吳文堯

浙江省寧波市北侖中學(xué)　(315800)

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解題以后還可以做些什么？

吳文堯

浙江省寧波市北侖中學(xué)(315800)

圓錐曲線解答題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，有許多同學(xué)抱怨，雖然做了大量的圓錐曲線練習(xí)題，但解題水平提高不是很明顯,在應(yīng)試中對圓錐曲線解答題還是心有余悸．出現(xiàn)這種現(xiàn)象的其中一個很重要原因是：在解題訓(xùn)練中，為解題而解題,缺少了一個很重要的環(huán)節(jié)——解題以后的總結(jié)和反思.本文以一道圓錐曲線試題為例,談一談解題以后還可以做些什么,從而達(dá)到通過少量的訓(xùn)練提高解題水平的目的.

圖1

一、看一看——結(jié)論是否正確，過程是否合理和完整

“會而不對,對而不全”是高中數(shù)學(xué)考試中最容易出現(xiàn)的問題,每做完一道試題,看一看結(jié)論是否正確,過程是否合理和完整,是防止這種情況發(fā)生的最有效的手段.不難發(fā)現(xiàn),本題是一道比較常規(guī)有關(guān)圓錐曲線的定值問題,相信多數(shù)同學(xué)能解決這個問題.下面給出的證明方法之一可能是最容易想到的方法,不妨請大家先看一看,其解題過程是否存在不足之處．

分析:由于直線l是過點M的任意直線,直線l的斜率有可能不存在,所以上述解題過程忽視了斜率不存在的情況.故本題需對直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論.其完整解答如下:

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的斜率為k(以下同解法一).

評注：在運(yùn)用直線方程解題時，忽視直線方程的適用范圍是同學(xué)們最容易犯的錯誤之一；對于本題若先考慮直線l的斜率不存在時的情況，不但可使解題過程顯得完整，還可從中猜想其定值的大小，在解題中起“導(dǎo)航”的作用．

二、理一理——解決這類問題的思想方法及解題規(guī)律

平時解題訓(xùn)練的目的是提高解決問題的能力，而解題后的反思和總結(jié)是收獲解題經(jīng)驗、提高能力的重要環(huán)節(jié)，因此解完一道題后理一理解決這類問題的思想方法是什么？是否有一般的解題規(guī)律？應(yīng)該成為我們自覺的行動，這樣才能做到舉一反三，提高復(fù)習(xí)的效果．

由于本題是一個圓錐曲線中的定值問題，而定值問題的本質(zhì)是與之相關(guān)的函數(shù)恰是一個常數(shù)函數(shù)，所以可運(yùn)用函數(shù)的觀點分析解決問題，即應(yīng)以函數(shù)的思想為解題的指導(dǎo)思想．

解決定值問題的解題程序為可歸納為：一選，二求，三定值.

一選:選擇參變量.需要證明為定值的量在通常情況下“照理”應(yīng)該是個變量,它應(yīng)該隨某一個量的變化而變化,可選擇這個量為參變量(有時可選擇兩個參變量,然后由其它輔助條件消去其中之一).

二求:求出函數(shù)的解析式.即把需要證明為定值的量表示成關(guān)于上述參變量的函數(shù).

三定值:化簡函數(shù)解析式得到定值.由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與參變量的大小無關(guān),故求出的函數(shù)必為常數(shù)函數(shù),所以只須對上述函數(shù)的解析式進(jìn)行必要的化簡即可得到定值.

三、試一試——解決本題是否還有更好的方法

運(yùn)算復(fù)雜是圓錐曲線問題成為難點的一個重要原因，要突破這個難點一般可通過以下兩個途徑，其一是努力提高自己的運(yùn)算能力，特別是有關(guān)字母運(yùn)算的能力；其二是注意解題方法的選擇，努力簡化運(yùn)算過程．所以在平時的訓(xùn)練中要重視一題多解，注意各種方法的對比，只有這樣才能在應(yīng)試中能選擇最合理、最簡捷的解法．

對于本題，運(yùn)算過程的繁簡程度取決于目標(biāo)函數(shù)的自變量的選擇．前面給出的證法一是以直線l的斜率為目標(biāo)函數(shù)的變量；注意到直線l過x軸上的一個點F1(-1,0)，所以可設(shè)直線l的方程為x=ty-1,(其中t為斜率的倒數(shù))，即可選擇t為目標(biāo)函數(shù)的變量．

證法二(以直線斜率的倒數(shù)為目標(biāo)函數(shù)變量):

評注：證法二與方法一本質(zhì)上相同，只是在直線方程形式的選擇上作了一點改變，其運(yùn)算過程顯得比方法一要簡捷一些；合理選擇直線方程也是簡化解析幾何運(yùn)算過程的重要途徑之一．

注意到動直線l經(jīng)過x軸上的定點F1是橢圓的焦點，因此也可考慮利用橢圓的焦半徑公式(角度形式)解之，所以也可選擇直線l的傾斜角為目標(biāo)函數(shù)的變量．

證法三(以直線AB的傾斜角為目標(biāo)函數(shù)變量)：設(shè)直線AB的傾斜角為θ,不妨設(shè)|AF|≥|BF|.

評注：本證法之所以比前面的兩證法要簡捷，是因為借助了橢圓的焦半徑公式，充分利用其幾何意義解決問題．關(guān)于圓錐曲線的焦半徑公式詳見文[1]．

證法一、二，其運(yùn)算過程比較復(fù)雜的原因是無法回避“把直線方程代入橢圓方程并整理得……”這樣的過程．若注意到AB是橢圓的一條弦，因此也可以點A,B對應(yīng)的參數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的變量，再利用“直線AB過橢圓的左焦點”把雙變量問題化歸為單變量問題．即以橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的變量．

評注：本解法的基本思路是把原問題化歸為一有關(guān)三角函數(shù)的定值問題；所以必須有很好的三角變換的功底才能駕馭這種證法．

四、想一想——原問題的逆命題是否正確？如何證明之

原命題與其逆命題雖然不一定同是真命題，但當(dāng)它們同是真命題時，解決它們的思想方法必有許多相似之處，因此在做完一個題后，習(xí)慣性的想一想其逆命題是否成立，不但能加深對原問題的理解和掌握，而且還能在復(fù)習(xí)應(yīng)試中收到事半功倍的效果．本題的逆命題即是一個逆向的定值問題，下面討論它的正確性．

五、探一探——原問題是否可以推廣到一般情況

原問題給出的是一個特殊的橢圓，對于這個橢圓具有這樣的性質(zhì)，我們很自然的聯(lián)想到對于一般的橢圓是否也具有這種漂亮的性質(zhì)？即原問題是否可以推廣到一般的情況？

[1]吳文堯.介紹一組優(yōu)美的圓錐曲線焦半徑公式[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊.2012,3．