顏秋林 蘇曉杰 龔駿

過(guò)去的幾十年中,對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)濾波問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的研究.不同于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波,對(duì)于輸入中包含未知干擾噪聲的系統(tǒng),H∞濾波應(yīng)用廣泛,例如在文獻(xiàn)[1?6]中.一方面,馬爾可夫跳變系統(tǒng)已經(jīng)成功地被用來(lái)模擬遇到突發(fā)環(huán)境干擾、器件故障或修復(fù)以及實(shí)際操作中突然發(fā)生變化的系統(tǒng).與此相關(guān)的研究成果能夠在相關(guān)文獻(xiàn)中查閱.文獻(xiàn)[7]中主要探討二階馬爾可夫跳變系統(tǒng)的廣義H2故障檢測(cè);輸出反饋控制馬爾可夫跳變重復(fù)標(biāo)量非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制在文獻(xiàn)[8]中被關(guān)注.文獻(xiàn)[9]研究了帶有時(shí)滯的馬爾可夫跳變系統(tǒng)的濾波.另一方面,廣義系統(tǒng)相較于常規(guī)系統(tǒng)能更好地描述物理系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性,因而它在電子電路、電力系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)和其他領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,過(guò)去的幾十年中對(duì)廣義系統(tǒng)已經(jīng)引起相當(dāng)?shù)年P(guān)注[10?11].此外模糊廣義系統(tǒng)的非脆弱保成本控制問(wèn)題在文獻(xiàn)[2]被研究,更多關(guān)于廣義系統(tǒng)的研究成果請(qǐng)參考文獻(xiàn).此外一些基本但重要的廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)成果被提出來(lái)在文獻(xiàn)[13?16].然而很少有結(jié)果旨在解決帶有時(shí)滯的廣義離散馬爾可夫跳變系統(tǒng).

本文目標(biāo)是考慮帶有時(shí)滯的廣義離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)的H∞濾波問(wèn)題.目的是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器以致濾波誤差系統(tǒng)是帶有H∞性能指標(biāo)的隨機(jī)可容許.首先用嚴(yán)格的線性矩陣不等式提出此問(wèn)題的可解性條件,然后基于此條件,當(dāng)轉(zhuǎn)移矩陣率全部已知的情況下,時(shí)滯依賴結(jié)果被提出.最后通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子來(lái)證明此方法的有效性.

1 問(wèn)題描述

考慮如下這類離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng):

其中,x(k)∈Rn是狀態(tài),y(k)∈Rs是測(cè)量輸出信號(hào),z(k)∈Rq是被估計(jì)的信號(hào),w(k)∈Rp是擾動(dòng)輸入并且滿足是未知的但滿足0≤的正整數(shù)常時(shí)滯,φ(k)是狀態(tài)的初始值函數(shù),{θ(k),k∈Z+}是一個(gè)離散的馬爾可夫鏈,它的取值是一個(gè)有限狀態(tài)集合S={1,2,...,N},首先假定系統(tǒng)整個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣都是已知的,并用Π=[πij]i,j∈S來(lái)表示,πij=pr(θ(k+1)=j|θ(k)=i)≥ 0,?i,j∈S,k∈Z+,表示從k時(shí)刻所處模態(tài)i轉(zhuǎn)移至k+1時(shí)刻所處模態(tài)j的概率,另外對(duì)任何i∈S的情況還滿足特性,矩陣E的秩是滿足rank(E)=r≤n的廣義矩陣,為書寫方便,矩陣A(θ(k)),Ad(θ(k)),Bw(θ(k)),C(θ(k)),Cd(θ(k)),Dw(θ(k)) 和L(θ(k)) 用A(k),Ad(k),Bw(k),C(k),Cd(k),Dw(k)和L(k)來(lái)表示,此外它們是已知的并具有合適維度的系統(tǒng)矩陣.

論文目的是為系統(tǒng)式(1)設(shè)計(jì)線性濾波器,其形式如下:

首先做如下定義:

根據(jù)定義可容易得到如下濾波誤差系統(tǒng):

其中:

在此先引入論文后續(xù)會(huì)用的定義和概念.

定義1.給定標(biāo)量>0,對(duì)于離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)如下所示:

①如果矩陣對(duì)(E,A(k)),(E,A(k)+Ad(k))對(duì)任意θ(k)∈S的情況,它們都是正則性和因果性的,那么系統(tǒng)式(4)在任何常時(shí)滯d滿足于0≤d≤d的條件下,都是正則性和因果性的;

②如果存在一個(gè)標(biāo)量 Γ(θ(0),?(·))以致滿足

③如果系統(tǒng)在任何θ(k)∈S的前提下,它既是正則性、因果性,同時(shí)又是隨機(jī)穩(wěn)定的,那么離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(4)是隨機(jī)可容許.

定義2.給定一個(gè)標(biāo)量γ>0,對(duì)于離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng),如果系統(tǒng)在w(k)≡0的情況下是隨機(jī)可容許,并且在零初始條件下對(duì)于任何非零的情況下都滿足那么系統(tǒng)是具有H∞性能γ隨機(jī)可容許.

文章要處理的H∞濾波問(wèn)題簡(jiǎn)單表述為:對(duì)于給定一個(gè)標(biāo)量γ>0和離散廣義時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(1),設(shè)計(jì)一個(gè)如式(2)的線性濾波器以致使濾波誤差系統(tǒng)式(3)是帶有H∞性能γ隨機(jī)可容許.

為書寫簡(jiǎn)單,后續(xù)的推導(dǎo)過(guò)程中,對(duì)于每一個(gè)可能的θ(k)=i,i∈S的取值,矩陣A(θ(k))用Ai來(lái)表示,其他情況參照.

引理1.對(duì)標(biāo)量d>0和任意對(duì)稱正定矩陣M∈Rn×n,下面不等式總是成立的.

相關(guān)文獻(xiàn)中給出了離散廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)隨機(jī)可容許的充要條件,它的系統(tǒng)模型如下:

引理2.如果存在對(duì)稱正定矩陣Pi和矩陣Si滿足下式

其中R∈Rn×(n?r)是任意列滿秩矩陣并滿足ETR=0,那么系統(tǒng)式(5)是隨機(jī)可容許.

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)中,離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波問(wèn)題將通過(guò)LMI工具來(lái)進(jìn)行研究,首先為系統(tǒng)提出下面時(shí)滯有界實(shí)引理,它在后面主要結(jié)果推導(dǎo)中將會(huì)扮演重要角色.

下面給出關(guān)于系統(tǒng)帶有H∞性能指標(biāo)γ隨機(jī)可容許的線性矩陣不等式形式的充分條件.為表達(dá)方便,先給出一些必要說(shuō)明:和

定理1.給定標(biāo)量>0和γ>0,如果存在對(duì)稱正定矩陣Pi>0,Q1i>0,Z>0,M>0和矩陣Qi,在任意i∈S的情況下,都滿足線性矩陣不等式(6)和式(7),那么對(duì)于離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(1)在任何常時(shí)滯d滿足0≤d≤的情況下是帶有H∞性能指標(biāo) γ隨機(jī)容許的.此外R∈ R(n?r)×(n?r)是任意列滿秩矩陣并且滿足ETR=0.

其中:

證明.首先根據(jù)定義1,第1步要證明離散廣義時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)的正則性和因果性.因?yàn)閞ank(E)=r≤n,所以這里必然存在非奇異矩陣M和N滿足下面的式子:

其中X∈ R(n?r)×(n?r)是任意非奇異矩陣,對(duì) Π11i<0分別前乘NT和后乘N,可得意味著A4i在i∈S情況下都是非奇異的,故矩陣對(duì)(E,Ai)是正則性和因果性的,根據(jù)Shcur補(bǔ)引理從可以得到由此得Π11i+Π12i+ΠT12i+Π22i<0,從而能夠得到式子:

根據(jù)引理2,式(8)證明了矩陣對(duì)(E,Ai+Adi)對(duì)任意i∈S是正則性和因果性的.從而根據(jù)定義1,系統(tǒng)在任意常時(shí)延d并滿足于0≤d≤情況下都是正則性和因果性的.

接著證明系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性,證明前,先給出必要的定義,s(k)=x(k+1)?x(k),現(xiàn)在為系統(tǒng)式(1)選取如下隨機(jī)李雅普諾夫函數(shù):

其中:

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)V(x(k),i)取差分,可以得到如下結(jié)果:

通過(guò)引理1,可以得到

注意:

然后從式(10)～式(16)可以得到

其中:

利用線性矩陣不等式(6)和式(7),能夠容易得到?V(x(k),i)≤0,因此,存在一個(gè)標(biāo)量γ>0對(duì)任意i∈S都有?V(x(k),θ(k))≤γkx(k)k2,因而通過(guò)Dynkin公式,能得到對(duì)于任何k≥0都有ε{V(x(k),i)}?進(jìn)而通過(guò)對(duì)其變形可以容易地得到下式考慮定義 1,系統(tǒng)式 (1)在w(k) ≡ 0的情況下對(duì)任意常時(shí)滯d滿足于0≤d≤都是隨機(jī)穩(wěn)定的.

接下來(lái)將為系統(tǒng)式(1)建立起H∞性能指標(biāo)γ,為了完成這一目的,再次思考上面所選的隨機(jī)李雅普諾夫函數(shù)式(9)以及如下性能指標(biāo)

在零初始條件下,可以容易得到

其中:

因此,通過(guò)Schur補(bǔ)引理,從式(6)和式(7)可以得到對(duì)所有的k≥0,Jzw(k)≤0是成立的.因此,證明完成.

到現(xiàn)在為止已經(jīng)處理離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波問(wèn)題,接下來(lái)應(yīng)用定理1到濾波誤差系統(tǒng)中,可以得到如果存在對(duì)稱正定矩陣Pi,Q1i,Z,M和矩陣Qi對(duì)任意i∈S都滿足線性矩陣不等式(17)和式(18),那么濾波誤差系統(tǒng)對(duì)于任意滿足0≤d≤的常時(shí)滯d都是帶有H∞性能指標(biāo)γ的隨機(jī)可容許.另外任意列滿秩矩陣R∈R2n×2(n?r)并滿足R=0.

其中:

很容易地可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意i∈S

其中:

式中,?i<0意味著Ψi<0.取Ψi和線性矩陣不等式(18)中的矩陣如下:

現(xiàn)在,假定o→0,同時(shí)定義A=YAf,B=YBf和C=Cf.進(jìn)而可以很容易地得到系統(tǒng)時(shí)滯依賴的帶有H∞性能指標(biāo)γ隨機(jī)可容許條件.

定理2.對(duì)于給定標(biāo)量和γ,如果存在對(duì)稱正定矩陣和矩陣Q1i,Q2i,Q3i,Q4i,Y1i,Y2i,對(duì)于任何i∈S都滿足線性矩陣不等式(19)和式(20),那么離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(3)在滿足0≤d≤d的任意常時(shí)滯情況下都是帶有H∞性能指標(biāo)γ隨機(jī)可容許.另外任意列滿秩矩陣并滿足

此時(shí)所期望的濾波器參數(shù)為:

到此為止,期望的線性濾波器理論推導(dǎo)已經(jīng)完成,下面通過(guò)數(shù)值例子來(lái)仿真,進(jìn)一步驗(yàn)證所得到結(jié)論的正確性.

3 仿真結(jié)果

在這部分中,通過(guò)選取一個(gè)數(shù)據(jù)例子用來(lái)驗(yàn)證上一小節(jié)中所提出的結(jié)論.現(xiàn)在考慮帶有兩個(gè)模態(tài)的離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng),即S={1,2},系統(tǒng)矩陣參數(shù)可以描述為如下:

模態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率矩陣π和系統(tǒng)廣義矩陣E分別取值為

應(yīng)用定理2,能夠獲得期望濾波器參數(shù)為:

關(guān)于期望濾波器為一種可能的馬爾可夫跳變模態(tài)在圖1中所示,其中初始模態(tài)假設(shè)為θ(0)=1和時(shí)滯d=1.圖2是擾動(dòng)輸入為w(k)=sin(k)e?0.1k以及初始狀態(tài)為的情況下所期望的濾波器狀態(tài)曲線,誤差估計(jì)信號(hào)在圖3中所示.

4 結(jié)論

論文主要研究離散廣義常時(shí)滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波問(wèn)題,使用線性矩陣不等式方法,所得條件用嚴(yán)格線性矩陣不等式組形式表達(dá),這樣便于利用標(biāo)準(zhǔn)工具軟件進(jìn)行求解,所期望的線性濾波器的求解條件是時(shí)滯依賴的.最后通過(guò)選取一個(gè)數(shù)值例子進(jìn)行仿真,進(jìn)一步驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性.

圖1 系統(tǒng)模態(tài)

圖2 濾波器狀態(tài)

圖3 估計(jì)誤差