楊曉京，彭蕓浩，李　堯

(昆明理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

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壓電微位移臺的動態(tài)遲滯建模及實驗驗證

楊曉京*，彭蕓浩，李堯

(昆明理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

為了提高壓電微位移平臺快速定位的精確度，建立了一種表征壓電微位移平臺驅(qū)動電壓與輸出位移關(guān)系的定位模型?？紤]壓電工作臺在快速、大行程精確定位過程中會受壓電陶瓷遲滯特性及本身動態(tài)特性的影響，本文采用Bouc-Wen模型描述壓電陶瓷遲滯特性，并結(jié)合壓電工作臺的動態(tài)特性進行共同建模，使模型同時體現(xiàn)壓電工作臺的動態(tài)特性與遲滯特性。為了驗證模型的正確性，搭建了基于壓電微位移平臺和相關(guān)驅(qū)動器的實驗設(shè)備對模型進行了實驗驗證，并進行了測控程序的二次開發(fā)。研究結(jié)果表明，與單純的Bouc-Wen模型相比，提出模型在最大位移輸出為40 μm，輸入電壓頻率為40 Hz時的最大誤差由3.04 μm下降到了0.67 μm，此時最大相對誤差為1.68%。得到的結(jié)果驗證了提出的模型可較好地模擬壓電工作臺的遲滯特性與動態(tài)特性，大大提高壓電微位移平臺在快速、大行程定位中的精確度。

壓電微位移臺；動態(tài)特性；遲滯特性；Bouc-Wen模型；運動定位

1　引　言

壓電微位移平臺是基于柔性鉸鏈機構(gòu)，由壓電陶瓷提供驅(qū)動力的微位移精密機構(gòu)。具有分辨率高、無摩擦、響應(yīng)快和無噪音等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于超精密加工制造、微納定位、生物工程、微機電系統(tǒng)等領(lǐng)域[1]。但是，壓電陶瓷驅(qū)動器的輸入電壓與輸出位移之間存在的遲滯非線性，壓電陶瓷驅(qū)動器本身具有的蠕變性以及壓電工作臺的動態(tài)特性，都會對壓電工作臺的定位準(zhǔn)確度造成影響，使其定位精度降低[2]。

為了提高微位移平臺的定位精度，國內(nèi)外很多專家學(xué)者提出了不同的壓電驅(qū)動器設(shè)計方案[3-5]，同時也對壓電陶瓷微位移器的數(shù)學(xué)模型進行了大量的研究，建立了Preisach模型[6-7]、Prandtle-Ishlinskii模型[8-9]、Duhem模型[10-11]、Bouc-Wen模型[12-14]等遲滯模型。但是，這些模型均不能表示微位移平臺運動過程的全部信息，大部分模型僅能表示壓電執(zhí)行器的遲滯性、蠕變性或平臺的動態(tài)特性。由于壓電驅(qū)動器的蠕變性在平臺的慢速定位中影響顯著，遲滯性在大行程定位中顯示明顯，而平臺快速運動中主要體現(xiàn)動態(tài)特性[2]，這就使得在進行大行程、快速定位的時候，微位移平臺的定位精度不高。為了提高平臺的定位精度，就必須將壓電微位移平臺的動態(tài)特性和遲滯特性結(jié)合起來建模。

本文選取Bouc-Wen模型對平臺的遲滯特性進行數(shù)學(xué)建模。Bouc-Wen模型是由Bouc[15]于1967年提出，并由Wen[16]于1976年完善的微分方程。該方程由一系列不定參數(shù)構(gòu)成，不同的參數(shù)對應(yīng)于不同的遲滯環(huán)。近年來，眾多學(xué)者對該模型模擬壓電陶瓷的遲滯性進行了研究[12-14]，取得了一定成果。同時，該模型本身為動態(tài)模型，與靜態(tài)模型相比，能較好的反應(yīng)壓電執(zhí)行器的動態(tài)遲滯性，但隨著輸入信號頻率的上升，模型的準(zhǔn)確性會逐步下降。為了進一步提高平臺在大行程、較快速度下的定位精度，本文研究了壓電工作臺的線性動態(tài)模型，并通過將線性動態(tài)模型與遲滯模型相結(jié)合，得到了更加精確的動態(tài)遲滯模型，使得該模型能夠同時表示壓電微位移平臺的動態(tài)特性和遲滯特性。最后，以三維壓電微位移平臺為對象，驗證了由線性動態(tài)模型與遲滯模型結(jié)合的動態(tài)遲滯模型的精確性，并將其與單純基于Bouc-Wen模型建模的結(jié)果進行了比較，驗證了模型的優(yōu)越性。

2　動態(tài)遲滯模型

2.1動態(tài)遲滯模型的建立過程

壓電微位移平臺主要由壓電驅(qū)動器和柔性鉸鏈等組成，其特性主要由壓電驅(qū)動器的遲滯性、蠕變性，位移平臺的動態(tài)特性來表現(xiàn)。因此，微位移平臺系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)[17]。當(dāng)壓電工作臺的工作頻率遠(yuǎn)小于其諧振頻率時，可將工作臺系統(tǒng)看做一個彈簧-阻尼系統(tǒng)。其中，彈簧表示壓電驅(qū)動器的特性，阻尼表示柔性鉸鏈的特性。則系統(tǒng)的力與位移的關(guān)系為：

(1)

同時，工作臺的輸出力還與壓電驅(qū)動器的輸出力呈遲滯非線性關(guān)系：

F(t)=H{V(t)}.

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)的形式：

(3)

式(3)即為壓電微位移平臺的動態(tài)遲滯模型，既體現(xiàn)出了微位移平臺的遲滯特性，又表示出了平臺的動態(tài)特性。

2.2Bouc-Wen模型的建立過程

圖1所示為壓電微位移平臺的遲滯曲線。圖中虛線所示為遲滯曲線上位移最大值與最小值的連線。壓電微位移平臺的遲滯曲線即可看成是該直線加上曲線的遲滯分量構(gòu)成的：

x(t)=kvu(t)+h(t)+x0，

(4)

式中：x(t)為輸出位移，u(t)為輸入電壓，kv為構(gòu)成輸入電壓與輸出位移線性關(guān)系的比例常量，h(t) 為遲滯分量，x0為初始位移。

其中，h(t)的一階導(dǎo)數(shù)為[15]：

，

(5)

式中：A、β、γ為待求參數(shù)。為了簡化辨識過程，降低辨識難度，通常情況下將n設(shè)為1，則有：

(6)

則只需要確定參數(shù)kv，A、β、γ便能得到相應(yīng)的Bouc-Wen模型。

圖1壓電微位移平臺輸入電壓與輸出位移的遲滯曲線

Fig.1Hysteresis curves of input voltage and output displacement of piezoelectric positioning stage

3　模型參數(shù)的辨識

壓電微位移平臺的動態(tài)遲滯模型由平臺的遲滯特性和動態(tài)特性組成，因此，建模也可以分成這兩個部分進行。當(dāng)壓電平臺進行慢速定位時，平臺的動態(tài)特性表現(xiàn)不明顯，平臺主要表現(xiàn)為遲滯特性。則模型方程可簡化為：

x(t)=H*{V(t)}.

(7)

此時，僅需要對系統(tǒng)進行遲滯模型的建立即可。Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識過程如下：

對壓電微位移平臺輸入兩組電壓u(t)和u′(t)，它們之間的關(guān)系為u′(t)=u(t)±c(c為常數(shù))，將其分別代入式(4)，得：

(8)

由式(8)可解得：

(9)

又對于一個完整的遲滯過程來說，h(t)的變化量為0，則有：

(10)

由式(10)和式(8)，可以確定初始位移x0：

(11)

由式(6)可得：

(12)

在圖1中求得直線與遲滯曲線的交點(u0，x0)，由Bouc-Wen模型的性質(zhì)可知，此時h(t)為0。則由式(8)、(12)可得：

(13)

在上升曲線中，當(dāng)點(u1，x1)處于(u0，x0)下方時，由式(12)可得：

(14)

同樣，在上升曲線上取點(u2，x2)處于(u0，x0)上方，同理可得：

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)可得：

(16)

至此，Bouc-Wen模型的所有參數(shù)均求解完成，平臺的遲滯模型也建立完成。當(dāng)壓電微位移平臺進行小行程快速定位時，平臺的遲滯性表現(xiàn)不明顯。此時，平臺表現(xiàn)線性動態(tài)性，則式(3)可寫為：

(17)

此時，需要確定的參數(shù)為ξ和ωn，可由線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)辨識法獲得。

4　實驗驗證

4.1實驗裝置

采用如圖2所示的實驗裝置，來完成Bouc-Wen模型和線性動態(tài)模型的數(shù)據(jù)采集和模型的驗證實驗。該實驗裝置采用哈爾濱芯明天科技有限公司生產(chǎn)的三維壓電微位移平臺XP-611.XYZ和XE-500/501 D系列壓電陶瓷控制器搭建組成，并進行了測控程序的二次開發(fā)。

以X軸方向為例進行實驗。壓電微位移平臺X軸的基本參數(shù)如下：輸入電壓為0～150 V；最大輸出位移為120 μm(±20%)；開環(huán)定位分辨率為0.2 nm；重復(fù)定位精度為30 nm；空載響應(yīng)頻率為350 Hz。XE-500/501 D系列壓電陶瓷控制器由放大器模塊、傳感器控制模塊和顯示與接口模塊等組成。實驗過程中，通過壓電陶瓷控制器驅(qū)動微位移平臺，并與計算機相連，采用基于LabVIEW的數(shù)據(jù)采集處理程序，對數(shù)據(jù)進行采集處理。

圖2　實驗裝置實物圖

4.2Bouc-Wen模型參數(shù)辨識

為了得到準(zhǔn)確的參數(shù)值，先讓壓電微位移平臺輸入一組0.2 Hz，電壓分別為0～61 V、30～91 V，最大位移分別為40 μm、62 μm的正弦信號，如圖3所示。

(a)輸入電壓時間曲線

(b)輸出位移時間曲線

由圖3和式(9)、(11)、(13)、(16)可得模型的參數(shù)分別為：kv=7.015×10-7，x0=0.354×10-6，A=-1.87×10-7，β=0.085 4，γ=-0.093 5。

再將各參數(shù)代入式(4)、(6)，即可求出Bouc-Wen模型的表達(dá)式，完成模型的建立。

4.3動態(tài)特性的辨識

平臺的動態(tài)特性參數(shù)由頻域響應(yīng)法獲取，由于壓電微位移平臺X軸向的空載響應(yīng)頻率為350 Hz，所以，將輸入電壓信號由0 Hz逐步加至550 Hz，平臺的最大位移控制在6 μm左右。通過MATLAB以二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的形式，對實驗數(shù)據(jù)進行處理。得到的動態(tài)特性的參數(shù)為：

(18)

4.4動態(tài)遲滯模型的驗證

結(jié)合遲滯模型和平臺的動態(tài)特性模型，將兩模型代入式(3)中，即可建立平臺的動態(tài)遲滯模型。為了驗證模型的準(zhǔn)確性，將平臺的輸入電壓信號設(shè)置為40 Hz的正弦信號，最大位移定為40 μm，并與單純的Bouc-Wen模型建模進行比較，結(jié)果如圖4所示。

圖4　Bouc-Wen模型與實際遲滯環(huán)

圖4所示為單純的Bouc-Wen模型與實際遲滯環(huán)的電壓-位移曲線圖。從圖中可以看出，在壓電微位移平臺較快速、大行程定位時，用單純的Bouc-Wen模型進行壓電微位移平臺遲滯模型的描述時，出現(xiàn)了較大的誤差，模型最大誤差出現(xiàn)于最大位移40 μm處，誤差為3.04 μm，且模型較實際遲滯環(huán)有向下的偏移，這是由于單純的Bouc-Wen模型沒有考慮到平臺自身的動態(tài)特性，因此在平臺快速定位的過程中產(chǎn)生了較大的誤差，且隨著平臺位移的增大，誤差也隨之增大。圖5所示為改進后的動態(tài)遲滯模型與實際遲滯環(huán)的電壓-位移曲線圖、誤差曲線圖和輸出位移時間曲線圖。由于改進后的動態(tài)遲滯模型考慮到了平臺本身的動態(tài)特性，在單純的Bouc-Wen模型中加上了平臺的動態(tài)特性，所以得到了較好的精度，提高了模型的精確度，最大誤差為0.67 μm，最大相對誤差為1.68%。

(a)動態(tài)模型與實際遲滯環(huán)

(b)動態(tài)模型的位移誤差與驅(qū)動電壓之間的關(guān)系曲線

(c)輸出位移時間曲線

圖5模型預(yù)測的壓電陶瓷微位移平臺的結(jié)果與實驗測量結(jié)果的比較

Fig.5Comparisons between predicted results from piezoelectric micro displacement platform by model and measured results

5　結(jié)　論

本文提出了一種表征壓電微位移平臺輸出位移與輸入電壓之間關(guān)系的動態(tài)遲滯模型。主要應(yīng)用于壓電微位移平臺進行較大行程、快速定位過程中。模型是在Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上加上了壓電微位移平臺的動態(tài)特性而建立起來的動態(tài)遲滯模型，既能表現(xiàn)出微位移平臺在快速定位過程中出現(xiàn)的動態(tài)特性，又能體現(xiàn)出平臺在大行程定位過程中出現(xiàn)的遲滯特性。實驗表明，在最大位移輸出為40 μm，輸入電壓頻率為40 Hz時，模型的最大誤差由單純使用Bouc-Wen模型時的3.04 μm 下降到了0.67 μm。此時，模型的最大相對誤差為1.68%，驗證了該模型能大大提高壓電微位移平臺在快速、大行程定位中的精確度。需要說明的是，實驗驗證以國產(chǎn)代表性的哈爾濱芯明天科技有限公司生產(chǎn)的壓電微位移平臺和驅(qū)動器為基礎(chǔ)進行的。在實際應(yīng)用中，根據(jù)壓電微位移平臺類型，僅需在模型的基礎(chǔ)上對其主要參數(shù)進行識別，即可得到一種能更加精確描述壓電微位移臺動態(tài)遲滯現(xiàn)象的模型，模型具有廣泛適用性。為高性能壓電微位移平臺控制系統(tǒng)的設(shè)計提供了參考。

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楊曉京(1971-)，男，云南大理人，教授，博士生導(dǎo)師，1993年、1996年于中國農(nóng)業(yè)大學(xué)分別獲得學(xué)士、碩士學(xué)位，2008年于浙江大學(xué)獲得博士學(xué)位，2013年于昆明理工大學(xué)博士后出站。主要從事超精密驅(qū)動與傳動理論及新技術(shù)等方面的研究。E-mail:xjyang@vip.sina.com

彭蕓浩(1991-)，男，廣東樂昌人，碩士研究生，2014年于長春理工大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事精密工作臺設(shè)計及精密工作臺系統(tǒng)建模、控制方面的研究。E-mail:1713142503@qq.com

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Dynamic hysteresis modeling and experimental verification of piezoelectric positioning stage

YANG Xiao-jing*， PENG Yun-hao， LI Yao

(SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，KunmingUniversityofScienceandTechnology，Kunming650500，China)*Correspondingauthor，E-mail：xjyang@vip.sina.com

To improve the precision of rapid positioning of a piezoelectric positioning stage， a positioning model is established to characterize the relationship between driving voltage and output displacement of the platform. As the piezoelectric positioning stage for precision position in the fast and large stroke is not only affected by the hysteresis characteristics of the piezoelectric ceramics， but by the dynamic characteristics， this paper uses Bouc-Wen model to describe the hysteresis characteristics of piezoelectric ceramics， combines with the dynamic characteristics of the piezoelectric positioning stage to establish model， and lets the model reflect the dynamic characteristics and hysteresis characteristics of the platform. To verify the correctness of the model， the experimental equipment based on the piezoelectric micro displacement platform and the related driver is built， and model is verified by experiments， and a secondary development of monitor-control program is performed.The results show that, compared with the previous Bouc-Wen model,when proposed model in the maximum displacement output is 40 μm and the input voltage frequency is 40 Hz,the maximum error is reduced from 3.04 μm to 0.67 μm and the maximum relative error is 1.68%.The results show that the proposed model can better simulate the hysteresis characteristics and dynamic characteristics of the piezoelectric stage, and greatly improve the accuracy of the piezoelectric micro displacement platform in the fast and large stroke positioning.

piezoelectric positioning stage; dynamic characteristics; hysteresis characteristics; Bouc-Wen model; dynamic position

2016-04-10；

2016-05-21.

國家自然科學(xué)基金資助項目(No.51365021)

1004-924X(2016)09-2255-07

TP271.4；TH701

A

10.3788/OPE.20162409.2255