方　輝

(渤海大學(xué) 工學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

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線性矩陣不等式的H∞跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法

方輝

(渤海大學(xué) 工學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

為提高線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的跟蹤性能，提出基于線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)的H∞跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法。利用LMI技術(shù)和Lyapunov函數(shù)方法，以H∞跟蹤控制參數(shù)為性能指標(biāo)，給出基于觀測(cè)器的跟蹤控制器存在條件。結(jié)果表明：閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線可實(shí)現(xiàn)對(duì)參考信號(hào)的跟蹤,證明定理所給出的跟蹤控制器及觀測(cè)器求解方法的有效性。

H∞跟蹤控制器； 線性矩陣不等式； Lyapunov函數(shù)

0　引　言

系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和跟蹤性能是系統(tǒng)控制的兩個(gè)典型問題，然而，相對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，跟蹤控制器的設(shè)計(jì)更加困難。跟蹤控制是指通過設(shè)計(jì)跟蹤控制器使系統(tǒng)的狀態(tài)變量能夠跟蹤某一參考信號(hào)的狀態(tài)變量。文獻(xiàn)[1]將反饋線性化技術(shù)引入到跟蹤控制器的系統(tǒng)化設(shè)計(jì)過程中。通過這種方法設(shè)計(jì)的控制器并不能確保系統(tǒng)的有效性[2]。文獻(xiàn)[3] 研究了非線性系統(tǒng)進(jìn)的H∞跟蹤控制。文獻(xiàn)[4]處理存在外部干擾的H∞輸出反饋控制線性矩陣不等式條件。針對(duì)任意有界參考信號(hào)輸入，采取基于觀測(cè)器的跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法，這種方法優(yōu)越性在減小跟蹤誤差方面有所體現(xiàn)[5]。此外，在控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，主要考慮的理論基礎(chǔ)是Lyapunov穩(wěn)定性理論，隨著求解凸優(yōu)化問題內(nèi)點(diǎn)法的提出，LMI方法在控制理論領(lǐng)域中被廣泛采用。諸多控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題可通過求解線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題解決。隨著Matlab軟件推出求解矩陣不等式問題的LMI工具箱，使得線性矩陣不等式的求解過程大大簡(jiǎn)化，進(jìn)一步促進(jìn)了線性矩陣不等式方法在系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和跟蹤性能相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用。鑒于上述分析，筆者針對(duì)線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，通過線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)，利用Lyapunov函數(shù)方法，設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的H∞跟蹤控制器存在條件。

1　問題描述

考慮如下的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程，將針對(duì)該模型設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的跟蹤控制器。

(1)

式中：x(t)——系統(tǒng)的狀態(tài)變量；

u(t)——系統(tǒng)輸出的控制變量；

ω(t)——系統(tǒng)的擾動(dòng)變量；

y(t)——系統(tǒng)的輸出變量；

A、B、C、E——系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤控制，考慮參考模型如下[5]：

(2)

式中：xr(t∈)Rn——參考狀態(tài)變量；

r(t)——有界參考輸入變量；

Ar——穩(wěn)定矩陣。

采用H∞跟蹤控制性能指標(biāo)[5]：

(3)

Q——正定的加權(quán)矩陣；

γ——給定的性能衰減指標(biāo)。

為處理該系統(tǒng)的跟蹤控制問題，選取基于觀測(cè)器的跟蹤控制器模型為：

(4)

L——需要設(shè)計(jì)的觀測(cè)器增益；

K——需要設(shè)計(jì)的跟蹤控制器增益。

(5)

綜合式(1)、式(2)、式(4)和式(5)經(jīng)過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理后可得到閉環(huán)系統(tǒng)：

(6)

式中：ψ(t)=[eT(t)xT(t)xrT(t)]T；

因此，考慮定義ψ(t)，H∞跟蹤控制性能指標(biāo)可寫成：

(7)

文中的目的是設(shè)計(jì)控制器 和觀測(cè)器 ，使得閉環(huán)系統(tǒng)式(6)能夠滿足H∞跟蹤控制性能指標(biāo)。

引理1將被引入到文中的證明過程中。

(1)S<0；

(2)S22<0，S11-S21TS22-1S21<0。

2　控制器設(shè)計(jì)

基于線性矩陣不等式方法，給出跟蹤控制器及觀測(cè)器的存在條件。

定理1 考慮閉環(huán)系統(tǒng)式(6)，對(duì)于給定的γ>0，如果存在正定矩陣P1，X，P3，以及矩陣Y和Z，使得下述矩陣不等式成立：

(8)

證明定義如下Lyapunov函數(shù)

V(ψ(t))=ψT(t)Pψ(t),P>0,

(9)

對(duì)Lyapunov函數(shù)式(9)求導(dǎo)可得:

(10)

結(jié)合式(3)、式(6)和式(9)，以及關(guān)系式：

(11)

(12)

由于V(ψ(tf))>0，V(ψ(0))=0，故系統(tǒng)的H∞跟蹤控制性能指標(biāo)，可通過式(12)保證。

(13)

(14)

(15)

3　仿真實(shí)例

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤控制，選取跟蹤參考模型如下：

圖1　狀態(tài)變量與參考信號(hào)狀態(tài)變量響應(yīng)曲線

Fig. 1Statevariableandtimerespondingofreferencesignalstatevariable

圖2　狀態(tài)變量與參考信號(hào)狀態(tài)變量響應(yīng)曲線

Fig. 2State variable and time responding of reference signal state variable

圖3　跟蹤控制器的輸出信號(hào)的響應(yīng)曲線

Fig. 3Time responding of tracking controller output signal

4　結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)線性系統(tǒng)模型，通過線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)，研究了H∞跟蹤控制器設(shè)計(jì)問題。首先，推導(dǎo)出實(shí)現(xiàn)跟蹤控制的閉環(huán)系統(tǒng)模型，然后，利用Lyapunov函數(shù)方法，結(jié)合H∞跟蹤控制性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出基于觀測(cè)器的跟蹤控制器存在條件。該存在條件經(jīng)過一系列矩陣不等式變換方法轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式條件，可通過Matlab軟件LMI工具箱求解出跟蹤控制器及觀測(cè)器增益參數(shù)。最后，利用數(shù)值仿真實(shí)例得出結(jié)論,閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線可有效地跟蹤參考信號(hào),進(jìn)一步證明了定理提出跟蹤控制器及觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法的有效性。

[1]KUNG C C, LI H H. Tracking control of nonlinear systems by fuzzy model-based controller[J]. IEEE International Conference on fuzzy systems 1997, 12(3): 623-628.

[2]YING H. Analytical analysis and feedback linearization tracking control of the general Takagi-Sugeno fuzzy dynamic systems[J]. IEEE transaction on systems, man, and cybernetics, 1999, 29(3): 290-298.

[3]LIN C, WANG Q G, LEE T H. output tracking control for nonlinear systems via T-S fuzzy model approach [J]. IEEE transaction on systems, man, and cybernetics, 2006, 36(2): 450-457.

[4]MANSOURI B, MANAMANNI N, GUELTON K, et al. Output feedback LMI tracking control conditions with criterion for uncertain and disturbed T-S models[J]. Information sciences, 2008, 10 (7): 446-457.

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[6]BOYD S, GHAOUI L E, FERON E, etal. Linear matrix inequalities in system and control theory[M]. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994.

(編輯李德根)

Design ofH∞tracking controller with linear matrix inequality

FANGHui

(College of Engineering, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper introduces the design of tracking controller via linear matrix inequality (LMI), a method designed to improve the tracking control performance of continuous-time linear system. The study using LMI technique and Lyapunov function method and building on tracking controlling parameter as performance index produces the sufficient condition for tracking controller based on observer. The results show that the state response of close-loop system allows

ignals to be tracked, verifying the validity of tracking controller and observer design method.

H∞tracking controller; linear matrix inequality; Lyapunov function

2015-12-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61304149)；遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015020042)；遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長(zhǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(LJQ2015003)

方輝(1980-)，男，實(shí)驗(yàn)師，碩士，研究方向：非線性系統(tǒng)控制理論，E-mail：57527060@qq.com。

10.3969/j.issn.2095-7262.2016.01.019

TN911. 7

2095-7262(2016)01-0085-04

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