龍德浩，陳志清

基于內(nèi)積運算和正交矩陣的并行擴頻傳輸新方案*

龍德浩**1，陳志清2

（1.四川大學(xué)，成都 610064；2.成都大學(xué)，成都 610106）

為了提高并行解擴的頻譜效率和功率效率，提出了以內(nèi)積運算為數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，以線性算子擴頻、結(jié)合律并行擴頻傳輸、分配律并行解擴為特征的IOR并行擴頻傳輸方案，較經(jīng)典并行擴頻相關(guān)解擴和經(jīng)典并行擴頻匹配濾波解擴的頻譜效率和功率效率分別提高了2 096 128倍和1 048 576倍。在8×randn（1，length（b））干擾下，并行擴頻傳輸64比特，其100 000次大樣本檢驗結(jié)果表明統(tǒng)計平均誤碼率和標準差分別為0.000 0和0.000 7。

移動通信；并行擴頻傳輸；分組擴頻傳輸；內(nèi)積運算；正交矩陣；頻譜效率；功率效率

2　IOR方案并行擴頻與解擴方法

2.1理論根據(jù)

2.1.1Welch表達式

式中：xμ、xλ分別是矩陣c=（xij）M×L（i=1，2，…，M；j=1，2，…，L）的行μ與行λ的乘積。實質(zhì)上，也是矢量代數(shù)定義下的“內(nèi)積”。因此，如果c是任何“±1”正交矩陣（下同）?δ0=0，自同行pa=1，且定理1成立。

定理1 （1）任何正交矩陣的不同兩行的內(nèi)積皆等于零，（自）相同兩行的內(nèi)積均等于1；

（2）（異地而存的）任何兩個相同正交矩陣的不同兩行的內(nèi)積皆等于零，相同兩行的內(nèi)積均等于1。

這兩個結(jié)論本質(zhì)上是用內(nèi)積（數(shù)學(xué)）語言描述正交矩陣的物理結(jié)構(gòu)特征，以便相關(guān)學(xué)科引用，并參與有關(guān)的數(shù)學(xué)運算，為內(nèi)積運算與“±1”正交矩陣的工程應(yīng)用奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。至于定理1的第2條，顯然特別適合異地（例如收/發(fā)兩端）而用的并行擴頻傳輸±1比特的有關(guān)課題。

2.1.2與本文有關(guān)的內(nèi)積運算的基本定律

交換律：

結(jié)合律與分配律：

式中：a、b和c都是元素為±1的同長度的矢量；r是實數(shù)，標量。

2.1.3關(guān)于內(nèi)積與正交矩陣的重要推論

定理2 假設(shè)a（1：m，：）是元素為“±1”的正交矩陣，且m為大于等于32的正整數(shù)；

式中：a（i）為a（i，：），i=1，2，3，…，m；b是由正交矩陣a按其行、線性迭加而成的總矢量。則

（1）證明1（直觀法）

再根據(jù)定理1，相同兩行的共計m次內(nèi)積運算皆等于1，故定理2即式（3）成立。

盡管上述證明定理2的方法直觀明了，取舍有據(jù)，但書寫復(fù)雜。為此，給出如下較為簡約且較為嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)證明方法。

（2）證明2（簡約法）

由定理1和內(nèi)積運算的結(jié)合律與分配律得知

式中：i，j=1，2，3，…，m。

因此，定理2或式（3）成立。即任何“±1”正交矩陣的任何行a（i，：）與其行線性迭加而成的總矢量b的內(nèi)積

2.2新并行擴頻傳輸與解擴方法

依照定理2，本文所提出的IOR并行擴頻傳輸方案如圖1所示，是由收發(fā)兩端擴頻/解擴的數(shù)據(jù)流矢量e/s、收發(fā)兩端相同的正交擴頻碼/正交解擴碼陣列p/p0、收發(fā)兩端擴頻/解擴和收發(fā)兩端發(fā)送/接收矢量b/b1（Matlab表示）等8個模塊組成的。其工作過程是：在發(fā)送端，首先，將待并行擴頻傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流矢量e和正交擴頻碼陣列p的各個分量e（i）和p（i）（i=1，2，3，…，m）按其行同時分別作用于擴頻模塊的兩個輸入端，其輸出為已擴頻數(shù)據(jù)矢量矩陣a的各個行分量a（i）（i=1，2，3，…，m）；然后，將各個行分量a（i）（i=1，2，3，…，m）同時送入線性迭加模塊以產(chǎn)生并行發(fā)送矢量b；至于高頻部分不屬基帶討論的內(nèi)容，故不贅述。因此，在接收端，將接收到的、被噪聲n干擾了的、線性迭加矢量b1=b+n與正交解擴碼陣列p0的各個分量p0（i）（i=1，2，3，…，m）按其行同時分別作用于解擴模塊的兩個輸入端，其輸出為r（1），r（2），…，r（m），再同時極性判決，即形成已解擴的數(shù)據(jù)流矢量s。當干擾較弱時，已解擴數(shù)據(jù)流矢量s與擴頻數(shù)據(jù)流矢量e是相同的；否則，不盡相同。下面將進一步闡述各個模塊的形成與功能，并進行計算機仿真。

圖1　IOR基帶并行擴頻與并行解擴原理圖Fig.1　Schematics of IOR baseband parallel spreading and parallel despreading

2.2.1并行擴頻傳輸?shù)摹?數(shù)據(jù)流矢量

在本示例中，并行擴頻傳輸?shù)摹?比特數(shù)據(jù)流矢量

（m為大于等于32的正整數(shù)）是由1 024×1 024階的小m矩陣s1024的第1 000行的1～m列的數(shù)據(jù)組成的，當m=1 024時，即可仿真并行擴頻傳輸1 024比特的±1。其位置詳見圖1的擴頻端的待發(fā)數(shù)據(jù)矢量模塊e=（e（1），e（2），e（3），…，e（m））。

2.2.2擴頻/解擴的正交陣列

在本仿真示例中，用于擴頻的正交碼陣列

是由正交矩陣c1的前m行組成的，而c1是由“±1”正交矩陣，例如行/列數(shù)都大于m的Walsh正交陣列產(chǎn)生的；用于解擴的正交碼陣列是

由此可見，在本系統(tǒng)中，用于擴頻的正交碼陣列p與解擴的正交碼陣列p0是完全相同的，其位置詳見圖1的并行擴頻端-并行解擴端的“擴頻/解擴正交碼陣列模塊p/p0”。

2.2.3擴頻與b矢量

（1）擴頻的方法（即線性算子）

其特點是，被傳數(shù)據(jù)流矢量e的第i分量e（i）與擴頻碼矩陣p的第i行矢量p（i，：）同時作用于擴頻模塊的兩輸入端以實現(xiàn)“數(shù)乘”，其積就是已擴頻數(shù)據(jù)陣列a（1：m，：），記為a；而a（i，：）（i=1，2，…，m）是已擴頻數(shù)據(jù)陣列a的第i行已擴頻數(shù)據(jù)矢量，其位置詳見圖1的擴頻端的擴頻碼模塊及其a（i，：）（i=1，2，…，m）都是嚴格有序的、待傳輸?shù)?、已擴頻數(shù)據(jù)陣列a的各個分量。

（2）發(fā)送矢量b

為了克服現(xiàn)行分組和并行擴頻傳輸?shù)挠嬎懔枯^大、同步較麻煩等老問題，現(xiàn)依照內(nèi)積運算的結(jié)合律定義

為已擴頻陣列a按其行a（i，：）（i=1，2，…，m）線性迭加而成的IOR方案并行擴頻傳輸矢量b，詳見圖1并行擴頻輸出端的矢量b模塊。顯然，盡管式（8）與式（2）形式相似，但涵義不同。

2.2.4內(nèi)積解擴及其信號處理方法

接收端，收到的基帶矢量是

式中：n=sn1*randn（1，length（b））是與b同長度的干擾矢量：sn1和length（b））的作用是分別控制正態(tài)分布噪聲randn（1，length（b））干擾的強度和長度。考慮到定理1第2條、定理2及其矢量代數(shù)定義下的內(nèi)積算法的結(jié)合律、分配律及其線性算子，將已收到的b1=b+n與解擴端的正交陣列p0的各個子矢量p0（1），p0（2），…，p0（m）按其序號同時作用于各個并行解擴模塊的兩個輸入端，如圖1所示，內(nèi)積并行解擴的演算過程及其結(jié)果是

式中：i、j=1，2，3，…，m；〈p0（i，：），p（i，：）〉*e（i）和〈p0（i，：），p（j，：）〉*e（j）（i≠j）都是線性算子，e（i）或e（j）都是實數(shù)，又因為

故由定理1第2條得知

式中：i=1，2，3，…，m。

由此可見，我們所期待的IOR擴頻傳輸方案的解擴結(jié)果包含兩個分量：一是有用分量e（i），i=1，2，…，m；二是干擾分量〈p0（i，：），n〉，i=1，2，…，m或〈p0（i，：），sn1*randn（1，length（b））〉，i=1，2，…，m。因此，各并行解擴模塊按其序號同時輸出數(shù)據(jù)r（1），r（2），…，r（m）的幅度都是隨干擾分量的強度而隨機起伏的，不滿足后續(xù)信號處理的要求。鑒于此，每一個解擴模塊的輸出信號都必須經(jīng)過“極性判決”處理，其輸出數(shù)據(jù)s（1），s（2），s（3），…，s（m）形成并行解擴輸出±1矢量（模塊）s，如圖1的輸出端所示，既便于如下的大樣本統(tǒng)計處理，在直觀上又便于與并行擴頻傳輸矢量e的各個分量逐一比較。

3　大樣本仿真

3.1說明

為了驗證上述IOR方案的合理性，需按照上述內(nèi)積并行擴頻傳輸與內(nèi)積并行解擴方法，借助于Matlab語言，編寫了一個仿真文件，簡介如下：

函數(shù)名：bxsfcs12（c，c1，bxm，sn1，L）。

參數(shù)說明：

（1）c為并行擴頻傳輸?shù)摹?數(shù)據(jù)流矢量，例如數(shù)字圖像源，在本仿真測試中實際使用的是或s1024，或g1024，或vivs1024等±1陣列產(chǎn)生的數(shù)據(jù)流矢量；

（2）c1為用于擴頻和解擴的“±1”正交陣列，例如walsh1024m、walsh2048m、walsh4096等Walsh正交陣列；

（3）bxm為并行擴頻傳輸?shù)臄?shù)據(jù)矢量的長度，例如8、16、32、64、128、256、512、1 024等，單位為比特，當并行擴頻傳輸例如1 024比特時，更能發(fā)揮內(nèi)積并行解擴快速的特點；

（4）sn1為控制正態(tài)分布噪聲randn干擾的強度sn1×randn；

（5）L：檢驗L≈100 000個樣本，旨在確保本仿真文件給出的誤碼率在大數(shù)據(jù)統(tǒng)計檢驗的結(jié)果是可信的。

下面是調(diào)用上述函數(shù)

在100 000次檢驗下導(dǎo)出了64比特的小m序列s1024的仿真結(jié)果：一是關(guān)鍵圖形如圖2所示；二是100 000大樣本矩陣IOR100000sn_pe中元素xi，j∈RR ，i∈［1，2］；j∈100 000是行/列數(shù)。

3.2仿真結(jié)果的關(guān)鍵圖形

圖2給出了新傳輸方案的仿真結(jié)果。

圖2　內(nèi)積運算與正交矩陣融合而成的并行擴頻傳輸新方案的仿真圖形Fig.2　Simulation results of high speed spread spectrum transmission scheme based on inner product operation and orthogonal matrix

3.3100 000樣本的統(tǒng)計分析

（1）大樣本數(shù)據(jù)的容量是size（IOR100000sn_ pe）=2×100 000階矩陣；

（2）大樣本［g31］=Lsjyfb_tyff31（IOR100000sn_ pe（1，1：100 000），0.340 0）的統(tǒng)計平均信噪比及其標準差與樣本平均信噪比及其標準差是相同的且分別等于-0.030 2 dB和0.096 5 dB；

（3）大樣本［g31］=Lsjyfb_tyff31（IOR100000sn_ pe（2，1：100 000），0.340 0）的統(tǒng)計平均誤碼率及其標準差與樣本平均誤碼率及其樣本標準差是相同的，且分別等于0.000 0和0.000 7；

（4）顯然，統(tǒng)計平均信噪比的標準差0.096 5越小，統(tǒng)計平均信噪比-0.030 2 dB越平穩(wěn)；統(tǒng)計平均誤碼率的標準差0.000 7越小，統(tǒng)計平均誤碼率0.000 0越平穩(wěn)；反之亦然。

4　IOR擴頻傳輸?shù)耐?、頻譜效率與功率效率

4.1關(guān)于同步問題

因為IOR擴頻傳輸系統(tǒng)收/發(fā)兩端的解擴碼陣列與擴頻碼陣列是相同的，即p0（1：m，：）=p（1：m，：），故由式（10）得知，依照內(nèi)積運算進行并行解擴時，其中的參數(shù)是必然同時出現(xiàn)的。事實上，由圖1可知，只要工作于IOR并行擴頻傳輸狀態(tài)，解擴碼陣列p0（1：m，：）是自始至終存在著的。因此，只要串行接收解調(diào)成功，則內(nèi)積〈p0（i，：），b1〉運算中的參數(shù)p0（i，：）和b1（i）=b（i）+n（i）（i=1，2，…，m）就必然同時出現(xiàn)于各解擴模塊的輸入端，且同時輸出并行解擴的結(jié)果r（i）=e（i）+〈p0（i），n〉（i=1，2，…，m）。由此可見，對于IOR方案而言，收/發(fā)兩端預(yù)置相同的擴頻模塊和解擴模塊，本質(zhì)上也是一種適用于內(nèi)積分配律并行解擴的同步方式。

4.2關(guān)于擴頻傳輸系統(tǒng)的頻譜利用率與功率利用率

事實上，擴頻傳輸系統(tǒng)的頻譜/功率效率都與解擴的方法有關(guān)，而新型擴頻傳輸系統(tǒng)的解擴方法與經(jīng)典擴頻傳輸系統(tǒng)的解擴方法是迥然不同的。因此，迄今為止，尚未出現(xiàn)適用于各種解擴方法的擴頻傳輸系統(tǒng)的頻譜/功率效率的計算方法或公式。鑒于此，本文依照相關(guān)檢測三要素［1-2］，以內(nèi)積解擴為相關(guān)解擴的基本計量單位，從而把現(xiàn)存的3種不同解擴方法的計量單位在“內(nèi)積解擴”意義下統(tǒng)一起來了。由此，導(dǎo)出了現(xiàn)存的3種擴頻傳輸系統(tǒng)的頻譜/功率效率的計算方法或公式及其示例如表1所示。

表1　并行擴頻傳輸系統(tǒng)發(fā)展的歷程Tab.1　Development progress of parallel spread spectrum transmission

由表1可知：近年來，由于引入了內(nèi)積運算，碼分多址通信理論變化顯著，即由經(jīng)典相關(guān)并行擴頻傳輸→d相關(guān)并行擴頻傳輸→IOR并行擴頻傳輸，且立論依據(jù)和傳輸方案都不盡相同［1，3-5］；至于解擴方法與計算量則完全不同。

當L=1 024時，IOR并行解擴較經(jīng)典相關(guān)并行同步解擴、經(jīng)典匹配濾波并行同步解擴，較d相關(guān)并行同步解擴、d匹配濾波并行同步解擴的頻譜效率、功率效率都分別提高了L×（2L-1）=2 096 128倍、L ×L=1 048 576倍和L=1 024倍、L=1 024倍。由此可見，就并行解擴而言，顯然，本文提出的IOR并行擴頻傳輸方案是一種簡約而有效的信號處理方法，較4G經(jīng)典相關(guān)并行解擴的頻譜效率和功率效率都遠大于10倍。

5　結(jié)束語

本文根據(jù)定理1和定理2導(dǎo)出了IOR型擴頻傳輸方案，并進行了詳細推導(dǎo)和分析。

在民用無線多址信道上，如何使接收到的有用矢量b1與發(fā)送矢量b的誤差（b1-b）較小呢？顯然，這是IOR方案高頻處理的關(guān)鍵技術(shù)之一，它涉及到天線、調(diào)制與解調(diào)及其快速鎖相環(huán)等關(guān)鍵部件。如果在實地測試條件下其誤碼率亦能達到本文仿真的要求，那么，由4.2節(jié)及表1得知，IOR方案較第一節(jié)點方案、第二節(jié)點方案的并行解擴的頻譜效率和功率效率都分別提高了百萬倍和上千倍，且只需一個載波，因而結(jié)構(gòu)簡潔，可供5G參考。當然，本方案亦滿足某些實用場合（例如遠程精密外科手術(shù)）對實時圖像傳輸?shù)囊蟆?/p>

［1］ 龍德浩，陳志清.δ/θ型基帶相關(guān)檢測/解擴方案［J］.電訊技術(shù)，2012，52（9）：1438-1442.

LONG Dehao，CHEN Zhiqing.δ/θ base band correlation detection/dispreading scheme［J］.Telecommunication Engineering，2012，52（9）：1438-1442.（in Chinese）

［2］ WELCH L R.Lower bounds on the maximum cross correlation of signals［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1974，20（3）：397-399.

［3］ 龍德浩，陳志清.基于δ匹配濾波器的擴頻碼同步門限檢測方案［J］.電訊技術(shù)，2014，54（3）：265-275.

LONG Dehao，CHEN Zhiqing.Spreading code synchronization threshold detection scheme based on δ-matched filter［J］.Telecommunication Engineering，2014，54（3）：265-272.（in Chinese）

［4］ 龍德浩，陳志清.適用于δ-相關(guān)解擴的擴頻碼檢驗方法［J］.電訊技術(shù)，2012，52（10）：1630-1634.

LONG Dehao，CHEN Zhiqing.Spreading code test for δ/θ correlation despreading［J］.Telecommucation Engineering，2012，52（10）：1630-1634.（in Chinese）

［5］ 龍德浩，陳志清.δ/θ型相關(guān)解擴抑制多址干擾的能力分析［J］.電訊技術(shù)，2013，53（5）：551-559.

LONG Dehao，CHEN Zhiqing.Analysis of δ/θ correlation despreadings ability to suppress multiple-access interference［J］.Telecommunication Engineering，2013，53（5）：553-559.（in Chinese）

龍德浩（1938—），男，四川樂至人，1961年于四川大學(xué)無線電系獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為四川大學(xué)退休教授，主要研究方向為信息基礎(chǔ)理論；

LONG Dehao was born in Lezhi，Sichuan Province，in 1938.He received the B.S.degree from Sichuan University in 1961.He is now a retired professor.His research concerns information basic theory.

Email：dehao1233@qq.com

陳志清（1943—），女，四川犍為人，1965年于四川大學(xué)數(shù)學(xué)系獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為成都大學(xué)退休教授，主要研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué)。

CHEN Zhiqing was born in Qianwei，Sichuan Province，in 1943.She received the B.S.degree from Sichuan University in 1965.She is now a retired professor.Her research direction is applied mathematics.

A Novel Parallel Spread Spectrum Transmission Scheme Based on Inner Product Operation and Orthogonal Matrix

LONG Dehao1，CHEN Zhiqing2
（1.Sichuan University，Chengdu 610064，China；2.Chengdu University，Chengdu 610106，China）

To improve the parallel despreading spectral efficiency and power efficiency，a parallel spread spectrum transmission scheme is proposed which is based on inner product operation and characterized by linear operator spreading，associative parallel spread spectrum transmission and the distributive parallel despreading.Compared with classical parallel spreading and relevant despreading scheme and classical parallel spreading matched filtering despreading scheme，the proposed scheme improves the spectral efficiency and power efficiency by 2 096 128 times and 1 048 576 times，respectively.In the condition of 8×randn（1，length（b））interference and 64 bit parallel spread spectrum transmission，100 000 large sample test results show the statistical average error rate and the standard deviation are 0.000 0 and 0.000 7，respectively.

mobile communications；parallel spread spectrum transmission；packet spread spectrum transmission；inner product operation；orthogonal matrix；spectral efficiency；power efficiency

1　引 言

在圖像等高速信息傳輸模式下，盡管M元擴頻+δ相關(guān)解擴［1］和M元擴頻+經(jīng)典相關(guān)解擴（M=2k，k為大于等于8的整數(shù)）都能實現(xiàn)一次傳輸k比特信息碼，但是，當k≈64/128時，其內(nèi)積計算量較比特擴頻的分別增大為M=264和M=2128。如此龐大的內(nèi)積運算量，必然導(dǎo)致內(nèi)積運算的總功耗增大，擴頻傳輸?shù)目偹俾式档?，從而嚴重地制約了經(jīng)典M元擴頻傳輸系統(tǒng)的應(yīng)用，而經(jīng)典M元并行擴頻傳輸系統(tǒng)也存在類似問題。鑒于此，本文基于“±1”正交陣列和矢量代數(shù)定義下的內(nèi)積運算的交換律、結(jié)合律、分配律及其線性算子而提出了一個內(nèi)積運算和正交矩陣融合而成的并行擴頻傳輸新方案，簡記為IOR方案。

**通信作者:dehao1233@qq.com dehao1233@qq.com

TN911

A

1001-893X（2016）08-0862-05

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.08.006

2015-11-11；

2016-04-05

date:2015-11-11；Revised date:2016-04-05

引用格式:龍德浩，陳志清.基于內(nèi)積運算和正交矩陣的并行擴頻傳輸新方案［J］.電訊技術(shù)，2016，56（8）：862-866.［LONG Dehao，CHEN Zhiqing.A novel parallel spread spectrum transmission scheme based on inner product operation and orthogonal matrix［J］.Telecommunication Engineering，2016，56（8）：862-866.］