方　楚，郭　勁，徐新行，姜振華，王挺峰

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所激光與物質(zhì)相互作用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

?

壓電陶瓷遲滯非線性前饋補(bǔ)償器

方楚1，2，郭勁1，徐新行1，姜振華1，王挺峰1

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所激光與物質(zhì)相互作用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

為了有效補(bǔ)償壓電陶瓷的遲滯非線性， 提出了基于STOP算子的改進(jìn)PI模型以改善傳統(tǒng)基于PLAY算子的PI模型解析求逆的復(fù)雜過程以及通過插值算法求逆的大量耗時。介紹了傳統(tǒng)的基于PLAY算子和基于STOP算子的PI模型，然后基于STOP算子的疊加形式建立了以預(yù)期位移為輸入，以控制電壓為輸出的PI模型， 并將這一模型直接作為前饋控制器補(bǔ)償壓電陶瓷的遲滯效應(yīng)。為了更好地平衡全局尋優(yōu)與局部尋優(yōu)能力， 對粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行了改進(jìn)，利用其辨識出各算子的權(quán)值。最后，利用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證了改進(jìn)的PI模型對遲滯非線性的補(bǔ)償效果。進(jìn)行了兩組實(shí)驗(yàn)測試， 結(jié)果顯示：無論對于規(guī)律變化還是隨機(jī)變化的輸入，提出的改進(jìn)PI模型都可以很好補(bǔ)償遲滯非線性，跟蹤誤差可控制在1%以內(nèi)。因此，基于STOP算子的改進(jìn)PI模型在壓電陶瓷控制領(lǐng)域中具有很好的實(shí)用價值。

壓電陶瓷；遲滯非線性；前饋補(bǔ)償器；PI模型；STOP算子

1　引　言

由于具有亞納米級分辨率、亞微秒級的響應(yīng)時間、數(shù)百牛頓的驅(qū)動力以及數(shù)萬赫茲的諧振頻率，壓電陶瓷在微驅(qū)動、微測量領(lǐng)域中得到了廣泛研究與應(yīng)用[1-5]。與電荷控制的壓電陶瓷系統(tǒng)不同，在通過電壓控制壓電陶瓷的系統(tǒng)中，壓電陶瓷與控制電壓呈現(xiàn)非線性，其最主要的非線性因素是遲滯效應(yīng)，是影響壓電陶瓷控制精度的主要原因[6]。

國內(nèi)外研究人員針對壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象研究大體可分為兩類：一類是根據(jù)壓電陶瓷的微觀機(jī)理建立物理方程，通過聯(lián)立方程求解出輸入電壓與輸出位移的關(guān)系[7-8]，另一類則忽視壓電陶瓷的微觀機(jī)理，根據(jù)壓電陶瓷輸入電壓和輸出位移的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型。由于第二種方法具有形式簡單、便于改進(jìn)、精度較高等優(yōu)點(diǎn)，目前工程中多采用數(shù)學(xué)模型對壓電陶瓷進(jìn)行建模研究。

壓電陶瓷的數(shù)學(xué)模型分為兩類：一類是微分方程形式的數(shù)學(xué)模型，包括Bouc-Wen模型[9-10]，多項(xiàng)式模型[11]，Duhem模型[12]等，另一類是算子疊加形式的數(shù)學(xué)模型，主要是指Preisach模型[13]和Prandtl-Ishlinskii模型(簡稱PI模型)[14]。微分方程形式的數(shù)學(xué)模型由于考慮了輸入變化率對輸出的影響，因此對于高帶寬遲滯非線性的補(bǔ)償具有一定作用，然而對于輸入變化緩慢的系統(tǒng)，具有算子疊加形式的數(shù)學(xué)模型具有更簡單的形式，其中PI模型因?yàn)槠浣馕鲂问降哪婺Ｐ偷拇嬖诙艿礁嘌芯空叩那嗖A。

國內(nèi)外研究人員大多采用基于PLAY算子的PI模型對壓電陶瓷進(jìn)行建模，然后以其解析逆模型作為遲滯補(bǔ)償?shù)那梆伩刂破?，或是利用插值算法逐一計算達(dá)到預(yù)期位移所需要的控制電壓值，或是把此數(shù)學(xué)模型作為控制對象重新設(shè)計前饋補(bǔ)償器[15]。但當(dāng)研究人員對PI模型進(jìn)行改進(jìn)后，逆模型的解析形式就不容易獲得，而插值算法在工程應(yīng)用中要花費(fèi)較多的時間，會影響補(bǔ)償器的實(shí)時性，本文根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的壓電陶瓷輸出位移與輸入電壓的關(guān)系，建立STOP算子疊加形式的以預(yù)期位移為輸入，以控制電壓為輸出的PI模型，將這一模型直接作為前饋控制器補(bǔ)償遲滯效應(yīng)，從而避免了復(fù)雜的求解逆模型過程并節(jié)省了插值算法所花費(fèi)的時間。

2　改進(jìn)PI模型

2.1PI模型的基本算子

PI模型的基本算子包括PLAY算子與STOP算子。PI模型基本算子如圖1所示，PLAY算子可以描述壓電陶瓷輸出位移隨驅(qū)動電壓變化規(guī)律：當(dāng)驅(qū)動電壓變化時，壓電陶瓷輸出位移并不是馬上變化，而是等驅(qū)動電壓變化到閾值時算子的輸出才發(fā)生變化。

基于PLAY算子的PI模型的離散數(shù)學(xué)形式為：

y(t)=max{x(t)-r，min{x(t)+r，y(t-T)}}，

(1)

(2)

其中：x(t)為模型的輸入，一般為壓電陶瓷的驅(qū)動電壓，H(x(t))為模型的輸出，一般為壓電陶瓷的輸出位移，r為算子的閾值，y(t)為算子的輸出值，i為閾值的序號，wi為算子的權(quán)值。

圖1　PI模型基本算子

STOP算子最初被用來研究材料的屈服應(yīng)力[16]，由于STOP算子的軌跡為順時針，而PLAY算子的軌跡為逆時針，因此可以把STOP算子看作PLAY算子的逆過程，利用STOP算子可以研究壓電陶瓷的預(yù)期位移與驅(qū)動電壓之間的關(guān)系。

基于STOP算子的PI模型的離散數(shù)學(xué)形式為：

yi(t)=min{ri，max{-r，x(t)-

x(t-T)+yi(t-T)}}，

(3)

(4)

2.2基于STOP算子的改進(jìn)PI模型

基于STOP算子的PI模型可以預(yù)測壓電陶瓷達(dá)到預(yù)期位移時所需要的控制電壓，其作為前饋補(bǔ)償器將預(yù)測出所需的控制電壓輸入給壓電陶瓷，就可以實(shí)現(xiàn)壓電陶瓷的輸出位移與預(yù)期位移之間的線性關(guān)系。

由于壓電陶瓷的輸出位移只能是正值，因此STOP算子的下限閾值應(yīng)全部為零，而為了方便辨識權(quán)值，上限閾值取ri=(i/n)×x(t)max，如果把壓電陶瓷的輸入輸出進(jìn)行歸一化處理，則上限閾值取ri=i/n，n為閾值的數(shù)目，i=0，1，2，…，n-1。

則STOP算子變?yōu)椋?/p>

yi(t)=min{ri，max{0，x(t)-

x(t-T)+yi(t-T)}}.

(5)

經(jīng)過改變的STOP的算子會出現(xiàn)一個問題：對于上限閾值為0的算子，任何輸入對算子的輸出沒有影響，即無論輸入為何值，算子的輸出都為零。為了有效利用輸入為0～0.1之間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將PI模型改為：

(6)

其中：f(x(t))為關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)，合理選擇f(x(t)) 的形式可以使前饋補(bǔ)償器具有更合理的補(bǔ)償方案。

由于遲滯曲線具有對稱率無關(guān)的性質(zhì)，因此令f(x(t))=αx，即在STOP算子疊加項(xiàng)之前增加線性項(xiàng)，即可充分利用輸入為0～0.1之間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中α為線性項(xiàng)的權(quán)值。式(5)與式(6)成為基于STOP算子的改進(jìn)PI模型，其輸入為預(yù)期位移，輸出為控制電壓，把它作為壓電陶瓷的前饋控制器，可以實(shí)現(xiàn)預(yù)期位移輸入與實(shí)際位移輸出的線性關(guān)系。直接用這種模型作為前饋控制器，避免了基于PLAY算子的PI模型的復(fù)雜解析求逆過程，同時也節(jié)省了通過插值算法求PI逆模型的時間。

3　改進(jìn)PI模型的權(quán)值辨識

3.1實(shí)驗(yàn)設(shè)備

在辨識權(quán)值之前需要獲得壓電陶瓷的輸入輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，因此搭建如圖2所示的實(shí)驗(yàn)設(shè)備。通過個人計算機(jī)對壓電陶瓷控制箱進(jìn)行操縱，使其向壓電陶瓷輸入0～100 V單調(diào)遞增以及100～0 V單調(diào)遞減的離散電壓值，同時，利用電感測微儀測量壓電陶瓷的輸出位移。為了提高測量精度，壓電陶瓷與菱形微位移線性放大機(jī)構(gòu)配合使用使壓電陶瓷的輸出位移得到放大，電感測微儀的探頭處于位移放大機(jī)構(gòu)的輸出端。

由于前饋控制器是率無關(guān)PI模型，即實(shí)驗(yàn)輸入輸出數(shù)據(jù)不能受到輸入數(shù)據(jù)變化速率的影響，因此測量的過程比較緩慢。每輸入一個離散電壓值通過電感測微儀進(jìn)行一次讀數(shù)，獲得如圖3所示的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。把橫縱坐標(biāo)進(jìn)行了調(diào)換，即把H(t) 放在橫坐標(biāo)作為輸入，把V(t)放在縱坐標(biāo)作為輸出，這樣圖形的軌跡變?yōu)轫槙r針，與STOP算子的軌跡相吻合，然后可以通過調(diào)整改進(jìn)PI模型的權(quán)值來擬合實(shí)驗(yàn)中V(t)與H(t)的關(guān)系。

圖2　實(shí)驗(yàn)設(shè)備

圖3　實(shí)驗(yàn)測得壓電陶瓷輸入輸出數(shù)據(jù)關(guān)系曲線

3.2權(quán)值辨識

3.2.1經(jīng)典粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[17](Particle Swarm Optimization，PSO)是一種智能高效的尋優(yōu)算法。結(jié)構(gòu)簡單，具有強(qiáng)大的局部尋優(yōu)能力，然而當(dāng)尋優(yōu)參數(shù)較多時，PSO算法很容易陷入局部極值，國內(nèi)外研究人員大多通過對PSO算法進(jìn)行改進(jìn)使其針對不同情況獲得不同的解決方案。[18]

在粒子群理論中，位置向量與速度向量是兩個重要的概念。位置向量由所有需要辨識的參數(shù)組成，各粒子通過自身學(xué)習(xí)與相互學(xué)習(xí)以求獲得具有最佳適應(yīng)值的位置向量，而速度向量就是每次迭代中對位置向量的校正。粒子群算法的規(guī)則為：

vi(t+1)=wvi(t)+c1r1(pi(t)-xi(t))+

c2r2(pg(t)-xi(t))，

(7)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)，

(8)

其中：xi表示第i個粒子的位置向量，vi表示第i個粒子的速度向量，pi為第i個粒子的歷史最優(yōu)位置，pg為所有粒子的最優(yōu)位置，w為慣性權(quán)值，c1、c2為學(xué)習(xí)因子，r1、r2為0～1之間的隨機(jī)數(shù)，t為迭代次數(shù)。

3.2.2改進(jìn)粒子群尋優(yōu)算法

慣性權(quán)值與學(xué)習(xí)因子是影響粒子群優(yōu)化算法的主要參數(shù)，會影響全局尋優(yōu)與局部尋優(yōu)之間的平衡。為了達(dá)到更好的尋優(yōu)效果，對3個結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行修改，使它們不再為常數(shù)，而是在每次迭代中都會在一定范圍內(nèi)取隨機(jī)值。

具體的改變措施分為兩部分：第一部分是為每一個結(jié)構(gòu)參數(shù)取一個上限值和一個下限值，然后使結(jié)構(gòu)參數(shù)在兩個極值之間隨機(jī)取值，其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：

ε=εmin+(εmax-εmin)×r，

(9)

其中：ε表示慣性權(quán)值或?qū)W習(xí)因子。通過設(shè)置不同的上限下限可以調(diào)整粒子對于全局尋優(yōu)與局部尋優(yōu)能力的平衡，而隨機(jī)取值可以使粒子在迭代中具有更好的適應(yīng)能力。

第二部分是將每一個結(jié)構(gòu)參數(shù)分成兩部分，其中大多部分的結(jié)構(gòu)參數(shù)變化范圍較小，保證了較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力；而較少一部分的結(jié)構(gòu)參數(shù)變化范圍較大，從而保證粒子群有足夠的全局尋優(yōu)能力。由于3個結(jié)構(gòu)參數(shù)中每個參數(shù)都具有不同的2種取值范圍，因此可以組合出8種性質(zhì)不同的粒子。由于不同的粒子具有不同的尋優(yōu)能力，使得改進(jìn)的粒子群尋優(yōu)算法搜索更為全面。

3.2.3粒子群優(yōu)化算法的對比

為了證明改進(jìn)粒子群算法對于基于STOP算子的PI模型中的參數(shù)辨識具有更優(yōu)的性質(zhì)。就要用它與其它改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行對比。引入3個經(jīng)典的粒子群算法[19]。

PSO-w：特點(diǎn)是在迭代中慣性權(quán)值線性遞減，使粒子群在開始迭代時具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，在迭代后期具有較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力。其參數(shù)取wmax=0.9，wmin=0.4，c1=c2=2.0。

PSO-rw：特點(diǎn)是在迭代中慣性權(quán)值隨機(jī)取值，而學(xué)習(xí)因子為固定值。其參數(shù)取w=0.5+0.5×r，c1=c2=1.494。

PSO-cf：引入了收縮因子，使粒子群具有更強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力，但是全局尋優(yōu)能力受到了削弱。其參數(shù)經(jīng)過換算后取w=0.729 8，c1=c2=1.496。

粒子群參數(shù)取值如下：慣性權(quán)值w分成2個大小相同的組，第一組的上限值為1.0，下限值為0.4；第二組的上限值為0.8，下限值為0.6。學(xué)習(xí)因子c1和c2分成大小不同的兩組，較大的那一組占有粒子的數(shù)目是較小組的2倍。數(shù)目較多的那一組的上限值為2.0，下限值為0；數(shù)目較少的那一組的上限值為2.0，下限值為-0.5。

4種粒子群尋優(yōu)算法的粒子數(shù)設(shè)定為60，迭代次數(shù)為600，其目標(biāo)函數(shù)為：

(10)

其中：hactual為壓電陶瓷輸出的位移，hmodel為PI模型輸出的位移，N為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量。

為了減少粒子群初始隨機(jī)位置對尋優(yōu)結(jié)果的影響，統(tǒng)計了100次的試驗(yàn)結(jié)果，采用各粒子群優(yōu)化算法辨識PI模型權(quán)值時目標(biāo)函數(shù)平均值隨著迭代次數(shù)的變化統(tǒng)計結(jié)果如圖4所示。

圖4　在不同粒子群算法下的辨識結(jié)果對比

統(tǒng)計結(jié)果發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)的粒子群算法具有更為平衡的全局尋優(yōu)與局部尋優(yōu)能力，能夠達(dá)到獲得更為優(yōu)異的位置向量。

3.2.4辨識結(jié)果

優(yōu)化后的權(quán)值如表1所示。

優(yōu)化權(quán)值后改進(jìn)PI模型與實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)對比如圖5所示，誤差如圖6所示。反映出改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法可以準(zhǔn)確辨識各算子的權(quán)值，使PI模型輸出的數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的最大誤差相差不超過1.5%，而基于STOP算子的改進(jìn)PI模型能夠非常準(zhǔn)確的描述壓電陶瓷預(yù)期位移與所需要的控制電壓之間的關(guān)系。

表1　辨識的改進(jìn)PI模型中的權(quán)值

圖5改進(jìn)PI模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

Fig.5Compare of modified PI model and experiment

圖6　改進(jìn)PI模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差

4　實(shí)驗(yàn)測試

為了測試改進(jìn)PI模型作為壓電陶瓷遲滯非線性前饋補(bǔ)償器的效果，利用圖2中實(shí)驗(yàn)儀器進(jìn)行測試實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)流程如圖7所示，在計算機(jī)中輸入預(yù)期位移，通過C語言編寫改進(jìn)PI模型程序從而獲得所需要的控制電壓，PI E-500控制器通過PIMicromove軟件將控制電壓施加給壓電陶瓷，最后通過電感測微儀檢測壓電陶瓷的實(shí)際位移輸出，并與預(yù)期輸入位移作對比。

圖7　實(shí)驗(yàn)流程

第一組測試：輸入一組幅值遞減的三角波形預(yù)期位移，實(shí)際輸出位移與預(yù)期位移的對比結(jié)果如圖8所示，誤差如圖9所示。

圖8　幅值遞減三角波形預(yù)期位移與實(shí)際位移對比

圖9　幅值遞減三角波形預(yù)期位移與實(shí)際位移誤差

圖10　隨機(jī)波形預(yù)期位移與實(shí)際位移對比

圖11　隨機(jī)波形預(yù)期位移與實(shí)際位移誤差

第二組測試：輸入一組隨機(jī)的預(yù)期位移，實(shí)際輸出位移與預(yù)期位移的對比結(jié)果如圖10所示，誤差如圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn)基于STOP算子的改進(jìn)PI模型能夠很好的補(bǔ)償壓電陶瓷的遲滯非線性，實(shí)際輸出位移與預(yù)期輸入位移之間的誤差較小，基本控制在1%以內(nèi)。

5　結(jié)　論

本文提出的基于STOP算子的改進(jìn)PI模型可以較好補(bǔ)償壓電陶瓷的遲滯非線性，通過遲滯補(bǔ)償，壓電陶瓷的輸出可以跟蹤規(guī)律變化或是隨機(jī)變化的預(yù)期輸入，誤差基本控制在1%以內(nèi)。說明基于STOP算子的改進(jìn)PI模型是可行的，此外它形式簡單、補(bǔ)償精度高，與以往的基于PLAY算子的PI模型相比，可以避免復(fù)雜的解析求逆模型過程，同時在工程中也避免通過插值算法求逆模型而浪費(fèi)大量時間，因此基于STOP算子的改進(jìn)PI模型具有很好的工程實(shí)用價值。此外本文提出的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，可以更好地平衡全局尋優(yōu)能力與局部尋優(yōu)能力。與其它經(jīng)典粒子群優(yōu)化算法對比，改進(jìn)算法可以獲得更優(yōu)異的位置向量，即可以更準(zhǔn)確辨識PI模型中的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

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方楚(1990-)，男，內(nèi)蒙古赤峰人，博士研究生，2012年于上海交通大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事光學(xué)精密儀器的設(shè)計與研究。E-mail:cfang1990@hotmail.com

郭勁(1964-)，男，吉林長春人，博士，研究員，博士生導(dǎo)師，2007年于中科院長春光機(jī)所獲得博士學(xué)位，主要從事激光與物質(zhì)相互作用技術(shù)研究。E-mail:guojin1964@126.com

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Compensating controller for hysteresis nonlinerity of piezoelectric ceramics

FANG Chu1，2， GUO Jin1， XU Xin-xing1， JIANG Zhen-hua1， WANG Ting-feng1

(1.StateKeyLaboratoryofLaserInteractionwithMatter，ChangchunInstituteofOptics，F(xiàn)ineMechanicsandPhysics，ChineseAcademyofScience，Changchun130033，China；2.UniversityofChineseAcademyofScience，Beijing100049，China)*Correspondingauthor，E-mail：guojin1964@126.com

To effectively compensate the hysteresis nonlinearity of piezoelectric ceramics， a modified PI model based on STOP operator was proposed to avoid the complex processing in solving inverse model and time consuming in interpolating method of the traditional PI model based on PLAY operator. Firstly， traditional PI models based on PLAY operator or STOP operator were introduced. Then， modified PI model based on STOP operator was established by taking an expecting displacement as the input and a control voltage as the output， and the model was used as a feedback controller to compensate the hysteresis effect of piezoelectric ceramics. To balance the ability of local optimization and global optimization， the particle swarm optimization algorithm was improved to identify the weights of operators with different thresholds. Finally， the modified PI model was used to verify experimentally the compensating effects for the hysteresis nonlinearity. Two groups of experiments were carried out， and the results show that the hysteresis has been compensated well by modified PI model with the error no more than 1% no matter the input is continuous or random. It concludes that， the modified PI model based on STOP operator is of great value in the field of piezoelectric ceramic control.

piezoelectric ceramic； hysteresis nonlinearity； feedback controller; PI model； STOP operator

2015-12-07；

2016-02-03.

長春市科技計劃資助項(xiàng)目(No.2013270)

1004-924X(2016)09-2217-07

TN384；TP273

A

10.3788/OPE.20162409.2217