孫文軍，芮國勝，王 林，田文飚

一種利用Duffing-VanderPol振子估計弱信號相位的方法*

孫文軍**，芮國勝，王 林，田文飚

（海軍航空工程學院電子信息工程系，山東煙臺264001）

根據Duffing-VanderPol振子大周期態(tài)時的最大LYaPunov指數與系統(tǒng)策動力的關系，提出了一種基于該振子檢測微弱信號相位參量的方法。該方法利用系統(tǒng)策動力與待測信號初始相位有關的特性，得到待測信號的初始相位，并將相位檢測過程中噪聲對系統(tǒng)的影響作為影響因子加以考慮。理論分析及數值仿真結果表明，該方法工程實現簡單，抗噪性能好。當待測信號信噪比為-30 dB時，均方誤差僅為0.1，具有較高的估計精度。

微弱信號檢測；相位檢測；Duffing-VanderPol振子；LYaPunov指數

1 引 言

隨著現代數字通信技術的發(fā)展和各種應用領域的需要，強噪聲背景下微弱信號的檢測已成為研究的重點。由于混沌振子對小信號的極端敏感性和對噪聲的免疫力，混沌理論在微弱信號檢測中得到了廣泛應用[1-4]。在不同背景噪聲下，出現了各種基于混沌振子的微弱信號檢測理論和方法[5-6]，由于混沌振子檢測具有靈敏度高、抗噪聲能力強、設備成本低的特點，因而受到人們的廣泛關注。

許多研究者對這一領域進行了深入研究。文獻[7]利用混沌振子法實現了對低信噪比環(huán)境下頻移鍵控信號解調；文獻[8]將多混沌振子陣列應用于信號的檢測，實現了信號在不同初始相位下的檢測。近年來，弱信號檢測領域利用混沌振子的參數敏感特性取得了一些新的研究成果：文獻[9]通過對水聲信號的非線性特征進行分析并對其進行系統(tǒng)建模，將微弱水下目標信號的檢測能力提升了約10 dB；文獻[10]將自相關和混沌理論相結合，進一步增強了混沌振子的弱信號頻域檢測能力；文獻[11-12]基于主動控制策略，通過設計比例微分控制器消除誤差系統(tǒng)中的非線性項，以獲得混沌系統(tǒng)的準確同步。這些研究成果展示了混沌振子在弱信號檢測領域尤其是參數辨識等方面具有巨大的潛在研究價值，但仍存在一些問題：一方面，大多數文獻更多關注的是弱信號是否存在的物理檢測，而未對信號的相位檢測進行論述；另一方面，基于數值分析理論的控制類方法需要設計復雜的代價函數，實現難度大，無法實現快速判決。

微弱信號的相位檢測一直是弱信號檢測領域一個非常重要的問題。本文通過對Duffing-Vander_ Pol振子在大周期態(tài)時的LYaPunov指數進行研究，得到其與系統(tǒng)策動力的關系，為了能夠在較低信噪比條件下獲得較好的檢測性能，考慮了信號噪聲的影響，得到信號等效策動力與信號相位的關系，最終得到LYaPunov指數與待檢測信號相位的關系。仿真實驗結果表明，該方法具有較高的檢測精度，并且有較好的抗噪聲性能。

2 Duffing-Vanderpol系統(tǒng)信號檢測原理

考慮如下Duffing-VanderPol方程的弱信號檢測基本形式：

式中：ω為待檢測周期信號的頻率；k為阻尼比；-x（t）＋x3（t）為非線性恢復力；fcos（ωt）為內置周期策動力；rcos（ωt＋Δφ）是待測周期弱信號；n（t）為噪聲信號。傳統(tǒng)的信號檢測方式以Duffing-Vander_ Pol系統(tǒng)對噪聲免疫[13]為前提，將待測信號作為混沌系統(tǒng)周期策動力的攝動，在噪聲強烈的情況下，對系統(tǒng)狀態(tài)的改變影響很小，而一旦有特定頻率的待測信號，由于混沌系統(tǒng)對周期小信號的敏感性，即使幅值較小，也會使系統(tǒng)發(fā)生相變，在相位差滿足如下條件時，即π-arccos（r/（2f））≤Δφ≤π＋arccos（r/（2f）），通過判斷系統(tǒng)是否發(fā)生了相變來判定信號是否存在，從而達到在強背景噪聲下對微弱周期小信號進行檢測的目的。上述信號檢測方法對信號相位只考慮了一定的檢測范圍，沒有具體的相位差值?？蓱枚鄠€內置不同初始相位策動力的混沌振子組成的陣列，對未知相位正弦信號進行并行檢測，其檢測原理如圖1所示。

圖1 Duffing-VanderPol振子陣列檢測原理圖Fig.1 The detection sYstem comPosed of multiPle Duffing-VanderPol oscillators arraY

圖1 中，通過n個不同初始相位的振子檢測，對每個振子是否相變進行判斷，綜合振子的狀態(tài)可以將待檢測信號的相位確定在一個較小范圍內，從而達到弱信號相位檢測的目的。這種檢測方法使用的Duffing-VanderPol方程數量越多，檢測出的信號相位范圍越小，系統(tǒng)的靈敏度也越高，但是隨著方程數量的增多，檢測復雜度會大大增加，降低了檢測效率，并且此方法也沒有考慮到噪聲對系統(tǒng)相變判斷的影響。

3 本文相位檢測方法

本文綜合考慮Duffing-VanderPol系統(tǒng)LYaPunov指數與周期策動力的關系以及周期策動力與相位檢測的關系，提出基于Duffing-VanderPol振子的正弦信號相位檢測方法。

3.1 待檢測信號相位與幅值關系

由式（1）等號的右端可知，對混沌振子起相變作用的總周期驅動信號為

式中：

由于待測信號的幅值r遠遠小于策動力臨界值f，由式（4）可知，Δθ很小，所以對系統(tǒng)狀態(tài)的影響可以忽略不計，因此系統(tǒng)狀態(tài)是否改變的關鍵在于Fs與噪聲干擾n（t）的大小。由式（3）可知，系統(tǒng)是否會發(fā)生相變與待檢測信號和內部驅動信號的相位差有關，由于式（3）中cosΔφ與Fs存在非線性關系，不便于對相位進行估計，所以對其進行線性化可得

進一步可得

通過上式可知，一旦信號幅度確定，系統(tǒng)狀態(tài)是否發(fā)生變化將由相位差值決定。因此，可以通過定量的系統(tǒng)相變判別方法來進一步確定待測信號的相位差。

3.2 Lyapunov指數判別方法

由于利用系統(tǒng)相圖進行判斷需要人工參與，且缺乏定量判別，并不適合工程應用，所以實際中通常利用最大LYaPunov指數判定系統(tǒng)狀態(tài)。

對于映射系統(tǒng)xn＋1＝f（xn），考慮初值x0和其臨近值x0＋Δx0，其LYaPunov指數可表示為

式中：h為采樣間隔；n為采樣時間，且n＝mh。式（8）為計算連續(xù)系統(tǒng)的LYaPunov指數的方法。應用LYaPunov指數對系統(tǒng)的狀態(tài)進行判斷，為了能較為準確，需要選取指數譜中穩(wěn)定的LYaPunov指數值，對于式（1）所示的Duffing-VanderPol系統(tǒng)來說，在Duffing-VanderPol方程阻尼比k＝0.5且h＝0.01、m＝30 000條件下，本文選取n＝300時的最大LYa_ Punov指數值，系統(tǒng)最大LYaPunov指數與系統(tǒng)的周期驅動力強度F的關系如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)最大LYaPunov指數與周期驅動力強度F的關系Fig.2 The relationshiP betWeen the largest LYaPunov exPonent and Periodic driving force strength

圖2 中結果可以說明，Duffing-VanderPol振子的最大LYaPunov指數隨著系統(tǒng)的周期驅動力強度F的增強近似呈單調遞減的關系。當最大LYaPunov特性指數大于零時，說明系統(tǒng)處于混沌態(tài)；當系統(tǒng)最大LYaPunov特性指數由大于零轉為小于零，則是系統(tǒng)從混沌態(tài)躍變到了周期態(tài)的標志。

考慮實際計算LYaPunov指數時會受到輸入噪聲干擾，根據文獻[14]對噪聲干擾的分析，噪聲對LYaPunov指數的影響是由于輸入噪聲的方差導致相圖中增加了方差為的噪聲，且與系統(tǒng)采樣間隔h有關，即與成正比，根據式（8），LYa_ Punov指數為n次隨機變量的和，增加采樣時間n會相應減少LYaPunov指數的方差，且隨機變量的噪聲符合正態(tài)分布，而不會隨機變量服從正態(tài)分布的特性，所以LYaPunov指數也服從正態(tài)分布。令LYaPunov指數的方差為，則其與/n成正比，所以噪聲對LYaPunov指數方差的影響為

通常Duffing-VanderPol振子處于大周期態(tài)時，周期驅動力強度F與λ的關系可認為是線性的，則噪聲對系統(tǒng)LYaPunov指數的影響可認為對等效總策動力的改變，即增加了噪聲的等效策動力Fn，則

通過線性最小二乘擬合的方法，可以得到大周期態(tài)時周期驅動力強度與LYaPunov指數的關系公式為

進一步推導可得

式中：λp為混沌態(tài)到大尺度周期態(tài)的最大LYaPunov指數閾值；α、b為擬合參數。在圖1所示的條件下，根據對F的統(tǒng)計結果可得，λp＝-0.084 5，與其對應的等效總策動力幅值為Fp＝0.837 0，K＝0.897 9，擬合參數分別為α＝0.165 5，b＝0.823 1，其擬合誤差如圖3所示。

圖3 周期驅動力強度擬合的標準差Fig.3 The adaPtive mean-square error of Periodic driving force

由圖可見，在Duffing-VanderPol系統(tǒng)處于穩(wěn)定的大尺度周期狀態(tài)時，對系統(tǒng)等效總策動力擬合的誤差很小，擬合函數具有很高的精度，據此可以利用其估計待測微弱信號的相位。

3.3 根據Lyapunov指數估計微弱信號的相位

由式（7）和式（8），可以得到大尺度周期態(tài)時LYaPunov指數與待檢測信號相位是線性關系，所以，為了提高待檢測相位的估計精度，對內置正弦策動力f設置等間隔分布的多個值，對其加和平均進行相位估計，設f分別為f1，f2，…，fN，且fi-r≥Fp，這樣可以保證Duffing-VanderPol振子處于大尺度周期態(tài)，每一個fi對應一個最大LYaPunov指數λi，可得相位估計公式

上述表達式對于相位的估計可以提高一定的精度，并且有利于工程實現。根據以上分析，對信號相位檢測的步驟歸納如下：

（1）設置內置策動力：根據圖1所示系統(tǒng)最大LYaPunov指數與等效策動力的關系，設置內置驅動力f1，令f1＝Fp＋r，將式（1）的f替換成f1，得到系統(tǒng)的檢測方程；

（2）計算最大LYaPunov指數：對第一步中的檢測方程，應用歐拉-丸山方法進行數值求解，積分步長為0.01，求得方程的數值解，根據3.2節(jié)的方法，進一步得到方程的最大LYaPunov指數λ1；

（3）重新設置內置驅動力：令fi＝fi-1＋0.001，重復步驟2，得到在不同內置策動力下多個最大LYa_ Punov指數λi；

（4）估計弱信號相位：根據公式（16）計算得到弱信號相位Δφ的估計。

4 仿真分析

設置待檢測正弦信號的幅值為0.001 V，加入高斯白噪聲，信噪比為-5 dB，分別設置不同的信號相位，，對Δφ進行估計，并與設置的信號相位進行對比，結果如圖4所示。

圖4 微弱信號相位檢測結果Fig.4 The Phase detection results of Weak signals

圖4 中，1～17監(jiān)測點分別是初始相位為0～π的微弱正弦信號，由圖可見，應用本文方法可以對弱信號相位進行較好的估計。取其中較有代表性的9點對其估計的均方誤差做統(tǒng)計，結果如表1所示。

表1 不同初始相位的檢測誤差Tab.1 The detection error of Weak signals With different initial Phases

通過觀察各估計點的均方誤差可以發(fā)現，除了相位差在0和π附近的偏差較大，其他相位估計的均方誤差均在0.01以下，這是由于相位差在0和π處的反余弦函數斜率接近于0，函數曲線靠近漸近線，擬合參數誤差會對估計結果造成較大影響。

進一步對檢測系統(tǒng)抗噪性能進行研究，對信號設置9個不同的初始相位值，在不同的信噪比條件下，得到的相位檢測誤差如圖5所示。

圖5 不同信噪比的相位檢測誤差Fig.5 The Phase detection error of Weak signals under different SNR conditions

從結果中可以看出，該檢測方法對噪聲有一定的免疫力，在信噪比-30 dB條件下，均方誤差在0.1以下，仍可以有效檢測出信號的初始相位，這是由于本文方法在擬合策動力與最大LYaPunov指數的關系時，將噪聲對LYaPunov指數的影響作為擬合項加以考慮，這樣使在較低信噪比條件下的弱信號相位檢測精度得到相應提高。

5 結束語

本文研究了一種基于Duffing-VanderPol振子的正弦信號相位檢測方法，該方法基于系統(tǒng)處于大周期態(tài)時的最大LYaPunov指數對參數仍有極端敏感的特性，通過這種特性進行定量的描述，找到最大LYaPunov指數與弱信號相位之間的函數關系，并在實現相位檢測時考慮噪聲的影響，得到信號相位的估計式。仿真實驗表明，該檢測方法精度較高，易于實現，并且具有很強的抗噪聲能力。

文中算法提出的依據是基于混沌振子相變和最大LYaPunov指數準則的，當混沌振子沒有發(fā)生可靠相變或者最大LYaPunov指數無法實現相變檢測時，本文方法同樣也不再適用。

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孫文軍（1987—），男，山東聊城人，2012年于海軍航空工程學院獲碩士學位，現為博士研究生，主要研究方向為混沌弱信號檢測和現代通信系統(tǒng)；

SUN Wenjun Was born in Liaocheng，Shan_ dong Province，in 1987.He received the M.S. degree from Naval Aeronautical and Astronautical UniversitY in 2012.He is currentlY Working toWard the Ph.D.de_ gree.His research concerns Weak signals detection based on cha_ otic theorY and modern Wireless communication sYstem.

Email：djresearch@126.com

芮國勝（1968—），男，江蘇南京人，2001年于哈爾濱工程大學獲博士學位，現為海軍航空工程學院教授、博士生導師，主要研究方向為現代通信系統(tǒng)、非線性濾波理論、小波理論與應用等；

RUI Guosheng Was born in Nanjing，Jiangsu Province，in 1968.He received the Ph.D.degree from Harbin Engineering U_ niversitY in 2001.He is noW a Professor and also the Ph.D.su_ Pervisor.His research concerns modern communication sYstem，nonlinear filter theorY，Wavelet theorY and its aPPlication，etc.

王 林（1985—），男，山東煙臺人，博士，講師；

WANG Lin Was born in Yantai，Shandong Province，in 1985.He is noW a lecturer With the Ph.D.degree.

田文飚（1987—），男，江西南昌人，博士，講師。

TIAN Wenbiao Was born in Nanchang，Jiangxi Province，in 1987.He is noW a lecturer With the Ph.D.degree.

Estimation of Weak Signal Phase by Using Duffing-Vanderpol Oscillator

SUN Wenjun，RUI Guosheng，WANG Lin，TIAN Wenbiao
（DePartment of Electronic and Information Engineering，Naval Aeronautical and Astronautical UniversitY，Yantai 264001，China）

When Duffing-VanderPol oscillator is in large-scale Periodic motion，there are some nexus be_ tWeen the largest LYaPunov exPonent and sYstem driving force.According to this conclusion，an algorithm for detecting Weak signals’Phase based on Duffing-VanderPol oscillator is ProPosed.Through finding the relationshiP betWeen sYstem driving force and the Phase of Weak signal，the Weak signals’Phase is detec_ ted.The noise imPact on sYstem is also considered.Theoretical analYsis and simulation result shoW that this algorithm is easY to be realized in engineering With strong restrain abilitY to noise and high estimation accu_ racY.When the signal-to-noise ratio（SNR）of to-be-detected signals is equal to-30 dB，the meansquare error（MSE）is onlY 0.1.

Weak signal detection；Phase detection；Duffing-VanderPol oscillator；LYaPunov exPonent

The National Natural Science Foundation of China（No.41476089）

TN911

A

1001-893X（2016）01-0014-06

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.01.003

孫文軍，芮國勝，王林，等.一種利用Duffing-VanderPol振子估計弱信號相位的方法[J].電訊技術，2016，56（1）：14-19.[SUN Wenjun，RUI Guosheng，WANG Lin，et al.Estimation of Weak signal Phase bY using Duffing-VanderPol oscillator[J].Telecommunication En_ gineering，2016，56（1）：14-19.]

2015-09-15；

2015-12-02 Received date：2015-09-15；Revised date：2015-12-02

國家自然科學基金資助項目（41476089）

**通信作者：djresearch@126.com Corresponding author：djresearch@126.com