劉保乾

(西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心， 西藏 拉薩 850000)

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再談三角形幾何不等式的s,R,r分拆證明

劉保乾

(西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心， 西藏 拉薩 850000)

對(duì)三角形幾何不等式的s,R,r分拆證明進(jìn)行了探討，討論了分拆算法和程序；大量的例子表明，文中的分拆算法雖然只是試探性的，但可以方便地解決一些難度較大的問(wèn)題；通過(guò)帶約束條件的非負(fù)分拆，解決了一類根式型不等式問(wèn)題；給出了楊學(xué)枝不等式、walker不等式的新證明；提出并初步討論了角代換可擴(kuò)展不等式.

三角形幾何不等式；非負(fù)分拆；角代換可擴(kuò)展不等式；機(jī)器證明

關(guān)于三角形幾何不等式的s,R,r分拆證明，文獻(xiàn)[1-2]筆者曾探討過(guò).由于三角形幾何不等式一直是初等數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)，許多三角形幾何不等式可化為關(guān)于s,R,r的不等式，故這類不等式的證明十分關(guān)鍵.本文擬對(duì)s,R,r不等式的非負(fù)分拆進(jìn)行專門研究，以期進(jìn)一步完善不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012[3]的功能，更好地解決實(shí)際問(wèn)題.

據(jù)本文作者考證，關(guān)于s,R,r不等式的非負(fù)分拆證明最初源于江蘇褚小光的一些論文，時(shí)間大約在1999年前后，文獻(xiàn)[2]對(duì)此背景進(jìn)行過(guò)交待.也正是因?yàn)榈椣壬止し植鹱C明過(guò)一些難度甚大且形式較復(fù)雜的不等式問(wèn)題，人們才對(duì)他高超的運(yùn)算技巧和運(yùn)算能力印象深刻，s,R,r分拆證明也開始逐漸被人們所重視和采用.

在ΔABC中，記

(1)

則由Gerretsen不等式和三角形基本不等式以及Euler不等式知x≥0,y≥0,z≥0,u≥0.如果一個(gè)不等式能夠用x,y,z,u非負(fù)表示出來(lái)，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)這個(gè)不等式的證明，這便是s,R,r分拆證明的基本思路.

以下約定：ΔABC三邊為a,b,c，半周為s，角平分線、類似中線、高分別為wa,wb,wc、ka,kb,kc和ha,hb,hc，內(nèi)切圓和外接圓半徑分別為r和R.用∑和∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.

1　一些常用的分拆單元

要實(shí)現(xiàn)一個(gè)半正定式的非負(fù)分拆證明，首先需要構(gòu)造一些基本的非負(fù)分拆單元(或分拆基，分拆項(xiàng)等).(1)式中的x,y,z,u就可以看作是基本分拆單元.

1.1楊學(xué)枝不等式

楊學(xué)枝在文獻(xiàn)[4]中提出并證明了不等式

(2)

顯然，不等式(2)強(qiáng)于Gerretsen不等式.容易證明

(2′)

即這里給出了不等式鏈(2)的一種證明.可以看出，m和n是比較強(qiáng)(小)的分拆單元.

1.2強(qiáng)于Gerretsen不等式的分拆單元

其中

e=-s2+2(R-2r)s+r(7r+10R),f=-s2-4(R-2r)s+12R2-5r2-8Rr.

可以看出，e和f也是一組很強(qiáng)的分拆單元，且次數(shù)僅僅是2次.

常見(jiàn)的有2個(gè)，分別為

(3)

注意(3)式中第2個(gè)分拆單元q要強(qiáng)一些.如果拆較弱的不等式，則用分拆單元p即可.

1.4正的分拆單元

在構(gòu)造分析表達(dá)式時(shí)，有時(shí)候需要一些正的幾何量的參與.如在銳角三角形不等式中有正的量s-2 R-r，這是因?yàn)橛袟l件不等式

1.5銳角三角形中的分拆單元

在銳角三角形中，除過(guò)上述提到過(guò)的分拆單元v之外，還有walker不等式

w=s2-2R2-8Rr-3r2≥0.

(4)

對(duì)銳角三角形，分拆單元w是一個(gè)首選的分拆單元.注意到

另外，不等式(4)有加強(qiáng)式

s4-(2r2+20Rr+3R2)s2+r(5r+11R)(4R+r)(r+R)≥0.

(5)

這個(gè)分拆單元可用于更強(qiáng)的銳角三角形不等式的證明，(5)式容易證明.

1.6含參分拆單元

當(dāng)t∈R時(shí)，有含參分拆單元

2Rr2(16R2+8Rr+r2-3s2)t2+2r(s4+(-18Rr-8R2+2r2)s2+

r(6R+r)(4R+r)2)t+(4r+2R)s4-4r(12R2-2r2+19Rr)s2+2r2(9R+2r)(4R+r)2≥0

這個(gè)關(guān)于t的二次不等式的判別式為Δ=-∏(b-c)2(∑bc)2≤0，由此容易獲證.

還有一些其他分拆單元.如(3)式有加強(qiáng)不等式

此不等式可由楊學(xué)枝不等式推出.用此分拆單元可分拆一些更強(qiáng)的不等式.

事實(shí)上，只要獲證的關(guān)于s,R,r的不等式均可作為分拆單元.由此可見(jiàn)，分拆單元是開放的.雖然如此，一般情況下還是要盡量地少引入新的分拆單元，除非用上面常用的分拆單元拆不出來(lái)的時(shí)候，才考慮去擴(kuò)充它.

2　分拆算法

2.1分拆命令

關(guān)于s,R,r不等式的分拆算法文獻(xiàn)[2]曾介紹過(guò)，并編寫了程序tganyfc，它調(diào)用了解線性方程組非負(fù)解程序lpaolve[5].tganyfc的命令格式是：

>tganyfc (d,ex);

功能是以數(shù)據(jù)集d為基本項(xiàng)(基本項(xiàng)等具體概念參閱文獻(xiàn)[6])，對(duì)表達(dá)式ex進(jìn)行分拆.

除tganyfc命令外，還有命令zktganyfc，這個(gè)命令主要是在附加項(xiàng)中引入了非負(fù)表達(dá)式，以補(bǔ)充附加項(xiàng)中出現(xiàn)負(fù)系數(shù)的情況.命令格式是：

>zktganyfc(d,ex,bc);

功能是以數(shù)據(jù)集d為基本項(xiàng)，將bc補(bǔ)充到附加項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式ex進(jìn)行分拆.

bc可由grbc函數(shù)產(chǎn)生，也可通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行各種運(yùn)算產(chǎn)生.

2.2數(shù)據(jù)構(gòu)造

考慮到s,R,r均是對(duì)稱量，故本文中的數(shù)據(jù)構(gòu)造較為簡(jiǎn)單，就是通過(guò)文獻(xiàn)[7]介紹的取積重?cái)?shù)函數(shù)qjcss構(gòu)造分拆集.qjcss命令的Maple程序如下：

qjcss∶=proc(czset,t)forifrom1totdotemp∶=tempunionlbxcun(temp,czset)od;locali,temp;temp∶=tempminus{1};temp∶={1};returntemp;end:

從這段程序可以看出,qjcss的含義是：對(duì)一個(gè)數(shù)據(jù)集czset進(jìn)行累積，將每次乘的結(jié)果收集起來(lái)，得到一個(gè)數(shù)據(jù)集，其中變參t表示累計(jì)乘積的重復(fù)次數(shù)(重?cái)?shù)).

例1鍵入命令qjcss({a, b, c}, 1)，輸出{a,b,c}.鍵入命令qjcss({a, b, c}, 3)，輸出{a,b,c,a2,a3,b2,b3,c2,c3,ab,ac,a2b,a2c,bc,bc2,b2a,b2c,c2a,abc}.

用qjcss命令構(gòu)造好數(shù)據(jù)集，就可以調(diào)用tganyfc進(jìn)行非負(fù)分拆了，程序如下：

1.sRrfc∶=proc(ex,sset,t);4.dd∶=glld(gldeg(dd,degree(ex)));2.localdd,ls;5.ls∶=tganyfc(dd,ex);3.dd∶=qjcss(sset,t);6.returnls;end:

其中語(yǔ)句3～4實(shí)現(xiàn)分拆數(shù)據(jù)的構(gòu)造；語(yǔ)句5調(diào)用tganyfc實(shí)現(xiàn)非負(fù)分拆.

sRrfc就是本文反復(fù)使用的分拆命令，這個(gè)命令有3個(gè)輸入?yún)?shù)：ex表示一個(gè)關(guān)于s,R,r的多項(xiàng)式；sset是由分拆單元構(gòu)成的數(shù)據(jù)集；t是取積重?cái)?shù).由于數(shù)據(jù)集的選取是不完整的，故這里的算法是一個(gè)試探性算法，不是總會(huì)分拆成功的.

3　應(yīng)用舉例

證鍵入命令:

>tosRrw(M);# tosRrw的作用是將三角形中的對(duì)稱表達(dá)式用s,R,r表示出來(lái)#

g=2s6-r(-5r+44R)s4+4r2(55R2-r2+12Rr)s2-7r3(4R+r)3≥0.

接著鍵入命令sRrfc(f, `union`(gr[2]), 2)，則輸出

g2=y2(25r2+2s2)+28xmr2+20xyrs2+160xr5+160mr3+352yRr3≥0.

由(1)～(4)式中的不等式知，g≥0成立，由此得證.

注1由例2知，s,R,r分拆結(jié)果可以有g(shù)1和g2兩種表示形式，即單純用x,y,z,u表示的形式和用x,y,z,u外加其他不等式表示的形式.一般來(lái)說(shuō)，采用g1的表示形式更直觀一些，但表達(dá)式卻較繁瑣；g2的形式雖然簡(jiǎn)潔但卻引入了較多的不等式.究竟采用何種表示形式，取決于個(gè)人愛(ài)好和問(wèn)題的需要.

例3在ΔABC中，證明不等式:4∑(cos A+sin 2A)2cos2A≥∑(cos A+sin A)2.

證易證不等式等價(jià)于

g=s6+2Rs5+(-7R2-15r2-12Rr)s4-4(4R2+5r2+5Rr)s3R+

(8R4+56R3r+114R2r2+72Rr3+15r4)s2+2(16R4+46R3r+5r4+64R2r2+30Rr3)sR-

r6+18R6-120R3r3-12Rr5-120R4r2-55R2r4-32R5r≥0.

鍵入命令

>d∶=glld(qjcss(gr[2] union grbc(1,1),2));

>elpsolvetg(d,g);

輸出分拆式

注2在例3中，由于g是一個(gè)s的奇、偶次交替且次數(shù)較高的不等式，分拆難度甚大，但這里用函數(shù)grbc生成正的數(shù)據(jù)以補(bǔ)充附加項(xiàng)，從而使問(wèn)題容易求解了.

證由于所給不等式含有根式型幾何量wa，故可用agl2012程序的subs(lsta,ex)命令將不等式等價(jià)地化為銳角三角形中的不等式進(jìn)行證明(本質(zhì)上是做了角代換).

A→π-2A,B→π-2B,C→π-2C.

(6)

容易證明，所給不等式等價(jià)于銳角三角形中的不等式Q≥0(具體表達(dá)式略).由命令

>sRrfc(Q, `union`(gr[2],{jb,v}), 2);

可將Q分拆為

在例4中，由于涉及到了銳角三角形，故數(shù)據(jù)集中用了銳角數(shù)據(jù)v=s-2R-r.

類似于例4的方法，可證明如下ΔABC中優(yōu)美且難度甚大的不等式.

對(duì)于s次數(shù)較高的情況，此時(shí)分拆表達(dá)式中每個(gè)分拆項(xiàng)中會(huì)有較多的待定變量.如果再按所構(gòu)造數(shù)據(jù)的全集去分拆，勢(shì)必會(huì)造成變量太多而導(dǎo)致分拆失敗.為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以將構(gòu)造的數(shù)據(jù)集分割成若干子集，對(duì)這些子集按某種條件進(jìn)行選擇，再嘗試著用子集進(jìn)行分拆.雖然此時(shí)分拆的效率會(huì)大打折扣，但可以解決較復(fù)雜的問(wèn)題，并可能得到多種分拆解.

證用tosRrw命令容易得到

Q中s的次數(shù)高達(dá)12次.鍵入命令：

>with(combinat, choose);#調(diào)入Maple函數(shù)庫(kù)，為計(jì)算子集做準(zhǔn)備#

>ld ∶= choose(d) minus {{}};#d是構(gòu)造好的數(shù)據(jù)集，用choose 計(jì)算出d的所有子集#

>lv∶=gldeg(ld,4);#挑選出元素個(gè)數(shù)為4的子集參與分拆#

這樣可得到若干分拆式，具體分拆表達(dá)式此略.

下面舉2個(gè)條件分拆的例子，這類分拆可以部分解決一些難度較大的根式型不等式.

例6網(wǎng)友Mateescu Constantin在2016年4月8日給筆者來(lái)信中提出討論不等式:

令λ=(24R+4r)s2-R(4R+r)(25R+4r)，如果λ≤0則不等式成立；如果λ≥0，則

但g有分拆式

147(R-2r)(4R2+4Rr+3r2-s2)R+117(4R2+4Rr+3r2-s2)R2≥0.

例7在ΔABC中，證明不等式

∑(cos A+sin A)2sin A≥∑(cos A+sin B)(cos B+sin A)sin C.

證易證不等式等價(jià)于

5rs2+4(R-2r)sR-3r(2R+r)(4R+r)≥0?

4(R-2r)sR≥r(-5s2+24R2+18Rr+3r2).

目前，多項(xiàng)式的配平方和已經(jīng)取得了一些進(jìn)展[5-7,11-12].但當(dāng)次數(shù)較高時(shí)配方會(huì)遇到麻煩，主要問(wèn)題是當(dāng)次數(shù)高時(shí)配方時(shí)間較長(zhǎng)，或者配不出來(lái).此時(shí)可將多項(xiàng)式不等式化為關(guān)于s,R,r的不等式解決.由于可以縮短配方時(shí)間，故這種思路對(duì)海量篩選不等式結(jié)果有意義.

例8證明文獻(xiàn)[13]中的不等式(6)(注意這里x,y,z≥0，與(1)式中的含義不同)

(xy2+yz2+zx2)(x2y+y2z+z2x)≥(x+y+z)(x2+y2+z2)xyz.

證用xtos和tosRrw命令易將題中所給代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的三角形中的不等式：f=(5r-16R)s2+(4R+r)3≥0，這個(gè)不等式次數(shù)僅是3次，很容易分拆證明.

在實(shí)際應(yīng)用中，到底是采用代數(shù)的方法還是s,R,r分拆的方法解決問(wèn)題，需要根據(jù)實(shí)際情況而定.

證此不等式化為s,R,r表達(dá)式時(shí)，次數(shù)高達(dá)14.而代數(shù)化后，僅是9次.用agl2012程序的elpsolvesgm命令易得到配平方和(具體配方式此略)

(7)

注意這里的x,y,z含義與(1)式不同.

將x,y,z的表達(dá)式代入(7)式，整理得一個(gè)3元6次多項(xiàng)式不等式f(a,b,c)≥0，這個(gè)關(guān)于正數(shù)a,b,c的代數(shù)不等式，由于系數(shù)較大，不容易對(duì)其進(jìn)行配平方證明，但化為三角形中的幾何不等式后容易分拆證明，具體過(guò)程此略.

在確定三角形幾何量的量級(jí)時(shí)，s,R,r分拆方法起著十分關(guān)鍵的作用.

4　角代換可擴(kuò)展不等式

設(shè)ΔABC中，有僅涉及三角形內(nèi)角A,B,C三角函數(shù)的不等式

f0=f(A,B,C)≥0.

(8)

對(duì)不等式(8)作角代換(6)得不等式

f1=f(π-2A,π-2B,π-2C)≥0.

(9)

如果不等式(9)在ΔABC中仍然成立，則稱不等式(9)為不等式(8)的1級(jí)角代換擴(kuò)展不等式，稱不等式(8)為1級(jí)角代換可擴(kuò)展的，記作f1=φ(f0)=φ(f(A,B,C)).

如果不等式(9)仍然是角代換可擴(kuò)展的，即對(duì)不等式(9)作角代換(6)，得到不等式

f2=φ(f1)=φ(φ(f0))=φ(φ(f(A,B,C)))≥0.

(10)

則稱不等式(10)為不等式(8)的2級(jí)角代換擴(kuò)展不等式，稱不等式(8)為2級(jí)角代換可擴(kuò)展的.這樣就可以定義多級(jí)角代換擴(kuò)展不等式.

例12網(wǎng)友Nguyenhuyen_AG提出Gerretsen不等式4R2+4Rr+3r2-s2≥0的等價(jià)不等式

試驗(yàn)證不等式f0≥0是3級(jí)角代換可擴(kuò)展的.

解用Bottema軟件容易驗(yàn)證，有不等式

φ(f0)=∏(1+cos 2A)+∏cos 2A=

φ(φ(f0))=∏(1+cos 4A)+∏cos 4A≥0,

φ(φ(φ(f0)))=∏(1+cos 8A)+∏cos 8A≥0,

故f0是3級(jí)可擴(kuò)展的.由φ(f0)≥0可得優(yōu)美且很強(qiáng)的不等式

3s4+(-20R2-10r2-24Rr)s2+24Rr3+68R2r2+3r4+80R3r+36R4≥0.

同理驗(yàn)證有角代換可擴(kuò)展不等式

有趣的問(wèn)題是：在例12中，是否有θ(f0)=∞,θ(f1)=∞,即f0和f1是否為無(wú)窮級(jí)角代換可擴(kuò)展不等式？

在角代換可擴(kuò)展不等式研究中要注意排除平凡的情形，挑出強(qiáng)而有價(jià)值的不等式進(jìn)行研究.在agl2012程序中，有專門的驗(yàn)證角代換可擴(kuò)展不等式命令，如gljdhkz2可驗(yàn)證一個(gè)不等式是否為2級(jí)可擴(kuò)展的，gljdhkz3可驗(yàn)證一個(gè)不等式是否為3級(jí)可擴(kuò)展的，這樣結(jié)合不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)命令，就可以十分方便地自動(dòng)發(fā)現(xiàn)角代換可擴(kuò)展不等式.

例13在agl2012程序的運(yùn)行環(huán)境中，鍵入命令:

>d0∶=gldc3(tosgm(qjcs(qhcs(bc3g({cos(A)}),1),3)));#準(zhǔn)備關(guān)于三角形內(nèi)角余弦的數(shù)據(jù)#

>zjbj_otfqdcs(d0,d0,0,0,1,1,1);#調(diào)用自動(dòng)發(fā)現(xiàn)命令在數(shù)據(jù)d0的構(gòu)成環(huán)境中搜索不等式#

>gljdhkz2(jg);#對(duì)上述產(chǎn)生的不等式集jg進(jìn)行分析，挑出2級(jí)角代換擴(kuò)展不等式#

這樣可輸出數(shù)百個(gè)角代換可擴(kuò)展不等式，如有優(yōu)美結(jié)果(楊學(xué)枝不等式的等價(jià)式)

f0(A,B,C)=∑(cos B+cos C)2-2∑(cos A+cos B)(cos A+cos C)cos A=

考慮這個(gè)不等式的角代換擴(kuò)展不等式，有

f1(A,B,C)=φ(f0(A,B,C))=f0(π-2A,π-2B,π-2C)=

∑(cos 2B+cos 2C)2+2∑(cos 2A+cos 2B)(cos 2A+cos 2C)cos 2A≥0?

-s6+(10R2+7r2+12Rr)s4+(-32R4-88R2r2-80R3r-7r4-40Rr3)s2+

192R4r2+12Rr5+58R2r4+128R5r+144R3r3+r6+36R6≥0,

f2(A,B,C)=φ(f1(A,B,C))=φ(φ(f0(A,B,C)))=f1(π-2A,π-2B,π-2C)=

∑(cos 4B+cos 4C)2+2∑(cos 4A+cos 4B)(cos 4A+cos 4C)cos 4A≥0.

注3在角代換不等式序列中，t-1級(jí)角代換擴(kuò)展不等式ft-1≥0總是t級(jí)角代換擴(kuò)展不等式ft≥0的推論，這是因?yàn)?6)式的反變換是

(11)

變換(11)恰好構(gòu)成一個(gè)三角形(設(shè)這個(gè)三角形為S)的三個(gè)內(nèi)角，這相當(dāng)于對(duì)三角形S應(yīng)用ft≥0得到ft-1≥0.故角代換擴(kuò)展不等式序列是一個(gè)強(qiáng)度不斷增強(qiáng)的不等式序列.

進(jìn)一步研究角代換可擴(kuò)展不等式的分布和性質(zhì)很有趣.

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The Rediscovery of the Proof Based on Decomposition Involvings,Randrin Triangle Geometric Inequality

LIU Bao-qian

(Tibet Autonomous Region Information Management Center of Authorized Strength’s Organization, Lhasa, Tibet, 850000, P.R.China)

This paper is posed to discuss the proof based on decomposition involvings,Randrin triangle geometric inequality， and to research the method and program for decomposition. A large number of examples show that, although it is only tentative, it can easily solve some of the more difficult problems. The radical inequalities problem is solved by means of non negative decomposition with constraint conditions. There is a new proof for Yang Xue-zhi’s Inequality and Walker’s Inequality in this paper. Extensible inequality with angular substitution is posed and preliminarily discussed.

triangle geometric inequality; extensible inequality with angular substitution; non negative decomposition; mechanical theorem proving

2016-07-20

劉保乾，男，陜西鳳翔人，西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心工作人員.

O 122.3

A

2095-3798(2016)05-0029-09