秦國(guó)領(lǐng)，鄭 森，王 康，李梓博

一種基于正交匹配追蹤的壓縮感知信號(hào)檢測(cè)算法*

秦國(guó)領(lǐng)**1，鄭 森1，王 康2，李梓博3

（1.酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，甘肅酒泉 732750；2.西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，四川西昌 615000；3.解放軍63778部隊(duì)，黑龍江佳木斯 154002）

針對(duì)當(dāng)前壓縮感知信號(hào)檢測(cè)算法沒(méi)有充分利用稀疏系數(shù)幅值信息的不足，提出了一種新的檢測(cè)算法。從正交匹配追蹤算法切入，通過(guò)深入分析歸一化殘差的變化信息，提出歸一化余差概念，建立了一種基于歸一化殘差和歸一化余差二維判決的信號(hào)檢測(cè)算法。仿真結(jié)果表明，算法的有效檢測(cè)閾值區(qū)間隨著信噪比的降低而不斷減小，且在信噪比為-8 dB、壓縮比為0.25時(shí)，該算法的檢測(cè)概率仍能滿(mǎn)足要求，具備較好的適應(yīng)性。

壓縮感知；信號(hào)檢測(cè)；正交匹配追蹤；特征量

1　引 言

Nyquist采樣定理規(guī)定只有采樣頻率大于或等于2倍信號(hào)帶寬時(shí)才能避免信號(hào)頻譜的混疊，這無(wú)疑對(duì)信息采樣、傳輸和處理挑戰(zhàn)很大。壓縮感知［1］，又稱(chēng)“壓縮傳感”，是一種有別于Nyquist采樣定理的采樣方法。該理論指出［2］：如果信號(hào)在某變換域是稀疏的或可壓縮的，則可利用線(xiàn)性非自適應(yīng)運(yùn)算將信號(hào)轉(zhuǎn)化為低維觀(guān)測(cè)向量，并通過(guò)求解稀疏最優(yōu)化問(wèn)題將原始信號(hào)高概率的精確重建，這將有力緩解海量數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)處理的壓力。

當(dāng)前，信號(hào)和圖像的重構(gòu)及其相關(guān)問(wèn)題是壓縮感知研究的重點(diǎn)內(nèi)容［3-4］。但對(duì)于只需從采樣數(shù)據(jù)中提取某些特征信息的壓縮感知信號(hào)，精確重構(gòu)信號(hào)既不經(jīng)濟(jì)也不必要。如信號(hào)檢測(cè)，其重點(diǎn)在于檢測(cè)目標(biāo)信息而不是實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)。文獻(xiàn)［5］論證了基于壓縮感知的信號(hào)檢測(cè)無(wú)需信號(hào)重構(gòu)便可實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)。文獻(xiàn)［6］提出一種基于匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）的信號(hào)檢測(cè)算法，通過(guò)從壓縮感知信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)中提取特征值，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)檢測(cè)。文獻(xiàn)［7］針對(duì)MP算法特征量波動(dòng)量大的不足提出一種正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）檢測(cè)算法，有效改善了特征量的波動(dòng)。文獻(xiàn)［8］利用歸一化殘差作為特征信息，提出了一種基于歸一化殘差的OMP算法，在維持OMP算法檢測(cè)性能的同時(shí)有效降低了OMP算法的運(yùn)算量。然而，文獻(xiàn)［7-8］算法在低信噪比下的檢測(cè)性能不能滿(mǎn)足指標(biāo)要求。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文提出一種歸一化殘差和歸一化余差相結(jié)合的信號(hào)檢測(cè)算法。仿真結(jié)果表明，該算法在相同信噪比下，檢測(cè)概率高；相同檢測(cè)概率下，所需的采樣點(diǎn)數(shù)少。

2　基于歸一化殘差的壓縮感知信號(hào)檢測(cè)算法

2.1壓縮感知理論

壓縮感知理論主要涉及稀疏分解、壓縮測(cè)量和信號(hào)重構(gòu)3個(gè)方面的內(nèi)容。設(shè)信號(hào)x∈ RRN×1為N×1維的離散序列，ΨT=［φ1，φ2，…，φm，…，φN］為 RRN空間N×N維的基矩陣，信號(hào)x可表示為［9］

式中：Ψ為稀疏基矩陣；θ為系數(shù)向量，且ΨΨT=I，θk=〈x，Ψk〉。若θ是K稀疏的，則可構(gòu)建一個(gè)與稀疏基Ψ不相關(guān)的測(cè)量矩陣Φ，實(shí)現(xiàn)信號(hào)x的降維觀(guān)測(cè)［10］：

式中：y為壓縮測(cè)量值；Φ為測(cè)量矩陣；M/N為壓縮比，且M<

為了確保y值能夠精確重構(gòu)信號(hào)x，ΘM×N需要滿(mǎn)足約束等距性，即

最終利用1-范數(shù)可獲得信號(hào)x的最優(yōu)解為

2.2信號(hào)檢測(cè)原理

信號(hào)檢測(cè)主要是為了區(qū)分兩種情況：

式中：s為目標(biāo)信號(hào)；n為噪聲。

由于目標(biāo)信號(hào)具備稀疏性，而高斯白噪聲不具備稀疏性，因此檢測(cè)問(wèn)題又可以描述為下面兩種情況：

式中：Ψs為s對(duì)應(yīng)的稀疏基。

由式（6）可知，檢測(cè)信號(hào)是否存在可通過(guò)判斷θs是否存在來(lái)區(qū)別，即

然而，直接利用特征值θs是否為0進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)可能會(huì)受到噪聲因素的影響，因此常將θs通過(guò)與設(shè)定的門(mén)限閾值進(jìn)行比較，實(shí)現(xiàn)信號(hào)有無(wú)的判斷。

2.3基于歸一化殘差的信號(hào)檢測(cè)算法

文獻(xiàn)［8］通過(guò)一次迭代提取歸一化殘差信息，并與門(mén)限閾值進(jìn)行比較，實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)。該算法的具體描述如下：

（1）初始化 初始?xì)埐顁_n=y，變量矩陣Aug_t=［］賦空；

（2）確定內(nèi)積最大值 殘差r_n與Θ的所有列向量Θi分別求內(nèi)積，確定內(nèi)積最大值，即nt= argmaxj=1，2，…，N|

（3）更新變量矩陣 對(duì)應(yīng)更新變量矩陣Aug_t=［Aug_t，Θnt］，并對(duì)nt的對(duì)應(yīng)列Θnt賦空；

（4）計(jì)算稀疏系數(shù) 利用最小二乘方法計(jì)算稀疏系數(shù)λ=（Aug_tT*Aug_t）-1*Aug_tT*y；

（5）確定估計(jì)值 通過(guò)稀疏系數(shù)以及變量矩陣確定本次估計(jì)值：r=Aug_t*λ；

（6）更新殘差 計(jì)算新的殘差r_n=y-r；

（7）歸一化殘差 計(jì)算歸一化殘差值η=‖r_n‖2/‖y‖2；

（8）信號(hào)檢測(cè)判別 如果歸一化殘差小于閾值，即η<σ，則選擇H1，否則選擇H0。

3　基于改進(jìn)歸一化殘差的信號(hào)檢測(cè)算法

3.1改進(jìn)算法分析

歸一化殘差定義為信號(hào)重構(gòu)時(shí)每次迭代后剩余能量與總能量的比值：

設(shè)信號(hào)x是離散序列，Ω=［Ω1，Ω2，…，Ωi，…，ΩN］T是空間N×N維的稀疏基，Γ=［Γ1，Γ2，…，Γi，…，ΓN］是與Ω不相關(guān)的測(cè)量矩陣，且‖Γi‖2=1，y為相應(yīng)的壓縮測(cè)量值，存在

式中：a為系數(shù)向量，ai=〈x，Ωi〉。

確定向量a中絕對(duì)值最大的元素及其相應(yīng)位置：

式中：max（x）為取向量x中最大的元素；abs（x）為對(duì)向量x的每個(gè)元素求絕對(duì)值；location（v）為取元素v在相應(yīng)向量中的位置。

首次迭代后的歸一化殘差為

由式（12）可知，歸一化殘差是通過(guò)對(duì)稀疏系數(shù)幅值平方運(yùn)算后的線(xiàn)性計(jì)算得到，考慮到因素k的存在，歸一化殘差的斜率變化較小，因此歸一化殘差能夠克服稀疏系數(shù)幅值波動(dòng)大的不足。但是，歸一化殘差是基于迭代的最大稀疏投影系數(shù)得到，本質(zhì)上是OMP算法的改進(jìn)，缺乏信號(hào)能量信息的充分挖掘。

本文通過(guò)引入歸一化余差概念來(lái)提高檢測(cè)效果。歸一化余差定義為連續(xù)二次殘差能量的變化與總能量的比值：

設(shè)u和L2是向量a中絕對(duì)值第二大的元素及其對(duì)應(yīng)的位置，則首次和二次迭代確定的歸一化余差為

由于目標(biāo)信號(hào)和噪聲在稀疏基上的稀疏性不同，因此信號(hào)和噪聲迭代計(jì)算時(shí)稀疏系數(shù)的大小不同。如果稀疏基是基于目標(biāo)信號(hào)構(gòu)造的，當(dāng)目標(biāo)信號(hào)存在時(shí)，由于稀疏基中存在目標(biāo)信號(hào)，首次迭代和二次迭代產(chǎn)生的稀疏投影系數(shù)差別很大，歸一化余差和歸一化殘差之和遠(yuǎn)小于1；當(dāng)只有噪聲存在時(shí)，考慮到噪聲對(duì)于稀疏基的非稀疏性，首次迭代和二次迭代產(chǎn)生的稀疏投影系數(shù)差別較小。因此，歸一化余差和歸一化殘差之和接近1。

通過(guò)分析可知，歸一化殘差和歸一化余差顯示了迭代殘留能量的變化規(guī)律，且目標(biāo)信號(hào)存在與否時(shí)歸一化殘差與歸一化余差之和與1的關(guān)系變化很大。因此，可利用歸一化殘差與歸一化余差的數(shù)值關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的檢測(cè)。

3.2改進(jìn)算法流程

通過(guò)前文分析，可確定改進(jìn)算法的檢測(cè)流程如圖1所示。改進(jìn)算法與歸一化殘差算法的主要區(qū)別：一是首次歸一化余差是基于第一次和第二次迭代運(yùn)算獲得的，因此算法一共需要進(jìn)行兩次迭代；二是算法的判決門(mén)限增加，由基于歸一化殘差的一維判決轉(zhuǎn)化為基于歸一化殘差和歸一化余差相結(jié)合二維判決。

圖1　改進(jìn)算法的信號(hào)檢測(cè)流程圖Fig.1　The signal detection flowchart of improved algorithm

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)選擇雷達(dá)領(lǐng)域常用的單分量線(xiàn)性調(diào)頻（Linear Frequence Modulation，LFM）信號(hào)為目標(biāo)信號(hào)，假定混頻后載波頻率為25 MHz，調(diào)頻斜率為75 MHz/μs，采樣頻率fs=250 MHz，脈寬T=2 μs，采用構(gòu)建的波形匹配稀疏基，初始頻率搜索范圍為1～50 MHz，搜索步長(zhǎng)為1 MHz，調(diào)頻斜率搜索范圍設(shè)定為51～100 MHz/μs，搜索步長(zhǎng)為1 MHz/μs，在構(gòu)建原子字典中原子數(shù)目共2 500個(gè)，基于Nyquist采樣定理的采樣點(diǎn)數(shù)為N=512；在實(shí)驗(yàn)中，先驗(yàn)概率P（H0）=P（H1）=0.5，為提高統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確度，將檢測(cè)概率定義為1 000次檢測(cè)對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果；同文獻(xiàn)［7］規(guī)定，只有當(dāng)檢測(cè)概率大于0.95時(shí)，檢測(cè)才有意義。

4.1歸一化殘差和歸一化余差與迭代次數(shù)的數(shù)值關(guān)系

參數(shù)方面，觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)為M=N/4，在SNR=10 dB、SNR=5 dB、SNR=0 dB和SNR=-5 dB 4種典型情況下，目標(biāo)信號(hào)存在和不存在時(shí)，歸一化殘差和歸一化余差與迭代次數(shù)的變化曲線(xiàn)如圖2和圖3所示。

圖2　歸一化殘差與迭代次數(shù)的變化關(guān)系Fig.2　The relation between normailized residual and iterative number

圖3　歸一化余差與迭代次數(shù)的變化關(guān)系Fig.3　The relation between normailized remainder and iterative number

通過(guò)分析圖2和圖3可知：

（1）當(dāng)目標(biāo)信號(hào)不存在時(shí)，首次迭代的歸一化殘差遠(yuǎn)大于目標(biāo)信號(hào)存在時(shí)的歸一化殘差，且SNR越大，歸一化殘差越小，即使低信噪比下（SNR= -5 dB）首次迭代的歸一化殘差仍小于0.75；

（2）目標(biāo)信號(hào)存在時(shí)首次迭代的歸一化余差遠(yuǎn)大于目標(biāo)信號(hào)不存在時(shí)的歸一化余差，且SNR越大，歸一化余差越小，低信噪比下（SNR=-5 dB）歸一化余差仍小于0.028；

（3）目標(biāo)信號(hào)存在時(shí)的首次歸一化殘差與首次歸一化余差之和小于0.76，且信噪比越大，歸一化殘差與歸一化余差之和越??；

（4）當(dāng)只有噪聲存在時(shí)的首次歸一化殘差與首次歸一化余差之和大于0.95。因此，對(duì)于信號(hào)檢測(cè)可綜合利用歸一化殘差與歸一化余差的數(shù)值關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)。

4.2判決閾值對(duì)改進(jìn)算法檢測(cè)性能的影響分析

參數(shù)方面，觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)為M=N/4，采用SNR= 10 dB、SNR=5 dB、SNR=0 dB和SNR=-5 dB 4種典型信噪比。采用文獻(xiàn)［8］提供的歸一化殘差最優(yōu)閾值η=0.9，進(jìn)一步分析圖2和圖3中目標(biāo)信號(hào)存在時(shí)首次歸一化余差的變量區(qū)間與首次歸一化殘差和歸一化余差之和的變量區(qū)間可知，歸一化余差的閾值區(qū)間可選為［0：0.001：0.04］，歸一化殘差和歸一化余差之和的閾值區(qū)間可選為［0.6：0.01：1］，統(tǒng)計(jì)得到檢測(cè)概率與判決閾值的變化曲線(xiàn)如圖4所示。通過(guò)分析圖4可知：

（1）在SNR=10 dB時(shí)，首次歸一化余差的有效閾值區(qū)間為［0，0.028］，首次歸一化殘差和歸一化余差之和的有效閾值區(qū)間為［0.6，1］；

（2）在SNR=5 dB時(shí)，歸一化余差的有效閾值區(qū)間為［0，0.026］，歸一化殘差和歸一化余差之和的有效閾值區(qū)間為［0.6，1］；

（3）在SNR=0 dB時(shí)，歸一化余差的有效閾值區(qū)間為［0，0.026］，歸一化殘差和歸一化余差之和的有效閾值區(qū)間為［0.84，0.96］；

（4）在SNR=-5 dB時(shí)，歸一化余差的有效閾值區(qū)間為［0，0.02］，歸一化殘差和歸一化余差之和的有效閾值區(qū)間為［0.91，0.94］。

可見(jiàn)，改進(jìn)算法的有效閾值區(qū)間隨著信噪比的降低而減小。

圖4　典型SNR下改進(jìn)算法檢測(cè)性能與閾值變化的關(guān)系Fig.4　The relation between detection performance of improved algorithm and threshold in typical SNR

4.3觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)對(duì)3種算法的性能影響分析

參數(shù)方面，信噪比SNR=0 dB，觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)M遍歷范圍為［0：2：40］。仿真分析改進(jìn)算法與文獻(xiàn)［7-8］所選算法的性能，最優(yōu)判決閾值基于Monte Carlo方法選取，統(tǒng)計(jì)得到3種算法在不同觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)下的檢測(cè)性能情況如圖5所示。

圖5　不同觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)下3種算法性能Fig.5　The performance of three algorithms in different observation points

由圖5可知，在最優(yōu)閾值下，與另外兩種檢測(cè)算法相比，改進(jìn)的歸一化殘差算法用較少的采樣點(diǎn)數(shù)便可實(shí)現(xiàn)較高的檢測(cè)概率，有效減少了系統(tǒng)的采樣成本。此外，3種檢測(cè)算法在有效閾值下獲得滿(mǎn)足檢測(cè)概率指標(biāo)要求所需的最少采樣點(diǎn)數(shù)，分別為30、30和24，進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)算法相比于另外兩種算法性能上的優(yōu)越性。

4.4信噪比變化對(duì)3種算法的性能影響分析

參數(shù)方面，觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)為M=N/4，信噪比遍歷范圍為［-15：1：15］dB。仿真分析改進(jìn)算法與文獻(xiàn)［7 -8］所選算法的性能，最優(yōu)判決閾值基于Monte Carlo方法選取，統(tǒng)計(jì)得到3種算法在不同信噪比下的檢測(cè)性能情況如圖6所示。

圖6　不同信噪比下3種算法性能Fig.6　The performance of three algorithms in different SNR

由圖6可知：改進(jìn)的歸一化殘差算法的檢測(cè)性能明顯優(yōu)于另外兩種算法；當(dāng)信噪比較高時(shí)，3種算法的檢測(cè)性能相似；在低信噪比下，如當(dāng)信噪比為-8 dB時(shí)，3種算法的檢測(cè)概率依次為0.807、0.934、0.984，只有改進(jìn)算法能夠滿(mǎn)足指標(biāo)要求，驗(yàn)證了該算法在低信噪比下的檢測(cè)性能更好。

從運(yùn)算量上來(lái)分析，OMP算法的運(yùn)算復(fù)雜度主要體現(xiàn)在步驟2的最大投影系數(shù)搜索，運(yùn)算復(fù)雜度的數(shù)學(xué)表示為O（MN），其中M和N分別代表壓縮觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)與冗余字典原子數(shù)目；文獻(xiàn)［8］算法是基于OMP算法確定歸一化殘差，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)，運(yùn)算復(fù)雜度的數(shù)學(xué)表示為O（MN）；本文提出的改進(jìn)算法是文獻(xiàn)［8］算法的拓展，是基于兩次迭代運(yùn)算來(lái)進(jìn)行檢測(cè)判定，運(yùn)算復(fù)雜度與其相當(dāng)，因此改進(jìn)算法的性能提高并沒(méi)有引起復(fù)雜度的量級(jí)增加。

5　結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析基于壓縮感知的信號(hào)檢測(cè)算法，針對(duì)OMP歸一化殘差算法沒(méi)有充分利用殘差能量信息的不足，提出了一種基于歸一化殘差和歸一化余差相結(jié)合的信號(hào)檢測(cè)算法。算法充分挖掘歸一化殘差特點(diǎn)，檢測(cè)效果得到一定提高。仿真結(jié)果表明，算法可以在低信噪比（SNR≈-8 dB）和少采樣點(diǎn)（M/N≈0.25）下高概率地檢測(cè)目標(biāo)信號(hào)。對(duì)于其他壓縮感知信號(hào)，只要針對(duì)性的選擇合適的稀疏基，本文算法仍具有適用性，這也是筆者下一步的研究方向。

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HUANG Ling.A TT&C signal processing method based on compressed sensing［J］.Telecommunication Engineering，2014，54（5）：578-583.（in Chinese）

秦國(guó)領(lǐng)（1990—），男，河南周口人，2014年于裝備學(xué)院獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師，主要研究方向?yàn)楹教鞙y(cè)控、信號(hào)處理和效能評(píng)估；

QIN Guoling was born in Zhoukou，Henan Province，in 1990.He received the M.S.degree from The Academy of Equipment in 2014.He is now an engineer.His research concerns aerospace TT&C，signal processing，and effectiveness evaluation.

Email：qinguoling@outlook.com

鄭 森（1987—），男，山東德州人，助理工程師，主要研究方向?yàn)楹教鞙y(cè)控和現(xiàn)代信號(hào)處理；

ZHENG Sen was born in Dezhou，Shandong Province，in 1987.He is now an assistant engineer.His research concerns aerospace TT&C and modern signal processing.

王 康（1989—），男，陜西渭南人，助理工程師，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理和壓縮感知；

WANG Kang was born in Weinan，Shaanxi Province，in 1989.He is now an assistant engineer.His research concerns signal processing and compressed sensing.

李梓博（1991—），男，湖南郴州人，助理工程師，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理和壓縮感知；

LI Zibo was born in Chenzhou，Hunan Province，in 1991. He is now an assistant engineer.His research concerns signal processing and compressed sensing.

A Compressed Sensing Signal Detection Algorithm Based on Orthogonal Matching Pursuit

QIN Guoling1，ZHENG Sen1，WANG Kang2，LI Zibo3
（1.Jiuquan Satellite Launch Center，Jiuquan 732750，China；2.Xichang Satellite Launch Center，Xichang 615000，China；3.Unit 63778 of PLA，Jiamusi 154002，China）

Considering that current signal detection based on compressed sensing does not effectively use amplitude information of sparse coefficient，this paper proposes a new method.Based on the orthogonal matching pursuit（OMP）algorithm，the concept of normalized residual is presented through analyzing transformation information of normalized residual.A two-dimensional（2D）signal detection algorithm is proposed in view of normalized residual and normalized remainder.Experiment results show that the effective threshold decreases continuously with the loss of signal-to-noise ratio（SNR），and the detection probability meets requirement under the condition of-8 dB SNR and 0.25 compression ratio.The algorithm possesses a good adaptability.

compressed sensing；signal detection；orthogonal matching pursuit；characteristic quantity

**通信作者:qinguoling@outlook.com :qinguoling@outlook.com

TN914.4

A

1001-893X（2016）08-0856-06

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.08.005

2016-01-22；

2016-05-11

date:2016-01-22；Revised date:2016-05-11

引用格式:秦國(guó)領(lǐng)，鄭森，王康，等.一種基于正交匹配追蹤的壓縮感知信號(hào)檢測(cè)算法［J］.電訊技術(shù)，2016，56（8）：856-861.［QIN Guoling，ZHENG Sen，WANG Kang，et al.A compressed sensing signal detection algorithm based on orthogonal matching pursuit［J］.Telecommunication Engineering，2016，56（8）：856-861.］