尹多智，紀(jì)志剛

（上海交通大學(xué) 科學(xué)史與科學(xué)文化研究院，上海 200240）

量天測地：中國勾股術(shù)產(chǎn)生的社會背景及其文化意義

尹多智，紀(jì)志剛

（上海交通大學(xué) 科學(xué)史與科學(xué)文化研究院，上海 200240）

從矩、圭表兩種古代測量工具出發(fā)，考察了中國古代勾股術(shù)產(chǎn)生的社會背景，論述量天測地與圭表測影在古代中國的政治和文化意義，認(rèn)為國家管理與民用生活為中國勾股術(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展提供了豐厚的社會和文化土壤。對于中國古代社會來說，勾股術(shù)不僅僅是一條數(shù)學(xué)定理，還是可以用于生產(chǎn)、生活、國家管理等方面的重要計算法則，從而衍生出完整而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹袊糯垂衫碚擉w系。這也使得中國古代的勾股術(shù)具有與其他文明不同的社會特點與文化涵義。

矩；圭表；量天測地；勾股術(shù)

中國古代以勾股定理為基礎(chǔ)的勾股術(shù)產(chǎn)生于窺天測地［1］，在這種量天測地的過程中，中國的勾股術(shù)逐漸形成，并最終發(fā)展成為具有豐富內(nèi)涵的勾股理論體系和實踐應(yīng)用方法。對于中國古代勾股術(shù)的算法原理，許多學(xué)者已作了比較全面而詳盡的論述，本文著重探討勾股術(shù)產(chǎn)生的社會背景及其文化土壤。筆者認(rèn)為，中國古代勾股術(shù)的形成和發(fā)展與古人在測量中所使用的兩種工具有密切關(guān)系，其一為矩，其二為表。二者各有其用，又交相輝映?！坝镁亍毖鲇^蒼穹以量天，俯瞰人間以測地?！傲⒈怼眲t求地中以定王城之都，推日影以考時序輪回。從而使得中國古代的勾股術(shù)具有與其他文明不同的社會特點與文化涵義。

1　矩

矩在中國古代社會的使用有著比較悠遠的歷史。戰(zhàn)國時期尸佼所撰《尸子》卷下：“古者倕為規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩，使天下仿焉?！保?］3340這是關(guān)于規(guī)矩產(chǎn)生的最早記載。倕相傳為上古堯舜時代的一名巧匠，說明當(dāng)時矩已經(jīng)有了非常廣泛的應(yīng)用。另一說是漢人根據(jù)傳說，認(rèn)為伏羲制定了規(guī)矩二器（圖1）［3］?？梢娋氐陌l(fā)明是很早的。矩是兩端為直角的曲尺，后來的矩是拐尺形，由兩條垂直的直尺組成。矩的邊上有刻度，可以用來畫直角和直線，也可以用來進行直接或間接的測量［4］。

圖1　漢武梁祠石室造像：伏羲手執(zhí)矩，女媧手執(zhí)規(guī)

《管子》第16卷：“規(guī)矩者，方圜之正也，雖有巧目利手，不如拙規(guī)矩之正方圜也。故巧者能生規(guī)矩，不能廢規(guī)矩而正方圜也?！保?］《周禮·冬官考工記》：“凡揉牙，外不廉而內(nèi)不挫，旁不腫，謂之用火之善。是故規(guī)之以視其圜也，萭之以視其匡也。……”鄭司農(nóng)云：“禹讀為萭，書或作矩?！保?］1077《荀子·不茍》：“五寸之矩，盡天下之方也。”楊倞注曰：“矩，正方之器也?！保?］可見矩是用來矯正方形的一種器具。

矩也是中國古代社會一種非常重要的測繪工具。《周髀算經(jīng)》卷上周公與商高論“數(shù)安從出”時，商高說了這樣一段話：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之外，半其一矩。環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”［8］1-2這段話也提到了重要的測繪工具——矩，并且表明當(dāng)時中國古人至少已經(jīng)知道了勾三股四弦五的特殊勾股形。商高接著說：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！备鶕?jù)上文，“此數(shù)”應(yīng)指將矩按對角線一分為二之后所形成的直角三角形的三邊，分別為三、四、五。趙爽注曰：“禹治洪水，決流江河。望山川之形，定高下之勢。除滔天之災(zāi)，釋昏墊之厄，使東注于海，而無浸逆。乃勾股之所由生也?！贝笥碇嗡年P(guān)鍵是疏導(dǎo)水流，因此需要“望山川之形，定高下之勢”。如何“定高下之勢”呢？《史記·夏本紀(jì)》也記載了大禹率領(lǐng)民眾治水的情景：“陸行乘車，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山?！保?］準(zhǔn)、繩、規(guī)、矩都是重要的測量儀器。可見，大禹在測量中運用了矩這一工具，而注文說這種“望山川之形，定高下之勢”的方法正是勾股術(shù)的來源。可見，在大禹的時代，矩已經(jīng)在國家水利、土木工程方面具有廣泛的應(yīng)用，人們因此積累起許多用矩的經(jīng)驗和知識，繼而發(fā)展出了勾股術(shù)。章鴻釗也認(rèn)為，勾股術(shù)正是為測量而發(fā)明的［10］，梅榮照也指出勾股術(shù)是從矩的應(yīng)用中發(fā)展起來的［11］。

《周髀算經(jīng)》卷上周公與商高的問答中討論了用矩測量的方法：

周公曰：“大哉言數(shù)，請問用矩之道？”商高曰：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠……”［8］8

其中，后三者說的是通過對矩作不同方式的擺放，可以對高度、深度和水平距離進行測量，其計算方法都利用了相應(yīng)勾股成比例的關(guān)系。

圖2　偃矩測高

2　圭表

另一種與勾股術(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展有密切關(guān)系的重要儀器是表。表是直立在地上的竿子，通過立竿測影可以定方向、定時刻等。鄧可卉認(rèn)為中國古代立竿測影的方法約出現(xiàn)于新石器時代中期，即距今五六千年前［12］。可見中國古代很早就有了立竿測影的傳統(tǒng)。在測影的過程中，人們也逐漸改進觀測工具，周代的文獻中出現(xiàn)了“土圭”一詞，說明人們開始使用圭表測影，將表與圭相連，便于測量時讀取影長。由于圭表測影在古代社會具有政治和文化上的重要意義，因此也為勾股術(shù)的進一步豐富與發(fā)展提供了社會基礎(chǔ)。

2.1圭表測影的政治、文化意義

《周禮·大司徒》中有關(guān)于用土圭度日影的記載：“以土圭之法測土深。”注曰：“土圭，所以致四時日月之景也。測猶度也，不知廣深故曰測?！笔瑁骸岸韧林?，深謂日景長短之深也。”［6］250-251圭是一種玉器，也是官階地位的象征?！墩f文》曰：“圭，瑞玉也。上圜下方，以封諸侯。”《尚書大傳》曰：“古者圭必有冒。故圭冒者，天子與諸侯為瑞，諸侯執(zhí)所受圭以朝天子。無過者復(fù)得以歸，有過者留其三年。”［2］3580土圭則是專門用來測量日影的工具?！吨芏Y·冬官考工記》記載了圭的不同形制和用途：

四圭尺有二寸，以祀天。大圭長三尺，杼上，終葵首，天子服之。土圭尺有五寸，以致日，以土地。裸圭尺有二寸，有瓚，以祀廟。琬圭九寸而繅，以象德。琰圭九寸，判圭，以除慝，以易行。璧羨度尺，好三寸，以為度。圭璧五寸，以祀日月星辰。璧琮九寸，諸侯以享天子。穀圭七寸，天子以聘女?！児玷鞍舜?，璧琮八寸，以覜聘。［6］1120-1125

這里指出了“尺有五寸”土圭的兩種用途——“以致日，以土地”。其中，“致日”也就是度量日影長度，目的是“以求地中”?！吨芏Y·大司徒》說：“以土圭之法測土深。正日景，以求地中。”疏：“周公攝政四年，欲求土中而營王城，故以土圭度日景之法測度也。”［6］251關(guān)于“地中”概念，關(guān)增建做過具體的討論，認(rèn)為早在先秦時期，中國古人就產(chǎn)生了天圓地方的觀念，而地中概念則是這一認(rèn)識的自然產(chǎn)物。［13］《周禮·大司徒》給出了“地中”的具體判斷標(biāo)準(zhǔn)：

“日至之景尺有五寸，謂之地中：天地之所合也，四時之所交也，風(fēng)雨之所會也，陰陽之所和也?！弊⒃唬骸熬俺哂形宕缯撸洗魅障氯f五千里，地與星辰四游升降于三萬里之中，是以半之得地之中也?！编嵥巨r(nóng)云：“土圭之長尺有五寸，以夏至之日立八尺之表，其景適與土圭等，謂之地中。今潁川陽城地為然?！卑福骸洞呵镒笫稀?，武王克商，遷九鼎于洛邑，欲以為都，不在潁川地中者，武王欲取河洛之間形勝之所，洛都雖不在地之正中，潁川地中仍在畿內(nèi)。若然，武王已遷鼎于洛，欲以為都，周公又度景求地中者，武王雖定鼎訖，周公更度之者，所以審慎故。［6］252-254

可見古人以夏至之日影長一尺五寸作為地中標(biāo)準(zhǔn)，他們在平地上立八尺之表，其影長如果恰與長為一尺五寸的圭表相等，則該地為地中。當(dāng)君王營建王城、定國都之時，都首先需要度日影，求地中。地中被認(rèn)為是天時、地利、陰陽所和之處，建邦國、定都城應(yīng)在地中。在周公時代，洛邑被認(rèn)為是地中?！俺赏跤逡卣?，以天事言，則日東景夕多風(fēng)，日西景朝多陰，日南景短多暑，日北景長多寒。洛天地之中，風(fēng)雨之所會、陰陽之所和也。以人事言，則四方朝聘貢賦道里均焉，故謂之土中。”［14］無論從天事還是人事上來說，洛邑作為地中，都是建國、定都的理想之處。周武王克商之后，想以洛邑作為都城，也是希望借此表明其政權(quán)地位的合理性，讓四方諸侯臣服于中央。因此，“地中”并不僅僅是自然地理學(xué)上的概念，而且還有著政治上的意義。

事實上，古人對日影長度的認(rèn)識并不僅僅是數(shù)字度量，而且還將其與天人感應(yīng)理論和陰陽理論相聯(lián)系，這也反映在用來度日影的器具上。周代以土圭測影，土圭是玉石制成的，對此，“周以土圭正日景，求地之中，中于天地者為中國，先王之建國，所以致意焉。然必以玉為之，以其溫潤廉潔，受天地之中氣，以類而求類也。”［15］245由于玉石“受天地之中氣”，所以被用來度日影，求地中，即“以類而求類”?！吨芤住で浴の难浴分杏型愊鄳?yīng)的說法：“同聲相應(yīng)，同氣相求，水流濕，火就燥，云從龍，風(fēng)從虎?！瓌t各從其類也。”［16］

日影的長短也與君政得失聯(lián)系了起來?！吨芏Y·冬官考工記下》釋曰：

云“致日，度景至不”者，于地中立八尺之表，于中（應(yīng)為“晝”）漏半，夏至日，表北尺五寸，景與土圭等。冬至日，丈三尺，為景至。若不依次，皆為不至，故云度景至不也。但景至與不至，皆由君政得失而來。度之者，若不至，使君改德教也。［6］1123

通過地中冬至、夏至的影長還能進而推算出二十四節(jié)氣的影長，如果“當(dāng)至而不至、未當(dāng)至而至，則有日月之變，水旱之沴，人民疾疫之災(zāi)。古先哲王必謹(jǐn)視之，以修人事而奉天之戒”。［17］又東漢鄭玄所注《易緯通卦驗》卷下說：

冬至之日立八神，樹八尺之表，日中規(guī)其晷之。如度者，則歲美，人民和順，晷不如度者，則其歲惡，人民為訛言，政令為之不平。晷進則水，晷退則旱。進尺二寸則月食，退尺則日食。月食糴貴，臣下不忠，日食則害王命，道傾側(cè)。故月食則正臣下之行，日食則正人主之道。［18］

古人認(rèn)為“景至與不至，皆由君政得失而來”，并且晷影長度可以揭示人事活動、政令得失、日月之變、水旱災(zāi)害和吉兇等，這源自于中國古人認(rèn)為天人一體、天人相與、天人感應(yīng)的思想。

另外，《淮南子》說：“陽氣為火，陰氣為水。水勝故夏至濕，火勝故冬至燥。八尺之表，影脩尺有五寸。影脩則陰氣勝，短則陽氣勝。陰氣勝則為水，陽氣勝則為旱?！保?］109從現(xiàn)代的角度來看，日中日影的長短取決于一年之中太陽直射點的變化。夏至日時，太陽直射北回歸線，因此影子短，溫度高，較為干燥。冬至日時，太陽直射南回歸線，因此影子長，溫度低，較為濕潤。而中國古人則將日影長短與陰陽理論相聯(lián)系，從而加以解釋。因此，日影的長短對于中國古人認(rèn)識和解釋大自然的現(xiàn)象也具有特殊的意義。

因此，由上文可以看出，對于先秦兩漢時期的古人來說，晷影長度具有三方面的意義：第一，它是建邦國、定都城之時求地中的依據(jù)；第二，它是人們所借助于用來認(rèn)識和解釋一些自然現(xiàn)象的方式；第三，它是古人用于判斷君王政令得失、天象、水旱災(zāi)害和吉兇的依據(jù)。正是晷影長度對于古人的這種特殊意義使得晷影測量成為一項重要的天文活動，并為勾股術(shù)的進一步豐富和發(fā)展提供了社會和文化環(huán)境。

2.2“日影千里差一寸”與勾股量天、測地

上文提到，土圭的用途之一是“以致日”，另一個用途是“以土地”?！吨芏Y·典瑞》曰：“土圭以致四時日月，封國則以土地。”［6］538需要指出，“以土地”的“土”是測量的意思，也就是測量土地和疆域的大小。當(dāng)時人們?nèi)绾螠y量土地和疆域的大小呢？根據(jù)《周禮·大司徒》的記載，人們應(yīng)是根據(jù)“日景于地，千里而差一寸”的關(guān)系進行測量的?！叭沼扒Ю锊钜淮纭钡年P(guān)系可能是中國古人在立表測影的過程中總結(jié)出來的關(guān)于日影長度之差與兩地南北方向距離的關(guān)系而得出的經(jīng)驗和結(jié)論?！吨芏Y·大司徒》說：

以土圭之法測土深。正日景，以求地中?！步ò顕酝凉缤疗涞囟破溆颍褐T公之地，封疆方五百里，其食者半；諸侯之地，封疆方四百里，其食者參之一；諸伯之地，封疆方三百里，其食者參之一；諸子之地，封疆方二百里，其食者四之一；諸男之地，封疆方百里，其食者四之一。［6］250-254

這里，“日影千里差一寸”的關(guān)系被用來確定諸侯國的疆界。席澤宗指出，“千里一寸”的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是在這種測量疆域的過程中得出的經(jīng)驗數(shù)字［19］。只是，為諸侯國定疆界使用的并不是“千里一寸”的數(shù)據(jù)，而是“百里一分”的數(shù)據(jù)。鄭鍔曰：

冬夏至潁川陽城晝漏半，立八尺之表，夏至于表北得尺五寸之景，冬至于表北得丈三尺之景，皆為地中，此建國所用也。若建諸侯國，則不用此，何則？景一寸差千里，一分則百里。封侯國之大者，不過五百里，何取于土圭之寸耶？亦取其分而已。若建小國，又取其分以為小分也。一分百里，男國也，亦大都也。二分二百里，子國也。若小都五十里，則為小分五分。大夫二十五里，則為小分二分半，所謂建邦國都鄙也。［15］1070

因此，“千里一寸”是作為建國之用，“百里一分”則是作為建諸侯國之用，并且還可以依據(jù)實際需要將這一關(guān)系再往下推。而根據(jù)日影測定距離的具體方法則是勾股術(shù)?！包S氏曰：地形廣遠不可度量，故有土圭之法，今九章猶有句股存焉?！保?5］1070說明使用土圭測量地之廣遠的方法是勾股術(shù)。將“千里一寸”的關(guān)系與勾股術(shù)相結(jié)合還能對天高、日遠進行測量?！痘茨献印ぬ煳挠?xùn)》給出了計算天高的方法，《周髀》卷上中陳子也指出了計算日高、日徑的具體方法：

候句六尺，即取竹空，徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。故以句為首，以髀為股。從髀至日下六萬里，而髀無影。從此以上至日，則八萬里。若求邪至日者，以日下為句，日高為股。句股各自乘，并而開方除之，得邪至日。從髀所旁至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里，十萬里得徑千二百五十里。故曰：日徑千二百五十里。［8］37

這里求日徑直接運用了勾股定理，求日高則使用了陳子重差求高公式，這是重差術(shù)的來源。約成書于西漢末年的《九章算術(shù)》“勾股”章是對中國古代勾股計算方法的系統(tǒng)總結(jié)，魏晉時期劉徽為“勾股”章撰寫的注釋則闡明了從勾股術(shù)到勾股比率理論的發(fā)展過程，特別是他為“闡世術(shù)之美”“輒造重差”。劉徽在《九章算術(shù)注序》中說“凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差。勾股則必以重差為率，故曰重差也?！保?0］序8重差術(shù)是在勾股術(shù)的基礎(chǔ)上進一步發(fā)展起來的測量理論，是對勾股測量術(shù)的進一步豐富和發(fā)展。從傳統(tǒng)的“立表”“連索”一望、二望，通過重表、累矩，推衍為“三望”“四望”，豐富了測高望遠之術(shù)，從而構(gòu)成頗具有中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的“完整而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系”［21］351。三國時期的王蕃也利用勾股之術(shù)來求“天之里數(shù)”。唐代盧肇所撰《文標(biāo)集》按：

吳王蕃法云：予因《周禮》鄭眾、鄭元之言，用勾股之術(shù)，以求天之里數(shù)。夏至之日，以八尺之表，求晷于陽城，表南得影一尺五寸，南至日南，下無影，則日南去陽城一萬五千里。立八十而旁十五，則日高八萬里，日南邪去，以勾股法得八萬一千三百九十四里有奇，蓋天頂至地之?dāng)?shù)也。倍之，得十六萬二千七百八十八里有奇，即天徑之?dāng)?shù)也，以周徑之法乘得五十一萬三千六百八十七里有奇，即周天之?dāng)?shù)也。［22］

南宋秦九韶撰《數(shù)書九章》，卷7、卷8設(shè)測望類9題。其中第3、4、6、7問為勾股、重差術(shù)在軍事中的應(yīng)用。比如，第4問為“表望方城”，求敵城的邊長和距離。術(shù)曰：“以勾股、重差求之。”即通過立兩表分別望城東北角和東南角，構(gòu)造出相似勾股形進行計算。第8、9問則為勾股、重差術(shù)在古建筑修復(fù)中的應(yīng)用。比如，第9問“表望浮圖”需求塔身高、輪高和塔心木長。術(shù)曰：“以勾股求之，重差入之?！币彩峭ㄟ^立表兩望、構(gòu)造相似勾股形進行計算。秦九韶在《數(shù)書九章》中搜求這些問題是為了盡力滿足社會實踐的需要［23］，可見勾股、重差術(shù)當(dāng)時在軍事、生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，仍為測高望遠的一條重要計算法則。

3　結(jié)語

中國古代勾股術(shù)的產(chǎn)生與矩、圭表這兩種測量工具有著非常密切的關(guān)系。無論在使用矩還是圭表測量的過程中，都需要用到一項重要的計算法則——勾股術(shù)。而這種量天測地和圭表測影的測量實踐是古代中國的重要活動，它們不僅僅出于生產(chǎn)、生活等方面的實際需要，而且在國家管理和民用生活層面具有特殊的意義，從而為中國勾股術(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展提供了豐厚的社會和文化土壤?！傲刻鞙y地”展示了中國古代數(shù)學(xué)家的宏偉抱負(fù)，誠如劉徽《九章算術(shù)注序》中所感嘆“雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉?！保?0］8“圭表測影”則是具體的數(shù)學(xué)實踐活動，二者各有其用，交相輝映。在這個過程中，中國的勾股術(shù)逐漸豐富與發(fā)展，從簡單的“立竿測影”到一般的勾股形測量，再到與“千里一寸”相結(jié)合對地形廣遠與天高日遠進行測量，并進而發(fā)展出勾股重差理論，形成了完整而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹袊糯垂衫碚擉w系。這也使得中國古代的勾股術(shù)具有與其他文明不同的社會特點與文化意義。

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Measurement of the Heaven and the Earth:the Social Background and Cultural Significance of Chinese Gougu Rule

YIN Duozhi，JI Zhigang
（School of History and Culture of Science，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

Starting from Ju and gnomon，two measuring instruments in ancient China，this paper examines the social background of ancient Chinese Gougu rule，discusses the political and cultural significance of the practice of measuring the heaven and the earth and measuring the shadow length of gnomon in ancient China，and holds the idea that national administration and civilian life provide rich social and cultural soil for the emergence and development of Chinese Gougu rule.In ancient Chinese society，Gougu rule is not only a mathematical theorem，but also an important computational rule that can be applied in production，living and national administration，etc.，and thus complete ancient Chinese Gougu theory system is derived.In this way，the social characteristics and cultural connotations of ancient Chinese Gougu rule are different from those of other cultures.

Ju；gnomon；measure the heaven and the earth；Gougu rule

N09

A

1672-2914（2016）02-0013-05

2015-11-11

國家社會科學(xué)基金項目（13AZS022）。

尹多智（1990—），女，湖南邵東縣人，上海交通大學(xué)科學(xué)史與科學(xué)文化研究院碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)史。

紀(jì)志剛（1956—），教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：jizg@sjtu.edu.cn。