集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)是高考的必考內(nèi)容，尤其是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)一直是命題者的“最愛”.然而同學(xué)們解題時(shí)卻時(shí)常因?yàn)楦拍畈磺逦?，解題思路不嚴(yán)謹(jǐn)，犯下種種錯(cuò)誤，如何是好呢？尋本溯源，剖析錯(cuò)誤原因，對癥下藥，標(biāo)本兼治.

下面我們就結(jié)合例題，對集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)易錯(cuò)題來一個(gè)錯(cuò)因大揭秘.

錯(cuò)因1.對基本知識的理解不到位

有些同學(xué)由于沒有掌握數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)、公式，或者是未掌握它們成立的條件，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

例1已知A={1，2}，B={x|x∈A}，C={x|xA}，則下列說法正確的.

①A=B；②B={1}，{2}或{1，2}；③CA；④A∈C.

錯(cuò)解：②③.

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)選的原因是沒有正確認(rèn)識集合B，C.誤認(rèn)為B={1}，{2}或{1，2}，C={1}，{2}或{1，2}或.認(rèn)識一個(gè)集合首先看集合的表示方法，如果是描述法，要弄清代表元素是什么，它有什么性質(zhì)，另外由集合的定義，集合是一類明確的對象的全體，即凡是符合要求的元素都要在集合中.本例中集合B是由集合A中所有元素組成的集合，所以A=B={1，2}，集合C是由集合A的所有子集組成的集合，所以C={{1}，{2}，{1，2}，}.

正解：①④

例2已知A={x|-1≤x≤4}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，求當(dāng)BA時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍.

錯(cuò)解：要使BA，應(yīng)有m+1≤2m-1m+1≥-12m-1≤4，解得2≤m≤52.

錯(cuò)因剖析：忽略了B=時(shí)的情況，因?yàn)楫?dāng)B=時(shí)，BA亦成立.

正解：（1）當(dāng)B≠時(shí)，由錯(cuò)解可得：2≤m≤52.

（2）當(dāng)B=時(shí)，m+1>2m-1，

解得m<2，所以m的取值范圍為m≤52.

點(diǎn)評：涉及集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算和子集關(guān)系時(shí)，要注意集合是否為空集.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解題中忽略空集，則易產(chǎn)生丟解的情況.解題時(shí)一定要慎重審題，周密考慮.

變式：將“B={x|m+1≤x≤2m-1}”改為“B=[m+1，2m-1]”，其余條件不變.

因?yàn)閷⒓螧寫成區(qū)間[m+1，2m-1]的形式，就一定有m+1<2m-1，集合B也不可能是空集.

故要使BA，應(yīng)有m+1<2m-1m+1≥-12m-1≤4解得2

例3已知函數(shù)f（x）=1+a·2x2x+b是奇函數(shù)，并且函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），求實(shí)數(shù)a，b的值.

錯(cuò)解：∵f（x）是奇函數(shù)，f（0）=0，

∴a=-1.

又函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），

∴b=-73.

錯(cuò)因剖析：并不是所有的奇函數(shù)都滿足f（0）=0，比如函數(shù)f（x）=1x.由于該例中“0”是否在定義域范圍內(nèi)不明確，所以不可用f（0）=0來求解.

正解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即

1+a·2-x2-x+b+1+a·2x2x+b=0，得（ab+1）22x+2（a+b）2x+ab+1=0，

所以ab+1=0a+b=0，得a=1b=-1或a=-1b=1，

又f（1）=3，所以1+2a2+b=3，即2a-3b=5，

所以a=1，b=-1.

點(diǎn)評：該例也可直接利用f（1）=3f（-1）=-3來求解.

概念、定義、基本公式是最基本的，也是最重要的，它們是我們解題的依據(jù).正所謂“磨刀不誤砍柴工”，花一定的時(shí)間“過課本”，建立起正確的知識框架，這樣才能有效減少錯(cuò)誤的發(fā)生.

錯(cuò)因2.審題不嚴(yán)

審題，是解題的第一步，不少同學(xué)在審題過程中會發(fā)生讀題不清楚、未發(fā)現(xiàn)隱含條件及字母的意義含糊不清等問題，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生.

例4設(shè)f（x）=x+3（x>10）f（f（x+5））（x≤10），則f（5）的值是.

錯(cuò)解：f（5）=f（f（10））=f（15）=18.

錯(cuò)因剖析：由于審題不嚴(yán)，對分段函數(shù)的第二段表達(dá)式缺乏正確的認(rèn)識，誤認(rèn)為f（f（10））=f（15），其實(shí)f（10）=f（f（15））.

正解：f（5）=f（f（10））=f（f（f（15）））

=f（f（18））=f（21）=24.

例5求曲線S：y=3x-x3過點(diǎn)A（2，-2）的切線方程.

錯(cuò)解：∵y′=3-3x2，∴y′|x=2=-9，

∴所求的切線方程為y+2=-9（x-2），即y=-9x+16.

錯(cuò)因剖析：曲線與直線相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，求曲線過某一點(diǎn)的切線方程，這一點(diǎn)未必是切點(diǎn)，有可能以另一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線剛好過該點(diǎn).因此應(yīng)注意求曲線“過某一點(diǎn)的切線”與“在某一點(diǎn)的切線”是有區(qū)別的.

正解：y′=3-3x2，設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則P處的切線方程方程為l：y-y0=（3-3x20）（x-x0），由點(diǎn)A在切線l上有：-2-y0=（3-3x20）（2-x0），

又點(diǎn)P在曲線S上，有y0=3x0-x30，代入上式可知：x30-3x20+4=0.

∴（x0-2）2（x0+1）=0，即x0=2或x0=-1.

當(dāng)x0=2時(shí)，P為（2，-2），切線方程為y=-9x+16；

當(dāng)x0=-1時(shí)，P為（-1，-2），切線方程為：y=-2.

綜上，過點(diǎn)A的切線方程為y=-9x+16或y=-2.

例6已知函數(shù)f（x）=[x[x]]（n

錯(cuò)解：當(dāng)1

錯(cuò)因剖析：由于讀題不清，上述解法中出現(xiàn)了以下錯(cuò)誤：一是把a(bǔ)n看成了函數(shù)值；二是當(dāng)[x]=n時(shí)，誤認(rèn)為一定有x=n，從而出現(xiàn)了[x[x]]=[nx]=n[x]=n2的錯(cuò)誤.

正解：當(dāng)1

錯(cuò)因3.忽視運(yùn)算規(guī)律

在解題中如果不能正確使用運(yùn)算法則和計(jì)算公式，計(jì)算時(shí)一定會出現(xiàn)錯(cuò)誤；不重視運(yùn)算技巧，缺乏簡化計(jì)算的技能，則計(jì)算過程繁瑣，容易導(dǎo)致失誤.

例7化簡：3xy2·xy-1·xy·（xy）-1（xy≠0）.

錯(cuò)解：原式=[xy2·（xy-1）12]13·（xy）12·（xy）-1

=x13+16+12-1·y23-16+12-1

=x0·y0

=1.

錯(cuò)因剖析：只有當(dāng)a>0時(shí)，運(yùn)算性質(zhì)（am）n=am·n才一定成立.本題中x，y是同號的，可同正亦可同負(fù)，當(dāng)x，y是同負(fù)時(shí)化簡的結(jié)果應(yīng)是-1.

正解：原式=[xy2·（xy-1）12]13·（xy）12·（xy）-1

=x13·y23|x|16|y|-16·|x|-12·|y|-12

=x13·|x|-13=1，x>0-1，x<0.

點(diǎn)評：指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟是：有括號先算括號里面的；無括號先做指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì).

例8已知x+y=12，xy=9，且x

不當(dāng)解法：由x+y=12xy=9解得x=6+33y=6-33

或x=6-33y=6+33，又x

故x=6-33y=6+33，帶入x12-y12x12+y12，由于式子繁瑣，無法化簡或化錯(cuò).

錯(cuò)因剖析：缺乏整體意識，計(jì)算過程繁瑣.

正解：x12-y12x12+y12=（x12-y12）2（x12+y12）（x12-y12）

=（x+y）-2（xy）12x-y.①

∵x+y=12，xy=9，②

∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=122-4×9=108.

∵x

將②③式代入①式，得x12-y12x12+y12=12-2×912-63=-33.

錯(cuò)因4.邏輯性錯(cuò)誤

邏輯性錯(cuò)誤表現(xiàn)為偷換概念、循環(huán)論證、不等價(jià)變換、利用虛假依據(jù)等，也就是在解題過程中出現(xiàn)了違犯邏輯思維的規(guī)律而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

例9函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a、b的值.

錯(cuò)解：f′（x）=3x2+2ax+b，由題意知

f′（1）=0，且f（1）=10，

即2a+b+3=0，且a2+a+b+1=10，

a=4，b=-11或a=-3，b=3.

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)誤的主要原因是把x=x0為極值點(diǎn)的必要條件當(dāng)作了充要條件，

x=x0為極值點(diǎn)的充要條件是f′（x0）=0，且x0附近兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值符號相反，所以還要做下面的驗(yàn)證：

當(dāng)a=4，b=-11時(shí)，

f′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），

在x=1附近兩側(cè)的符號相反，

∴a=4，b=-11.

當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f′（x）=3（x-1）2，

在x=1附近兩側(cè)的符號相同，

所以a=-3，b=3舍去.

例10已知函數(shù)f（x）在R上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，試判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性.

錯(cuò)解：若y=f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=f（-0）=-f（0），

∴f（0）=0，這與f（x）在閉區(qū)間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0矛盾；

因此f（x）不是奇函數(shù)，所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù).

錯(cuò)因剖析：一個(gè)函數(shù)的奇偶性情況有四種，并不是除了奇函數(shù)就是偶函數(shù)，上述推理邏輯上有漏洞.

正解：若y=f（x）為偶函數(shù)，

則f（-x）=f（2-（x+2））=f（2+（x+2））=f（4+x）=f（x），

∴f（7）=f（3）=0，這與f（x）在閉區(qū)間[0，7]上，

只有f（1）=f（3）=0矛盾；因此f（x）不是偶函數(shù).

若y=f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=f（-0）=-f（0），

∴f（0）=0，這與f（x）在閉區(qū)間[0，7]上，

只有f（1）=f（3）=0矛盾；因此f（x）不是奇函數(shù).

綜上可知：函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

錯(cuò)因5.策略性錯(cuò)誤

策略性錯(cuò)誤是指在解題過程中，選擇的解題方法明顯地增加了解題的難度使問題復(fù)雜化，或者是因?yàn)榻忸}思路的不正確導(dǎo)致問題得不到解決.它體現(xiàn)在以下方面，一是方法不當(dāng)；二是不能正確轉(zhuǎn)化問題.

例11已知函數(shù)f（x）=3x，x∈[0，1]92-32x，x∈（1，3]，當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，f（f（t））∈[0，1]，則t的取值范圍是.

不當(dāng)解法：因?yàn)閒（t）=3t，t∈[0，1]92-32t，t∈（1，3]

所以討論寫出f（f（t））的表達(dá)式，再解不等式f（f（t））∈[0，1]求出t的取值范圍.

不當(dāng)解法剖析：以上思路理論上可行，但實(shí)際操作時(shí)難度太大，計(jì)算繁瑣，要想得到結(jié)果比較困難，這是方法不當(dāng)造成了解題困難.

正解：令f（t）=u，畫出f（x）的圖象，根據(jù)圖象由f（u）∈[0，1]解出u的范圍：[73，3]∪{0}，再結(jié)合圖象解出t的取值范圍[log373，1].

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)高考，分段函數(shù)問題一直備受“青睞”，而且基本出現(xiàn)在填空題的后六題，正確的處理方式是能畫圖的要畫圖，化抽象為直觀，能換元的要換元，化繁為簡.

錯(cuò)因6.訓(xùn)練不到位，解題時(shí)沒有走“合法程序”

縱觀近幾年江蘇高考，數(shù)學(xué)試卷越來越“回歸理性”，即試卷的整體難度下降，更注重“通性、通法”的考查，但不少考生的解題依然是“會而不對，對而不全”，分?jǐn)?shù)自然也就不高.數(shù)學(xué)功在平時(shí)，平常訓(xùn)練時(shí)，就要養(yǎng)成良好的習(xí)慣，規(guī)范解題，走“合法程序”.不走“合法程序”主要體現(xiàn)在：研究函數(shù)性質(zhì)不研究定義域；含參數(shù)不討論；求范圍不注重端點(diǎn)的取舍等方面.

例12從邊長為2a的正方形鐵片的四個(gè)角各截去一小塊邊為x的正方形（如右圖所示），再將四邊向上折起，做成一個(gè)無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比值不超過常數(shù)t.問：x取何值時(shí)，容積V有最大值.

錯(cuò)解：V′=12x2-16ax+4a2=4（3x-a）（x-a）.

因?yàn)閤2a-2x≤t所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2ta1+2t]，

這時(shí)V在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)x=a3.由問題的實(shí)際意義可知，x=a3時(shí)，Vmax=1627a3.

錯(cuò)解剖析：本例中a3與2ta1+2t的大小關(guān)系不明確，故要通過討論來解決問題.

正解：①當(dāng)a3<2ta1+2t，即t>14時(shí)，由v′=0，解得x=a3，這時(shí)V在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)x=a3.由問題的實(shí)際意義可知，x=a3時(shí)，Vmax=1627a3.

②當(dāng)a3≥2ta1+2t，即0

x=2at1+2t時(shí)，Vmax=2at1+2t（2a-4at1+2t）2=8a3t（1+2t）3.

例13已知f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，試求函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的值域.

錯(cuò)解：∵x∈[1，9]，∴l(xiāng)og3x∈[0，2]，

又y=（2+log3x）2+2+log3x2=（log3x+3）2-3.

∴ymax=（2+3）2-3=22，ymin=（0+3）2-3=6.

∴函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的值域?yàn)閇6，22].

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)誤原因是忽略了對定義域的研究，致使函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的討論范圍擴(kuò)大.y=[f（x）]2+f（x2）的定義域與f（x）的定義域不同，要使[f（x）]2+f（x2）有意義，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，即1≤x≤3.

正解：∵f（x）=2+log3x的定義域?yàn)閇1，9]，

要使[f（x）]2+f（x2）有意義，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，

∴1≤x≤3，

∴y=[f（x）]2+f（x2）的定義域?yàn)閇1，3].

又y=（2+log3x）2+2+log3x2=（log3x+3）2-3.

∵x∈[1，3]，∴l(xiāng)og3x∈[0，1]，

∴ymax=（1+3）2-3=13，ymin=（0+3）2-3=6.

∴函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的值域?yàn)閇6，13].

點(diǎn)評：解答有關(guān)函數(shù)的問題首先研究其定義域，這是解答的規(guī)范，也是思維的規(guī)范.

例14已知函數(shù)f（x）=ax+1x+2在（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解：f′（x）=2a-1（x+2）2，由函數(shù)f（x）在（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減知f′（x）≤0在（-2，+∞）內(nèi)恒成立，即2a-1（x+2）2≤0在（-2，+∞）內(nèi)恒成立，因此a≤12.

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)解中未驗(yàn)證f′（x）是否恒為零.函數(shù)f（x）在D上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件是“f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在D的任一子區(qū)間上不恒為零”.而當(dāng)a=12時(shí)f′（x）=0在（-2，+∞）恒成立，所以不符合題意，應(yīng)舍去，即正確結(jié)果是a<12.

點(diǎn)評：該例用初等數(shù)學(xué)的方法更為合理：f（x）=ax+1x+2=a+1-2ax+2，要函數(shù)f（x）=ax+1x+2在（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，只要1-2a>0，解得a<12.

（作者：夏志勇，海安縣曲塘中學(xué)）