

在偏序集(X,≥)中,子集A被稱作X中一條鏈,如果A中任意兩個元素可比較,也就是對任意的x,y∈A,有x≤y或y≤x.A被稱作一條可數(shù)鏈,如果A是一條鏈并且是可數(shù)的(簡記為c.c.).

對于給定的偏序集(X,≥X)和(U,≥U),稱映射F:X→2U{φ}是序上增的,如果對于x≤Xy∈X及z∈F(x),存在ω∈F(y)使得z≤Uω.映射F被稱作序下增的,如果對于x≤Xy∈X及ω∈F(y),存在z∈F(x)使得z≤Uω.如果F既是序上增的又是序下增的,那么稱F是序增的.偏序集(X,≥)被稱為歸納(逆歸納)的,如果X中任意鏈都有上界(下界).如果X既是歸納的又是逆歸納的,稱X為雙向歸納的.

定義1一個n人非貨幣化非合作博弈,簡記為Γ={N,S,P,U},包括以下元素:

1)n個局中人的集合N={1,2,…,n};

3)產(chǎn)出空間(U,d,≥U)是一個偏序度量空間;

4)n個支付函數(shù)的集合P={P1,P2,…,Pn},其中Pi是局中人i的支付函數(shù),它是從S1×S2×…×Sn到(U,d,≥U)的映射.

下面介紹兩個定理,它們將在下一章節(jié)的證明中起關(guān)鍵性作用.

定理1(Eberlein-Shmulian定理)[7]巴拿赫空間B是自反的,則B中有界集是弱緊的.

在文獻(xiàn)[6]中,由注釋3.3和推論3.4,可以直接得到推論3.10的一個推廣的不動點定理.

1){u0}≤Au0,{v0}≥Av0;

2)A是序增的且有非空弱閉值;

3)如果C={xn}?K是可數(shù)全序的,并且C?wcl({x1}∪A(C)),則C是弱相對緊的.

那么集值映射A在K上有極大和極小不動點.

2 主要結(jié)論

對任意的A,B∈,A≥B當(dāng)且僅當(dāng)A?B,A>B當(dāng)且僅當(dāng)A≥B且A≠B,則(,≥)為一偏序集.文獻(xiàn)[8]證明了任意鏈完備(即任意鏈都有上確界)偏序集都有一個極大元,為此有下述引理.

定理3Γ為一非貨幣化非合作博弈.假設(shè)Γ滿足如下條件:

(Ⅱ)存在函數(shù)φ:U→R使得對任意的u1,u2∈U,若有u1≤Uu2,則d(u1,u2)≤φ(u1)-φ(u2);

(Ⅲ)每一個局中人的支付函數(shù)Pi:S→U(i∈N)滿足以下條件:

(i)對任意的i∈N及x,y∈S,Pi(x)≤UPi(y)當(dāng)且僅當(dāng)x≤By;

(ii)Pi將無界集映成無界集;

(iii)對任意的x,y∈S且x≤By,如果Pi(ωi,y-i)是Pi(Si,y-i)的一個極大元,那么存在zi∈Si且zi≤iωi使得Pi(zi,x-i)是Pi(Si,x-i)的一個極大元.

則該博弈Γ有極大和極小擴張Nash均衡點.

定義集值映射T1,T2,…,Tn的積映射T:K→2S{φ}如下:T(x)=T1(x)×T2(x)×…×Tn(x),?x∈K.

顯然,對任意x∈K,T(x)?[μ0,μ0].則有T(K)?[μ0,μ0],這就意味著μ0≤BTμ0及μ0≥BTμ0成立.因此,T滿足定理2中假設(shè)1.

Pi(μ0)≤UPi(xk)≤UPi(μ0),?i∈N,?k∈N+.

(1)

(2)

3 結(jié)束語

均衡點的存在性問題是博弈論中重要內(nèi)容.對于支付函數(shù)值是實值的非合作博弈的Nash均衡點的存在性理論研究已經(jīng)比較成熟了,支付函數(shù)值是向量值的非合作博弈更值得深入研究.本文主要利用不動點定理為研究工具得出非貨幣化非合作博弈的擴張Nash均衡點的存在性.如何將定理條件進一步簡化,以及均衡點的穩(wěn)定性問題有待進一步深入研究.

[1]RENYPJ.OntheexistenceofpureandmixedstrategyNashequilibriaindiscontinuousgames[J].Econometrica,1999,67(5):1029-1056.

[2]MCLENNANA,MONTEIROPK,TOURKYR.Gameswithdiscontinuouspayoffs:astrengtheningofReny’sexistencetheorem[J].Econometrica,2011,79(5):1643-1664.

[3]LIJL.SeveralextensionsoftheAbian-BrownFixedPointTheoremandtheirapplicationstoextendedandgeneralizedNashequilibriaonchain-completeposets[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2014,409(2):1084-1092.

[4]LIJL,ParkS.GeneralizedNashequilibriaofnonmonetizednoncooperativegamesonlattices[J].BritishJournalofEconomics,Management&Trade,2014,4(1):97-110.

[5]XIELS,LIJL,WENCF.ApplicationsoffixedpointtheorytoextendedNashequilibriumsofnonmonetizednoncooperativegamesonposets[J].FixedPointTheoryandApplications,2013, 2013(2):746-746.

[6]HONGSH,QIUZY.Fixedpointsofdiscontinuousmultivaluedoperatorsinorderedspaceswithapplications[J].FixedPointTheoryandApplications,2010,11(2):395-400.

[7]時寶,王興平,蓋明久,等.泛函分析引論及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2006:123-127.

[8]DINESHN,JOSHIAK,LEEI,etal.ADefaultTemporalLogicforRegulatoryConformanceChecking[J].ADefaultTemporalLogicforRegulatoryConformanceChecking,2008.

[9]ZHAOCX,HONGSH,LICH.ExistenceofextendedNashequilibriumsofnonmonetizednoncooperativegames[J].FixedPointTheoryandApplications,2015,2015(1):65-73.

The Existence of Extended Nash Equilibriums of Nonmonetized Noncooperative Discontinuous Games

ZHAO Chunxiang, HONG Shihuang, LIU Huahua

(InstituteofAppliedMathematicsandEngineeringComputing,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In this paper we consider extended Nash equilibriums of the nonmonetized noncooperative game. We first introduce a fixed point theorem of discontinuous multivalued operators and then use it to establish an existence result of the extended Nash equilibriums. As each player’s payoff function is discontinuous and the outcome space is poset, the existence theorem of the extended Nash equilibriums is more universal and practical.

partially ordered set; fixed point; nonmonetized noncooperative game; extended Nash equilibrium

10.13954/j.cnki.hdu.2016.01.017

2015-05-22

國家自然科學(xué)基金資助項目(71471051)

趙春香(1990-),女,江蘇常州人,碩士研究生,博弈論與非線性分析.通信作者:洪世煌教授,E-mail:hongshh@hdu.edu.cn.

O225

A

1001-9146(2016)01-0086-04

猜你喜歡
集值局中人偏序
具有初邊值條件的集值脈沖微分方程的平均法
基于有限辛空間的一致偏序集和Leonard對
相對連續(xù)偏序集及其應(yīng)用
2×2型博弈決策均衡的歸一化解法
超對策模型中多形式結(jié)局偏好認(rèn)知信息融合的0—1規(guī)劃方法
上半連續(xù)集值函數(shù)的區(qū)間迭代
可消偏序半群的可消偏序擴張與商序同態(tài)
圖像面積有限的集值映射
具有失真認(rèn)知信息的兩層沖突環(huán)境建模與分析
偏序群S上S-偏序系的內(nèi)射包*
南召县| 鄂伦春自治旗| 宁南县| 香河县| 苗栗县| 理塘县| 全椒县| 连山| 江油市| 青阳县| 马龙县| 怀宁县| 镇平县| 辰溪县| 凤翔县| 石景山区| 锡林浩特市| 克拉玛依市| 南皮县| 郎溪县| 桂阳县| 镇沅| 桐乡市| 凉城县| 柏乡县| 陇西县| 沅江市| 太仆寺旗| 瓦房店市| 桃园县| 株洲县| 香港 | 通江县| 万州区| 万安县| 汕头市| 丰原市| 丰台区| 阜城县| 岢岚县| 乌兰浩特市|