高計(jì)委，蔡遠(yuǎn)利

(西安交通大學(xué) 控制工程所，西安　710049)

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航天器姿態(tài)穩(wěn)定的自適應(yīng)有限時(shí)間控制

高計(jì)委，蔡遠(yuǎn)利

(西安交通大學(xué) 控制工程所，西安710049)

針對剛體航天器姿態(tài)控制問題，設(shè)計(jì)了有限時(shí)間狀態(tài)反饋控制律。考慮存在慣性不確性和外部擾動(dòng)條件下，采用四元數(shù)將姿態(tài)系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為Lagrange模型，并且首次將其以狀態(tài)空間形式表示。其次，基于齊次性理論來設(shè)計(jì)標(biāo)稱控制器，在此基礎(chǔ)上利用自適應(yīng)滑模方法抑制總不確定進(jìn)而使姿態(tài)系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)，并且利用Lyapunov理論對其進(jìn)行證明。該算法不需要事先獲得總不確定的邊界，對實(shí)際問題具有很好的實(shí)用性和有效性。數(shù)值仿真對比表明，此方法具有較快的收斂速度、較高的控制精度及較強(qiáng)的魯棒性。

航天器姿態(tài)控制；有限時(shí)間穩(wěn)定；魯棒性；自適應(yīng)滑模

0　引言

航天器的姿態(tài)穩(wěn)定和跟蹤控制是一類具有強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合特性的控制問題，一直都是航空航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)。在航天器的控制理論及其應(yīng)用技術(shù)方面，航天器的姿態(tài)穩(wěn)定和跟蹤控制也隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而得到密切的關(guān)注和廣泛的研究。近年來，該領(lǐng)域取得許多成果，如PD形式姿態(tài)控制[1]、非線性最優(yōu)化控制[2]、自適應(yīng)控制[3]、Back-stepping控制[4]、滑?？刂芠5]等。上述的這些非線性控制方法雖然能保證閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定，但是只得到系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定。因此，從時(shí)間優(yōu)化的角度來看，保證控制系統(tǒng)有限時(shí)間收斂的控制方法[6-9]才是時(shí)間最優(yōu)的控制方法。此外，與其他控制方法相比，在有限時(shí)間控制下的閉環(huán)系統(tǒng)還表現(xiàn)出更高的控制精度及更好的抗擾動(dòng)性。由于有限時(shí)間控制算法擁有上述的優(yōu)越性，所以近年來其在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用也得到了廣泛的重視。

Jin等[10]較早將有限時(shí)間收斂特性的終端滑模應(yīng)用于姿態(tài)跟蹤控制中，取得較好控制效果。但終端滑模具有奇異性，所以Li等[11]采用非奇異終端滑模對控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，避免在輸入中出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象。另外，Hong等[12]基于齊次分離準(zhǔn)則為機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制器。采用相同方法，Du等[13]利用四元數(shù)將姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為Lagrange形式，分別設(shè)計(jì)了局部與全局姿態(tài)有限時(shí)間控制器；而方輝等[14]則針對修正羅德里格參數(shù)描述的Lagrange模型，提出航天器局部有限時(shí)間控制器。李貴明等[15]則將加冪積分器與齊次理論結(jié)合設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器，不但抑制了擾動(dòng)力矩，還使?fàn)顟B(tài)有限時(shí)間收斂到原點(diǎn)的鄰域； Du等[16]利用類似方法設(shè)計(jì)全局有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制器，并且將其拓展到姿態(tài)同步的應(yīng)用中。雖然上述姿態(tài)控制器取得有限時(shí)間特性，但對于存在慣性不確定與外部擾動(dòng)時(shí)，這些控制器的魯棒性能不佳或者需要知道這些不確定的邊界，而這在實(shí)際應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的。

針對存在慣性不確定及外部干擾的剛體航空航天飛行器，本文提出了一類由四元數(shù)作為姿態(tài)描述的飛行器自適應(yīng)有限時(shí)間控制器。首先，將飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成類Lagrange模型，進(jìn)而寫成狀態(tài)空間形式。然后，分兩步設(shè)計(jì)控制律：第一步是標(biāo)稱控制，它是連續(xù)但不光滑的，而且能在沒有參數(shù)不確定與外部擾動(dòng)時(shí)有限時(shí)間穩(wěn)定二階姿態(tài)系統(tǒng)；第二步為補(bǔ)償控制，采用自適應(yīng)積分滑模方法，補(bǔ)償系統(tǒng)的總不確定，保證控制目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。所設(shè)計(jì)的姿態(tài)穩(wěn)定控制器能有限時(shí)間鎮(zhèn)定系統(tǒng)，抑制內(nèi)外擾動(dòng)，取得更高的控制精度。另外，不需要事先知道總不確定的邊界，具有很強(qiáng)的實(shí)用意義。

1　系統(tǒng)與問題描述

1.1有限時(shí)間穩(wěn)定定理

首先給出有限時(shí)間穩(wěn)定的相關(guān)定義，考慮如下的非線性系統(tǒng)：

(1)

式中f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(0)=0。

如果系統(tǒng) (1) 是Lyapunov穩(wěn)定的，而且存在一個(gè)時(shí)間函數(shù)T(x)，使得對于所有的t≥T(x)，有x(t)=0，則稱系統(tǒng) (1) 是有限時(shí)間穩(wěn)定的；如果具有全局性，則稱全局有限時(shí)間穩(wěn)定。

為便于分析，引入齊次函數(shù)的定義，對于連續(xù)函數(shù)V(x)和(r1,…,rn)∈Rn，ri>0，如果對于任意的ε>0，存在標(biāo)量k，滿足：

則稱函數(shù)V(x)關(guān)于(r1，…，rn)具有齊次度k。

令f(x)=(f1(x)，…，fn(x))T，若對于任意的ε>0，存在標(biāo)量k，滿足：

則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于(r1，…，rn)具有齊次度k。

引理1[8]如果系統(tǒng)(1)具有負(fù)的齊次度，即k<0，并且其原點(diǎn)具有漸近穩(wěn)定性，那么系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

1.2航天器姿態(tài)系統(tǒng)模型

飛行器姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述方法有方向余弦、歐拉角、四元數(shù)和修正的羅德里格參數(shù)等。本文采用四元數(shù)來描述剛體飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)，其表達(dá)式為

(2)

考慮飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

(3)

式中J∈R3×3為正定的對稱矩陣，表示飛行器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；τ為飛行器的姿態(tài)控制力矩；d為有界的外部干擾向量。

2　控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

上述姿態(tài)模型分別采用四元數(shù)與歐拉角速度作為變量來表示運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)方程，可在此先將其轉(zhuǎn)化為Lagrange模型，再寫成狀態(tài)空間的形式，以便于控制器的設(shè)計(jì)。

2.1基于四元數(shù)的Lagrange模型及狀態(tài)空間

命題1：根據(jù)假設(shè)q0(t)≠0對t≥0，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)可寫成下面Lagrange形式：

(4)

其中

D=MTd+d′

(5)

(6)

其中

再將J=J0+ΔJ代入式(6)可得式(4)，證畢。

(7)

其中

2.2魯棒有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

對式(7)采用如下基本控制器：

(8)

其中，w=[w1,w2,w3]T∈R3為實(shí)際控制輸入。w的設(shè)計(jì)分為兩部分，即w=wn+wc(wn為標(biāo)稱控制，wc為不確定控制)。標(biāo)稱控制設(shè)計(jì)是在無擾動(dòng)情況下使系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)原點(diǎn)，補(bǔ)償控制是在總的不確定擾動(dòng)下也能完成有限時(shí)間控制目標(biāo)。

定理1考慮如下二階積分鏈系統(tǒng)：

(9)

對于任一個(gè)α2∈(0,1)，如下狀態(tài)反饋控制器能夠使系統(tǒng)(9)在平衡點(diǎn)x=0處有限時(shí)間收斂：

(10)

其中，參數(shù)k1,k2>0使得多項(xiàng)式s2+k2s+k1是Hurwitz的，α1,α2滿足α1=α2/(2-α2)；Sig(xi)αi=[sig(xi,1)αi,sig(xi,2)αi,sig(xi,3)αi]T(i=1,2)，sig(y)v=sign(y)|y|v(v>0)。

證明：選取一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

(11)

對上式關(guān)于t求導(dǎo)可得

由LaSalle不變集定理可知，系統(tǒng)(10)對于平衡點(diǎn)x=0是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)(10)對(2/(1+α1),2/(1+α1),2/(1+α1),1,1,1)的齊次度為α*=α2-1<0，根據(jù)引理1可得，標(biāo)稱控制可使系統(tǒng)(10)有限時(shí)間穩(wěn)定。另外，定理1的單輸入單輸出形式在文獻(xiàn)[8]中已有介紹，這里可理解對其的高維擴(kuò)展。

上述標(biāo)稱控制器(11)在有限時(shí)間內(nèi)使積分鏈系統(tǒng)(10)穩(wěn)定到原點(diǎn)，但對于受內(nèi)外部擾動(dòng)影響的姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)(3)或(7)不具有魯棒性。針對這個(gè)問題，本文利用自適應(yīng)滑?？刂破髋c上述提出的控制器(11)結(jié)合，在保證姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)(7)有限時(shí)間收斂的同時(shí)也使系統(tǒng)具有魯棒性。在設(shè)計(jì)控制器之前，首先定義如下積分滑模流形：

(12)

定理2考慮系統(tǒng)(7)，若總不確定擾動(dòng)滿足有界假設(shè)，則控制律：

(13)

可使姿態(tài)系統(tǒng)軌跡(7)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，其中Sign(s)=[sign(s1),sign(s2),sign(s3)]T。

注1：由于不連續(xù)控制的原因，閉環(huán)系統(tǒng)會出現(xiàn)抖動(dòng)現(xiàn)象。這種高頻振動(dòng)會影響控制性能，嚴(yán)重時(shí)會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了消小抖振，采用飽和函數(shù)代替開關(guān)符號函數(shù)：

Sat(s)=[sat(s1),sat(s2),sat(s3)]

(14)

2.3魯棒自適應(yīng)有限時(shí)間控制律設(shè)計(jì)

控制律(13)可保證姿態(tài)誤差系統(tǒng)(7)的穩(wěn)定性和魯棒性，但增益需要滿足不等式，然而實(shí)際工程中，總的不確定擾動(dòng)邊界是很難獲得，因此下面提出一種自適應(yīng)的補(bǔ)償控制律的設(shè)計(jì)方法，控制增益能夠根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)自動(dòng)調(diào)節(jié)，從而不需要事先知道系統(tǒng)不確定的界。

(15)

證明：首先選擇一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

其中

由引理可得系統(tǒng)(6)或(7)能在有限時(shí)間收斂到原點(diǎn)。

3　仿真與分析

為了驗(yàn)證提出的有限時(shí)間控制器的有效性，利用MATLAB/SIMULINK軟件，對姿態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。為了對比，將經(jīng)典PID控制器：

(21)

與提出的控制器同時(shí)進(jìn)行仿真。航天器模型和控制器參數(shù)如表1所示，其中不確定慣性量和外部力矩干擾也在考慮當(dāng)中。在仿真中，用d′代替d便于比較不同控制器的控制性能，見表2。

表1　航天器模型與控制參數(shù)

表2　不同控制器下仿真對比結(jié)果

圖1～圖4中分別描繪四元數(shù)、角速度、滑模變量與輸入控制量隨時(shí)間變化曲線，系統(tǒng)狀態(tài)在約5.2 s以后收斂。通過圖2～圖4的對比，可發(fā)現(xiàn)利用自適應(yīng)律和飽和函數(shù)取代開關(guān)函數(shù)的方法，都能減少滑模變量的抖振。由圖2、圖3可看出抖振的水平減小一半，并且輸入幅值隨之減小。另外，觀察圖3、圖5可知增益值在滑模變量到達(dá)滑模面后即趨于穩(wěn)定。

圖1　四元數(shù)響應(yīng)曲線

(a) 角速度變化曲線

(b) 滑模曲線

(c) 轉(zhuǎn)矩輸入

(a) 角速度變化曲線

(b) 滑模曲線

(c) 轉(zhuǎn)矩輸入

(a) 角速度變化曲線

(b) 滑模曲線

(c) 轉(zhuǎn)矩輸入

圖5　基于定理3和(14)自適應(yīng)增益

圖6顯示利用經(jīng)典PID控制器對有相同初值、不同慣性不確定及外界擾動(dòng)的姿態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行控制，其穩(wěn)定時(shí)間約為11.3 s。在第一種擾動(dòng)下，設(shè)計(jì)的2種飽和函數(shù)有限時(shí)間控制算法的仿真結(jié)果相似。同樣，由于提出的控制器的參數(shù)沒有改變，所在第二種擾動(dòng)下的仿真結(jié)果變化也不大。由圖1～圖6中結(jié)果對比可明顯發(fā)現(xiàn)，指數(shù)收斂率緩慢；眾所周知，PID控制器參數(shù)調(diào)節(jié)不易。其次，從圖6可知，當(dāng)初值相同、慣性不確定及外界擾動(dòng)不同時(shí)，其控制精度與魯棒性變差，不如提出的控制器 (8)、(10)和(15)那樣具有較強(qiáng)的實(shí)用性。詳細(xì)的對比結(jié)果在表2中給出，其中收斂時(shí)間指角速度ω進(jìn)入并保持在范圍|ωi|≤0.02(i=1,2,3)內(nèi)所需的時(shí)間，其中魯棒有限時(shí)間控制器在受到2種不確定擾動(dòng)時(shí)，基本變化不大，而用飽和函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)的自適應(yīng)有限時(shí)間控制器的控制精度雖然也發(fā)生變化，但是還能一直保持在較高的范圍內(nèi)。

(a)第一種情況

(b) 第二種情況

4　結(jié)論

(1)將狀態(tài)空間概念引入以四元數(shù)表示的剛體姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)中，有利于各種非線性控制算法的應(yīng)用。

(2)基于所述轉(zhuǎn)化模型設(shè)計(jì)的魯棒有限時(shí)間控制器使得姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)在內(nèi)外部擾動(dòng)下能快速收斂，并且不需要知道擾動(dòng)的邊界，具有很強(qiáng)的實(shí)用性和較高的控制精度。

(3)用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)可有效減小滑?？刂茙淼亩墩?，提高了控制精度，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。

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(編輯：呂耀輝)

Adaptive finite-time control for spacecraft attitude stabilization

GAO Ji-wei, CAI Yuan-li

(Institute of Control Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an710049, China)

In this paper, the finite time feedback control laws were designed for rigid spacecraft attitude control problem. Attitude system model was converted into Lagrange model based on unit quaternion in the presence of inertia uncertainties and external disturbances, and then initially expressed as state-space form. Next, nominal controller was designed based on homogenous theory, and further adaptive sliding mode approach was adopted to steer attitude system to the origin with the lumped uncertainties, while rigorous finite-time stable proofs were achieved in light of the Lyapunov theory. This algorithm requires no information about the lumped uncertainties, and it possesses practicability and effectiveness for realistic systems. Finally, numerical simulation analysis shows that these methodologies can achieve faster convergence, higher control accuracy and stronger robustness.

spacecraft attitude control；finite-time stability；robustness；adaptive sliding mode

2014-11-27；

2015-03-18。

國家自然科學(xué)基金(61202128, 61463029)；宇航動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(2011ADL-JD0202)。

高計(jì)委(1985—)，男，博士生，研究方向?yàn)榛？刂萍霸诤教炱髦械膽?yīng)用。E-mail:jwgao2012@163.com

蔡遠(yuǎn)利(1963—)，男，教授/博導(dǎo)，研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)控制與仿真。E-mail:ylicai@mail.xjtu.edu.cn

V448.2

A

1006-2793(2016)02-0275-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.02.022