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也談運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)

2016-11-01 14:19唐良生
關(guān)鍵詞:邊角余弦定理正弦

本刊2014年第11期發(fā)表了施元蘭老師的文章“運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)”,[1]施老師對(duì)文中例3:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,則c的值是.給出了以下的解法1和解法2.

解法1:由正弦定理可求得cosB=35,然后求出sinB=45,sinA=2sinBcosB=2425,cosA=2cos2B-1=-725,所以sinC=sin(A+B),sinAcosB+cosAsinB=44125,再由正弦定理可求得c=115.

解法2:由正弦定理可求得cosB=35,再由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得52=62+c2-2×6×c×35,5c2-36c+55=0,解得c=5,或c=115.當(dāng)c=5時(shí),b=5,故c=b,又因?yàn)锳=2B,所以2B+B+B=π,即B=π4,這與cosB=35矛盾,故c=5不合題意,舍去,所以c=115.

施老師在文章末說:由此例可知,“已知a,b和角B,常常可對(duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,若該方程無實(shí)數(shù)解或只有負(fù)數(shù)解,則該三角形無解;若該方程只有一個(gè)正數(shù)解,則該三角形有一解;若該方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解,則該三角形有兩解,”這樣的觀念是錯(cuò)誤的,即使該方程有兩個(gè)正根,三角形也不一定有兩解,還應(yīng)該結(jié)合條件,利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn),以防增根混入.

實(shí)際上,邊邊角問題用余弦定理求解是完全正確的,也不會(huì)有增根混入,進(jìn)而也用不著進(jìn)行檢驗(yàn).鑒于筆者在教學(xué)中多次遇到過類似的問題,與學(xué)生交流時(shí),發(fā)現(xiàn)學(xué)生根本沒有過多思考,只是記住了要檢驗(yàn).又與其他數(shù)學(xué)老師交流,幾乎所有的教師都承認(rèn)對(duì)該類題沒有深究.因此,對(duì)這類看似很簡(jiǎn)單的問題作些探究,有利于透徹理解問題的本質(zhì),有利于改進(jìn)今后的教學(xué).下面從三個(gè)方面作點(diǎn)探究,請(qǐng)指正.

1文中例3的題設(shè)不是邊邊角問題

參考文獻(xiàn)

[1]施元蘭.運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2014(11):60-61

作者簡(jiǎn)介唐良生,男,1963年生,湖南寧遠(yuǎn)人,中學(xué)高級(jí)教師,主要研究方向是課堂教學(xué)與解題研究.獲《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》解題競(jìng)賽一等獎(jiǎng),發(fā)表論文20多篇,還有近20篇論文獲省市一,二等獎(jiǎng).

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