趙維謙，李文宇，趙　齊，邱麗榮，王　允

(北京理工大學 光電學院，北京100081)

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被測件隨機移相干涉面形測量方法

趙維謙，李文宇，趙齊，邱麗榮，王允*

(北京理工大學 光電學院，北京100081)

針對光學元件的面形測量，提出了一種被測件隨機移相干涉面形測量法，用于降低移相干涉儀的成本，避免移相器老化產生的移相誤差對面形檢測精度的影響。該方法利用微位移驅動器驅動被測件在摩擦氣浮復合導軌上移動進行隨機移相并用相機采集若干幅干涉圖；然后利用最小二乘迭代算法處理干涉圖數據進而迭代出被測表面相位分布；最后進行一系列數據處理求解出被測件的面形結果。為了驗證該方法的可行性，在實驗室搭建了改進的斐索移相干涉系統，并選用一個凹面鏡和一個平面鏡作為被測件在搭建的系統上進行了實驗測試，同時與同臺儀器上的傳統移相方法得到的測量結果進行了比對。結果表明：在激光光源波長λ為632.8 nm的情況下，凹球面鏡面形PV值和RMS值與傳統移相方式測量結果相差0.001λ，和0.002λ；平面鏡面形PV值和RMS值與傳統移相方式的測量結果相差0.002λ和0.003λ，面形數據基本一致。該方法避免了移相器老化引入移相誤差，降低了儀器成本，測量精度高。

干涉測量；面形測量；被測件；移相器；隨機移相；最小二乘迭代

1　引　言

在光學元件檢測領域，光學元件表面形貌檢測占有重要地位，目前主要利用光學干涉測量技術進行表面形貌檢測。傳統的光學干涉測量方法主要通過直接判讀干涉條紋來測量被測面形，精度低、誤差大。20世紀80年代，Bruning等人提出移相干涉技術，開啟了光學測量領域的新時代[1]。隨著激光技術、圖像處理技術、光電探測、電子技術與計算機技術在光干涉計量測試領域的應用，移相干涉技術得到了飛速發(fā)展。由于具有高精度和高靈敏度等特點，該技術已成為光學元件面形檢測領域最有效、最準確的手段之一[2-6]。移相干涉術的基本原理是在干涉儀的參考光和被測光之間引入一定的相移量，這時干涉條紋也會發(fā)生相對的移動。通過連續(xù)引入相移量，利用相機采集多幅對應相移量的干涉圖，最后應用計算機技術按照一定的算法求得面形結果。根據移相干涉技術的基本原理，移相方式主要分為波長移相和移相器移相兩大類[7-9]。其中，波長移相是指干涉系統中的激光光源波長可以連續(xù)變化，起到移相器的作用，簡化了干涉系統的機械結構；移相器移相主要是推動參考鏡移相的機械移相方式，可以較為準確地控制移相量，因此其應用更加廣泛。目前，世界很多公司具備生產移相干涉儀的能力，其中最著名的便是美國的zygo公司，其生產的移相干涉儀已然成為行業(yè)標準。

移相器雖然移相精度較高，但是價格昂貴，并且一旦儀器老化會引入極大的移相誤差[10]，嚴重影響面形檢測精度。基于此，本文提出了一種被測件隨機移相干涉面形測量方法。該方法省去了昂貴的移相器，簡化了移相結構，不再是參考鏡移相，而是利用微位移驅動器驅動被測件在摩擦式氣浮導軌上隨機移相；然后利用最小二乘迭代算法迭代出原始相位分布，再經過一系列數據處理進而求解出被測件的面形結果[11-13]。為了驗證該方法的可行性，改造了實驗室搭建的斐索移相干涉系統，增加了微位移驅動器及控制器，編寫了最小二乘迭代算法，并與同臺儀器上五步移相法的測量結果進行比對，兩個測量結果一致，從而證明方法可行。

2　被測件隨機移相干涉系統及算法

2.1系統原理

本文以測量凹球面面形為例，構建了如圖1所示的被測件隨機移相干涉面形測量系統，該系統基于已有的斐索移相干涉儀，在硬件方面增加了驅動控制模塊，在軟件方面增加了最小二乘迭代算法模塊。被測件隨機移相干涉測量系統的光路走向為：準直透鏡將點光源出射的光準直成平行光后照射在參考物鏡上，由參考物鏡會聚成測量光束照射在被測透鏡表面。參考物鏡的最后一個表面為參考面，參考鏡處的箭頭表示一路光在參考鏡處原路返回，被測鏡處的箭頭表示透射光在被測鏡面處原路返回。由參考面反射回來的光束和由被測球面表面反射回來的光束沿原光路返回后形成干涉條紋。本文通過微位移驅動模塊推動被測件在導軌上移相來改變參考波面和被測波面之間的相對相位差。在移相過程中，相機采集若干(大于等于3幅)幅干涉條紋圖，然后通過最小二乘迭代算法處理干涉條紋圖像得到波前相位分布，因為涉及到反正切函數，相位被包裹在[-π，π]，因此還需要對迭代出的相位分布進行解包裹和波面擬合等[14-17]。

圖1　被測件隨機移相干涉系統原理

Fig.1Principle of measured element randomly phase shifting interferometry system

2.2最小二乘迭代算法

由于本系統采用隨機移相方式，傳統的移相算法不再適用，所以本文利用最小二乘迭代算法來重構原始相位分布。

2.2.1根據已知的移相量求解相位分布

根據經典的雙光束干涉理論，空間某點(x，y) 干涉場的光強分布為：

aj+bjcosδi+cjsinδi.

(1)

式中：i=1，2，…，N(N≥3)表示采集干涉圖的幀序號，j=1，2…，M表示一幀干涉圖里像素的序號，t表示理論光強。并且式(1)中有：

aj=Ai，j，

bj=Bi，jcosφj，

cj=-Bi，jsinφj，

(2)

其中：Ai，j是該像素光強的直流分量，也稱為背景光；Bi，j是該像素的調制度；φj是該像素對應的被測相位；δi是第i幀干涉圖對應的移相值。假定對于任意一個像素點，各幀干涉圖在此像素的背景光強和調制度是一致的，由最小二乘法原理，理論光強與實際光強的最小值為：

(3)

根據最小二乘法則，若要使min取得最小值，式(3)代入移相值后求導得零，可以求解出干涉圖中每一點的bj和cj，進而推導出N步移相法求解波面相位的一般式：

(4)

2.2.2根據已知的相位分布求解移相量

利用式(4)得到的相位分布，可以從相反的過程來求解各幀干涉圖對應的移相量。依然假定對于任意一個像素點，各幀干涉圖在此像素的背景光強和調制度是一致的，不發(fā)生變化。由雙光束干涉理論有：

ai+bicosφj+cisinφj，

(5)

式中：

ai=Ai，j，

bi=Bi，jcosδi，

ci=-Bi，jsinδi.

(6)

和式(1)類似，得出第i幀干涉圖中各點的理論光強與實際光強的最小二乘差值：

(7)

根據最小二乘法則，對式(7)求導使其得零并代入相位值，計算可求得bi和ci，進而得到第i幀干涉圖對應的移相值為：

(8)

2.2.3開始迭代并設定收斂條件

首先設定一個初始移相值，代入式(1)求得相位分布；然后將式(1)中求得的相位代入式(2)中可以求得各幀干涉圖對應的移相值；最后判斷迭代是否滿足收斂條件。如果不滿足，則將本次迭代得到的移相值繼續(xù)代入式(1)中，進行下一次迭代，直到滿足條件為止。其中，收斂條件用來判斷各幀干涉圖間的移相值是否達到了精度要求，表達式為：

(9)

式中：k是迭代次數，ε是收斂閾值。按照上面的迭代可以精確求解出原始相位分布和移相量。

用上述迭代求解方法，可以求得精準的相位分布，但由于相位求解時涉及到反正切函數，所以求得的相位包裹在-π～π，因此還需要進行包裹相位解包裹和波面擬合等步驟，即可得到面形結果。

2.3系統裝置

如圖2所示，本系統主要包括干涉測量主機、裝載被測件的五維調整架、摩擦氣浮復合導軌、導軌移相驅動系統以及參考鏡和被測件。測量時激光波長λ=632.8 nm。圖2中的被測件隨機移相主要涉及兩個關鍵部分。第一部分是在斐索移相干涉系統的基礎上增加了圖2右邊的移相驅動模塊，該移相驅動模塊主要包括壓電陶瓷微位移驅動器和控制器，驅動器運行平穩(wěn)，產生的機械振動很小，滿足移相使用要求，并且其運行過程中可以產生22 N的推力，滿足移相驅動需求。如圖2所示，壓電陶瓷微位移驅動器頂在氣浮導套的中間。移相時，微位移驅動器推動導套移動，進而完成被測件移相。由于總移動量控制在一個波長以內，因此在球面面形測量時產生的離焦對面形的影響極小，可忽略不計[18]。第二部分是摩擦氣浮復合導軌部分，摩擦氣浮復合導軌的精度非常高，保證了移相的直線度和穩(wěn)定性。

圖2　被測件隨機移相干涉系統

Fig.2Photo of measured element randomly phase shifting interferometry system

3　實驗驗證

為了驗證該方法的可行性，分別選取了凹球面鏡被測件和平面鏡被測件在同臺儀器上用被測鏡隨機移相方法和傳統五步移相法進行測量比對實驗，實驗平臺為光學隔振平臺。

3.1凹球面鏡面形測量結果

在圖2所示的測量系統中，使用zygo標準物鏡作為系統參考物鏡，焦距f=150 mm，表面面形精度可達λ/20。圖3的凹球面鏡是實驗被測件， 其曲率半徑r=25 mm。

實驗時，控制驅動器推動被測件移相，同時相機采集若干幅干涉圖。接著將采集到的干涉圖代入最小二乘迭代算法中，迭代出包裹相位分布。然后進行解包裹和波面擬合等數據處理，最后求得被測件的面形結果。這里的面形測量結果都是相對于參考面的想對面形。

圖3　凹球面鏡

圖4是實驗測量結果，從測量結果可以看出，兩種移相方法測得的面形結果PV值僅相差0.001λ，RMS值僅相差0.002λ，面形結果非常接近，證明方法可行。

(a)隨機移相

(b)傳統五步移相

3.2平面鏡面形測量結果

在圖2所示的測量系統中，使用zygo公司提供的標準平面鏡作為系統參考鏡，其表面面形精度可達λ/20，圖5的平面鏡是實驗被測件。

圖5　平面鏡

(a)隨機移相

(b)傳統五步移相

圖6為平面鏡面形測量結果，由結果可以看出，兩種移相方法測得的面形結果PV值僅相差0.002λ，RMS值僅相差0.003λ，面形結果基本一致，證明方法可行。

對比上述兩個不同被測件的實驗結果可知，本文的被測件隨機移相測量方法的面形結果與同臺儀器上的五步移相法的測量結果基本一致，由此驗證了本方法的可行性。

4　結　論

本文提出了一種被測件隨機移相干涉面形測量方法，省去了移相器，避免了移相器老化帶來的移相誤差并且降低了成本。利用微位移驅動器推動氣浮導套在摩擦氣浮復合導軌上進行移動，完成被測件移相并采集若干幅干涉圖，然后通過最小二乘迭代算法迭代出被測表面的包裹相位分布，再經過一系列數據處理解算出面形結果。為了驗證該方法的可行性，在同一儀器上與傳統五步移相方法進行比對，實驗結果表明：對于凹球面鏡，該方法與同臺儀器的五步移相方法相比，PV值僅相差0.001λ，RMS值僅相差0.002λ；對于平面鏡，該方法與同臺儀器的五步移相方法相比，PV值僅相差0.002λ，RMS值僅相差0.003λ，由此證明了方法的可行性。不過，本文方法仍有待進一步的研究，比如導軌在移相過程中的影響分析、誤差分析等。

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王允(1984-)，男，山東威海人，博士，講師，碩士生導師，2013年于北京理工大學獲得博士學位，主要從事精密光電測試技術與儀器裝備方面的原理方法、關鍵技術以及儀器裝備系統集成技術的研究及應用。E-mail：alotrabbits @163.com

(版權所有未經許可不得轉載)

Surface measurement by randomly phase shifting interferometry of measured element

ZHAO Wei-qian， LI Wen-yu， ZHAO Qi， QIU Li-rong， WANG Yun*

(SchoolofOptoelectronics，BeijingInstituteofTechnology，Beijing100081，China)*Correspondingauthor，E-mail：alotrabbits@163.com

For the surface measurement of optical elements， a surface measurement method by the randomly phase shifting interferometry of measured element was proposed to reduce the cost of phase shifting interferometer and to avoid phase-shifting error caused by an aged phase shifter. A micro-displacement driver was used to drive a measured element to move on a friction type air-bearing slider to implement the random phase shift， meanwhile， several interfere grams were collected by a camera. Then， the interferograms were processed by least-square iteration algorithm and the phase distribution of the measured element surface was iterated. Finally， the surface measurement result was calculated by a series of data processing and the surfaces of measured elements were obtained. To verify the feasibility of the proposed method， a Fazi phase shift interferometer was improved and a concave spherical mirror and a plane mirror were used as measured elements to perform the comparative experiment between the article’s method with the traditional phase shifting method on the same instrument. Experimental results indicate that when the laser wavelengthλis 632.8 nm， the PV difference and the RMS difference between the two results are only 0.001λand 0.002λ， respectively for the concave spherical mirror. Moreover， those between the two results are only 0.002λ， and 0.03λ，respectively for the plane mirror. These surface data are basically consistent. Experimental results show that the measurement method avoids the phase-shifting error caused by the aged phase shifter， and it has high accuracy and low cost.

interferometry; surface measurement; measured element; phase shifter; randomly phase shifting; least-square iteration

2016-05-05；

2016-06-14.

國家重大科學儀器設備開發(fā)專項資助項目(No.61327010)；國家自然科學基金青年基金資助項目(No.51405020)

1004-924X(2016)09-2167-06

TH741.3

A

10.3788/OPE.20162409.2167

趙維謙(1966-)，男，新疆伊寧人，教授，博士生導師，1993年，2003年于哈爾濱工業(yè)大學分別獲得碩士、博士學位，主要從事光學測量領域的研究。E-mail：zwq669@126.com