鐘萬(wàn)勰

摘要： 用最小作用量變分原理來(lái)解釋保辛，對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng)、有限元法、結(jié)構(gòu)力學(xué)、最優(yōu)控制和動(dòng)力學(xué)計(jì)算等，可以通用的.

關(guān)鍵詞： 保辛； 最小作用量變分原理； 動(dòng)力系統(tǒng)

中圖分類號(hào)： O313文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Abstract： The symplecticity can be explained by the least action variational principle. It can be applied to the continuous or discreted transient system， finite element method， structural mechanics， optimum control， dynamical integration， and so on.

Key words： symplecticity； least action variational principle； dynamical system

作者本人出身于同濟(jì)大學(xué)土木專業(yè)，結(jié)構(gòu)力學(xué)是本行，對(duì)辛數(shù)學(xué)的研究是從結(jié)構(gòu)力學(xué)與最優(yōu)控制的模擬關(guān)系切入辛代數(shù)的.錢(qián)令希先生為著作《計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)與最優(yōu)控制》[3]作序時(shí)指出：“力學(xué)工作者應(yīng)首先虛心地汲取狀態(tài)空間法成功的經(jīng)驗(yàn)，重新認(rèn)識(shí)哈密爾頓體系理論的深刻意義，以及隨之而來(lái)的辛數(shù)學(xué)方法及其對(duì)應(yīng)用力學(xué)的應(yīng)用.”這表明錢(qián)先生的高瞻遠(yuǎn)矚——把方向走對(duì)特別重要.超級(jí)大國(guó)大講精確打擊、反導(dǎo)等，可見(jiàn)控制的重要性.動(dòng)力學(xué)不是結(jié)構(gòu)力學(xué)，文獻(xiàn)[4]就給出動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)的模擬關(guān)系.因此，結(jié)構(gòu)力學(xué)以及動(dòng)力學(xué)與控制可在同一套Hamilton體系的數(shù)學(xué)下予以處理，而Hamilton體系正是在動(dòng)力學(xué)范圍內(nèi)發(fā)展的.

數(shù)值求解若拘泥于差分格式，以至于提出“approximate symplectic algorithms cannot preserve energy for nonintegrable system”[5]的誤判，不行！

有限元法是先從結(jié)構(gòu)力學(xué)開(kāi)始的，效果很好，有大規(guī)模程序系統(tǒng)的支持，已經(jīng)成為工程師手中不可缺少的工具.問(wèn)題是有限元法的基礎(chǔ)正是變分原理，但這與動(dòng)力學(xué)的保辛又有何關(guān)系呢？別忘記，變分法正是從動(dòng)力學(xué)開(kāi)始發(fā)展的.

首先明確，保辛是對(duì)于近似解而言的.動(dòng)力學(xué)列出微分方程相對(duì)還容易掌握，而要予以分析求解，對(duì)一般問(wèn)題就非常困難.雖然許多大數(shù)學(xué)家成世紀(jì)地努力，也未能解決，于是只能尋求離散近似數(shù)值解.保辛是動(dòng)力學(xué)的概念，動(dòng)力學(xué)需要用初值條件，所以離散后成為傳遞辛矩陣；而結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法有限元的概念是對(duì)稱剛度陣.對(duì)稱矩陣可轉(zhuǎn)換到狀態(tài)向量的傳遞辛矩陣的形式[6].

離散后仍然有離散近似系統(tǒng)的區(qū)段（ta，tb）兩端狀態(tài)向量的傳遞矩陣.保辛的要求是：離散后其傳遞矩陣仍然是辛的，即仍然是兩端狀態(tài)向量的傳遞辛矩陣.保辛強(qiáng)調(diào)：傳遞辛矩陣相當(dāng)于其區(qū)段兩端位移的剛度陣是對(duì)稱的，因?qū)ΨQ剛度陣所對(duì)應(yīng)的傳遞矩陣一定是辛矩陣.離散后，有限元法插值提供對(duì)稱區(qū)段剛度矩陣，雖然不是精確的；對(duì)應(yīng)地，其傳遞矩陣卻一定是辛矩陣，當(dāng)然數(shù)值上也是近似的，但達(dá)到保辛.有限元法近似的效果早已被實(shí)踐證實(shí)，其實(shí)就是動(dòng)力學(xué)近似傳遞辛矩陣，兩方面是一致的，其效果當(dāng)然也是好的.然而，還有問(wèn)題：有限元法針對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)，而保辛針對(duì)動(dòng)力學(xué)，兩者是否一致呢？

以上只是從對(duì)稱矩陣與傳遞辛矩陣的變換角度解釋保辛.然而，文獻(xiàn)[6]還從幾何的角度講解了歐幾里得幾何以及辛的幾何、度量矩陣等.再說(shuō)，中國(guó)古代的大數(shù)學(xué)家祖沖之對(duì)于圓周率π計(jì)算的成就（中國(guó)古數(shù)學(xué)之根），也應(yīng)挖掘出來(lái)為今天所用，這就與幾何有關(guān)系了.所以，概念還得更深入些.

眾所周知，按照平面歐幾里得幾何，給定兩點(diǎn)qa與qb之間的短程線是其連接直線.古代數(shù)學(xué)家祖沖之的具體算法（稱為“綴術(shù)”）已經(jīng)失傳，但用了割圓法是肯定的.估計(jì)他用了歐幾里得幾何兩點(diǎn)qa與qb之間的短程線是其連接直線這一結(jié)果.

到了動(dòng)力學(xué)的狀態(tài)空間，情況當(dāng)然不同.然而，時(shí)間區(qū)段（ta，tb）兩端狀態(tài)點(diǎn)之間取短程線的概念與“動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間兩端Va與Vb間的短程線”相同，這就推廣到了動(dòng)力學(xué).用到DAE時(shí)可稱為祖沖之類算法.短程線的“程”其實(shí)就是時(shí)間區(qū)段作用量S；S的表達(dá)式有

（3）式（2）與（3）相同.事實(shí)上，Hamilton正則方程可從最小作用量原理式（3）推出.泛函式（2）的自變函數(shù)只有位移向量函數(shù)q；進(jìn)行Legendre變換，就從單純位移到Hamilton體系位移動(dòng)量狀態(tài)空間（q，p）的式（3）.最小作用量原理是將式（2）或（3）取最小，這也是變分原理的形式.于是有限元法的近似就可使用了，雖然是近似，但其誤差是時(shí)間區(qū)段長(zhǎng)度的高階小量，而有限元法得到的剛度陣一定對(duì)稱，也就是保辛.然而，辛群針對(duì)的是狀態(tài)空間.時(shí)間區(qū)段劃分得更密時(shí)，就更接近于真實(shí)解，所以說(shuō)保辛就可保證區(qū)段作用量最小.時(shí)間有限元就是在變分原理式（2）上做的，保辛的根據(jù)就是最小作用量變分原理.

既然是近似傳遞辛矩陣，仍不免有問(wèn)題.近似解（假的）對(duì)精確解（真的）總是有問(wèn)題的.Poisson提出，n維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)有n個(gè)首次積分（First integral）的解，其實(shí)就是系統(tǒng)的守恒量，例如能量守恒就是一個(gè)首次積分.n個(gè)首次積分難以全部求出分析解，其中只有m（m