左曙光，韋錫晉，倪天心，吳旭東

(同濟大學(xué) 新能源汽車工程中心， 上海 201804)

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材料粘彈性對于一維局域共振聲子晶體帶隙的影響*

左曙光，韋錫晉，倪天心，吳旭東

(同濟大學(xué) 新能源汽車工程中心， 上海 201804)

聲子晶體是具有聲子帶隙的人工周期性復(fù)合結(jié)構(gòu)。作為常見的聲子晶體的組成材料，橡膠材料的粘彈特性很少被考慮到，但其會對聲子晶體帶隙特性有重要影響。研究聲子晶體考慮橡膠的粘彈性后的帶隙特性，目的在于研究聲子晶體在實際應(yīng)用中的特性，以更好的應(yīng)用聲子晶體。建立了一維聲子晶體梁的有限元模型。使用微分型粘彈性本構(gòu)模型中的三參數(shù)Maxwell模型，推導(dǎo)了它的松弛剪切模量，將模型中的粘彈性轉(zhuǎn)化為有限元模型中的材料參數(shù)。并通過進行有限元計算，比較和分析了考慮粘彈性之后對于不同形式聲子晶體帶隙的影響，發(fā)現(xiàn)粘彈性會影響帶隙的位置和寬度，同時減小了振動的衰減。

局域共振；聲子晶體；帶隙；粘彈性；有限元

0 引 言

從20世紀(jì)90年代開始，對聲子晶體有了比較廣泛的研究[1-3]。在2000年以前，所研究的聲子晶體的彈性波帶隙頻率對應(yīng)的彈性波波長同聲子晶體晶格尺寸相當(dāng)，即彈性波帶隙的形成遵循Bragg散射機理。2000年，劉正猷教授發(fā)現(xiàn)使用軟材料包覆的鉛球埋在環(huán)氧樹脂中形成的聲子晶體的帶隙頻率對應(yīng)的波長遠遠大于晶格尺寸，由此提出了聲子晶體的局域共振帶隙機理[4]。

在實際應(yīng)用中，材料具有很多復(fù)雜的屬性，比如經(jīng)常被用到作包覆層材料的橡膠具有粘彈性，會對帶隙特性產(chǎn)生一定影響。粘彈材料是同時具有流體粘性和固體彈性的材料，如塑料、橡膠等聚合物等。對于粘彈性材料，彈性模量不僅為復(fù)數(shù)，而且是頻率的函數(shù)。將粘彈材料引入聲子晶體的材料中，會帶來一些特殊的影響，引起了學(xué)者的關(guān)注。在處理粘彈材料時，有的學(xué)者將其視為具有特定阻尼的彈性材料，沒有考慮阻尼和彈性常數(shù)隨頻率的變化[5-6]；有的學(xué)者用復(fù)數(shù)來表示彈性模量，并認為其虛部也就是損耗模量表征為對能量的耗散，而決定彈性波傳播行為的是其實部也就是儲能模量，因此只考慮儲能模量對聲子晶體色散關(guān)系的影響[7]。王剛、溫激鴻等還對比了理論計算和實驗測試的結(jié)果，認為粘彈阻尼不改變結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系，只表現(xiàn)為對高頻能量的耗散作用，從而增大了帶隙的寬度[8]。上述研究中都認為損耗模量只表現(xiàn)為對能量的耗散而對色散關(guān)系沒有影響。Merheb等同時考慮了材料粘彈性對聲子晶體結(jié)構(gòu)色散關(guān)系和耗散的影響[9]。這些人的研究都只針對了簡單的布拉格形式的聲子晶體，并沒有研究材料粘彈性對于局域共振聲子晶體帶隙特性的影響，這兩者因為機理不同，粘彈性的影響也會有所不同?；诖?，本文主要針對粘彈性材料屬性對于局域共振聲子晶體帶隙特性的影響進行研究。

目前的理論算法都無法考慮到粘彈性材料的彈性模量隨頻率變化的特性。所以本文使用有限元算法進行計算。本文首先建立了一維聲子晶體的有限元模型，通過引入三參數(shù)微分型粘彈本構(gòu)模型來模擬橡膠材料的粘彈性，通過推導(dǎo)將理論模型中的參數(shù)轉(zhuǎn)化為有限元模型中的材料參數(shù)，給有限元模型賦予了粘彈屬性，最后使用有限元方法研究材料粘彈性對聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響，分析和討論了損耗模量和儲能模量對于聲子晶體帶隙特性的影響。

1 一維聲子晶體有限元模型的建立

如圖1所示，為本文所使用的典型一維聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的示意圖[10]。梁使用的是有機玻璃，界面尺寸為b=0.01 m和h=0.005 m。振子由橡膠(長0.01 m、寬0.01 m、高0.002 m)粘結(jié)銅塊構(gòu)成，晶格常數(shù)為0.08 m，銅塊質(zhì)量為0.013 kg。材料參數(shù)如表1所示。

因為該結(jié)構(gòu)簡單，組成部分俱為規(guī)則的立方體單元，選擇使用六面體實體單元。在Abaqus中典型的六面體實體單元主要有線性單元和二次單元,它們又分為完全積分和縮減積分兩種。因為分析的振動主要是彎曲振動，使用完全積分單元會導(dǎo)致剪力自鎖，使得單元在彎曲時剛度過大，所以選擇縮減積分單元。為糾正使用線性縮減積分單元(C3DR8)時可能產(chǎn)生的剛度“泄露”現(xiàn)象，仿真中同時使用了二次精度控制和沙漏控制。

圖1 一維局域共振聲子晶體示意圖

表1 材料屬性

該聲子晶體結(jié)構(gòu)由3種材料組成，其接觸面在實際中需要用膠合物連接。在本文中是考慮材料的粘彈性，所以對膠合物的性質(zhì)不作討論，在有限元軟件中使用共節(jié)點的方式進行連接。即3種材料在接觸面處不會發(fā)生滑移。繪制完網(wǎng)格后使用Abaqus中的check element功能，用網(wǎng)格大小角度等參數(shù)來判斷繪制的網(wǎng)格是否有比較高的質(zhì)量。

給模型賦予材料參數(shù)后即可開始進行有限元計算。給梁的一端加上垂直于板面幅值為1 mm/s2的簡諧加速度激勵，進行掃頻分析，在梁的另一端讀取加速度響應(yīng)即為傳輸頻響函數(shù)。加速度出現(xiàn)衰減的頻率范圍即為所求的帶隙。綜合考慮計算時間和所需求的精度，選擇計算步長為5 Hz。在理論計算中所求的聲子晶體是無限周期的，而在有限結(jié)構(gòu)中，帶隙的衰減大小與位置和結(jié)構(gòu)的周期數(shù)有明顯的關(guān)系，為了能夠清晰得出帶隙的位置從而得到準(zhǔn)確的結(jié)論必須選擇合適的周期數(shù)。圖2所示為不同周期數(shù)的聲子晶體的局域共振帶隙的計算值。可見周期數(shù)達到5個之后計算得到的帶隙值已經(jīng)基本一致，鑒于周期數(shù)越多計算時間越久，選擇5個周期的有限元模型進行之后的計算。有限元模型如圖3所示。

2 粘彈性材料模型及其向有限元軟件的轉(zhuǎn)化

粘彈性是材料的一種本構(gòu)性質(zhì),粘彈性固體材料在性質(zhì)上介于彈性體和粘性流體之間：它對突加載荷像彈性體一樣產(chǎn)生瞬時響應(yīng)；對動載荷響應(yīng)又像粘性流體那樣滯后，而滯后的時間介于彈性體和粘性流體之間。組成聲子晶體結(jié)構(gòu)中橡膠材料的粘彈性對于帶隙性質(zhì)有很大的影響，所以引進粘彈性模型來對材料粘彈性的影響進行研究。

圖2 不同周期數(shù)有限元計算得到的帶隙值

圖3 一維局域共振聲子晶體模型

微分型粘彈性本構(gòu)關(guān)系是基于粘彈性材料的機械模型(彈簧和粘壺組成的模型)所建立的本構(gòu)方程。目前常見幾種粘彈性模型如圖4所示[12]。圖4(a)的K-V模型能表現(xiàn)粘彈性材料的蠕變特性，不能表現(xiàn)其松弛特性。圖4(b)的二參數(shù)Maxwell模型能表現(xiàn)松弛特性，不能表現(xiàn)蠕變特性。而對于三參數(shù)Maxwell模型和Maxwell并聯(lián)模型，既能描述橡膠的應(yīng)力松弛，又能描述橡膠的蠕變特性?？紤]到本文是為了探討粘彈性對于聲子晶體帶隙特性的影響，而不是需要并聯(lián)模型的多個參數(shù)能夠很精確的描述實際橡膠的運動特性，所以在研究中選擇三參數(shù)Maxwell模型。圖4(c)的三參數(shù)Maxwell由3個部分組成，粘性系數(shù)為η的粘壺，和粘壺串聯(lián)的彈性模量為E2的彈簧，以及和他們并聯(lián)的彈性模量為E1的彈簧。

圖4 K-V模型、二參數(shù)Maxwell模型、三參數(shù)Maxwell模型和為Maxwell并聯(lián)模型

橡膠材料粘彈特性可以分別在時域和頻域中描述。ABAQUS時域中提供的粘彈本構(gòu)模型是基于松弛剪切模量Prony級數(shù)展開形式的積分型本構(gòu)方程?？梢酝ㄟ^Laplace變換，將線性粘彈性微分本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為Prony級數(shù)的形式。松弛剪切模量表示的是一個應(yīng)力與應(yīng)變速度的關(guān)系。對于三參數(shù)Maxwell模型，其線性粘彈微分本構(gòu)方程可以表示為

(1)

三參數(shù)Maxwell模型的松弛剪切模量為

(2)

再將其做Laplace逆變換，得到時域松弛剪切模量

(3)

模型突然加載，粘壺來不及反應(yīng)，力經(jīng)過粘壺沒有幅值和相位的改變。所以瞬時剪切模量

(4)

把剪切模量去量綱化

(5)

將式(5)展開成Prony級數(shù)的形式

(6)

在Abaqus中，時域和頻域的參數(shù)值可以自動轉(zhuǎn)化，所以根據(jù)上述分析即可得到Abaqus中需要輸入的材料參數(shù)

(7)

(8)

對于粘彈性材料，在研究其動態(tài)問題時，往往根據(jù)類比彈簧的彈性模量引入復(fù)模量模型。

三參數(shù)Maxwell模型的微分本構(gòu)模型，將其寫成拉氏域動態(tài)模量為

(9)

將拉氏域變換到頻域可得

(10)

其中

表示單元的相對粘度。

(11)

式(11)為復(fù)模量的實部，為儲能模量。

(12)

式(12)為復(fù)模量的虛部，為損失模量。

3 粘彈性對于一維局域共振聲子晶體帶隙特性的影響

在分析材料粘彈性影響之前，先對與之類似的材料阻尼特性進行考慮。阻尼作為粘彈性的一種特殊情況，采用復(fù)阻尼形式可以表示為

μ為阻尼因子。如圖5所示為不同阻尼因子的計算所得的虛波矢圖。虛波矢即為帶隙位置，虛波矢越大，代表衰減越大?？梢钥闯鱿鹉z的阻尼因子越大對帶隙的形成越不利，嚴(yán)重影響帶隙內(nèi)的振動衰減能力。當(dāng)橡膠阻尼因子達到0.2時，帶隙的形狀已經(jīng)發(fā)生了很大的變化，難以對振動形成有效的衰減。

圖5 不同阻尼因子帶隙對比

考慮完了特殊情況，對粘彈性進行分析。如圖6所示，為考慮粘彈性的一維局域共振型聲子晶體和不考慮粘彈性的一維局域共振型聲子晶體彎曲振動頻率響應(yīng)曲線的比較。計算中，材料的具體的數(shù)據(jù)與理論計算模型參數(shù)相同，粘彈性參數(shù)E2=0.5 MPa，η=0.0005。

從圖6可以看出，布拉格帶隙的帶隙位置沒有因為橡膠的粘彈性而發(fā)生變化，這是因為布拉格帶隙的帶隙機理與局域共振帶隙不同，橡膠塊對于布拉格帶隙機理起到的只是質(zhì)量塊的作用。而對于局域共振帶隙可以看到帶隙起始頻率和帶隙截止頻率都出現(xiàn)了增大。這可以由橡膠復(fù)模量的實部隨著頻率增大解釋。橡膠復(fù)模量的實部隨著頻率增大而單調(diào)遞增，并且趨近于E1+E2。同時由于復(fù)模量實部的增大也使共振峰向高頻移動。這種特性對于擴大聲子晶體帶隙范圍有著明顯的效果。根據(jù)文獻[12]局域共振帶隙具有簡化模型，根據(jù)簡化模型可以得到帶隙的起始頻率和截止頻率的計算公式，分別為

f1和f2分別為起始帶隙和截止帶隙，k為橡膠剛度，m1為振子質(zhì)量，m2為單個單元基體質(zhì)量。由公式可以看出，起始帶隙和截止帶隙均會隨著剛度的增大而增大，但是剛度在頻率低時增加小，在頻率高時增加多，也就是可以在保持起始帶隙變化很小的情況下，使得截止帶隙有較大的增長，這也就擴大了帶隙的范圍。同時從圖6可以看出，曲線的形狀并沒有發(fā)生明顯改變，只是出現(xiàn)的一些共振峰值都向高頻移動，并且幅值減小了，并且這種現(xiàn)象越接近高頻越明顯。這些明顯是由粘彈性模型中的損耗模量引起的，但是這部分變化對帶隙機理不會起影響，對于有限周期的聲子晶體，損耗模量的存在會使得衰減振動的能力減弱，但是引起的帶隙外的振動也會減小。

圖6 振子梁彎曲振動考慮粘彈性與不考慮粘彈性頻率響應(yīng)函數(shù)的對比

下面針對三參數(shù)Maxwell模型中的參數(shù)變化具體分析。E1屬于不變的量，是橡膠的長效模量，它的變化相當(dāng)于增大了橡膠的剛度，不影響損耗模量，所以不做具體討論。

如圖7所示為E2增大后對于布拉格帶隙的影響，中心頻率也就是帶隙位置基本沒有發(fā)生變化，與之前的分析相同。在所取的參數(shù)范圍，由式(11)和(12)可得，儲能模量和損耗模量是遞增的。因為E2增大使得儲能模量和損耗模量都明顯增加，這使得帶隙的范圍擴大了。由理論計算可以分析彈性模量變大的影響，如圖8所示?？梢钥闯觯祭駧兜淖兓c橡膠剛度的變化并沒有關(guān)系。這證明是復(fù)模量中的損耗模量造成了帶隙的擴大。對此的理論解釋，因為損耗模量的存在，使得原本不處于帶隙頻率范圍內(nèi)的頻率段也產(chǎn)生了衰減，這種衰減并不是因為振子的振動和基體中波的耦合作用而產(chǎn)生的，而是因為橡膠中的能量衰減所造成的。

圖7 E2變化產(chǎn)生的第一帶隙各參數(shù)的變化

圖8 不同剛度橡膠帶隙的對比

而對于第二帶隙也就是局域共振帶隙的影響就比較明顯。對于起始頻率影響比較小，對于截止頻率影響比較大，這也是式(11)所決定的。低頻影響小，高頻影響大。變化對于局域共振帶隙影響如圖9所示。起始頻率和截止頻率都會增大，截止頻率增加的更多，這就導(dǎo)致帶隙位置向高頻移動同時寬度增加。

隨著η的增大儲能模量是單調(diào)遞增的，而損耗能量會先增大后減小。所以得到的帶隙的變化如圖10所示，起始頻率和截止頻率會隨著η的增加而增加，截止頻率增加的更多。損耗能量的變化在正常取值范圍不會明顯的體現(xiàn)出來。

圖9 E2變化產(chǎn)生的第二帶隙各參數(shù)的變化

圖10 η變化產(chǎn)生的第二帶隙各參數(shù)的變化

4 結(jié) 論

根據(jù)粘彈性材料的三參數(shù)Maxwell模型，利用有限元法對由粘彈性材料組成的一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)及帶隙特性進行了計算和理論分析。三參數(shù)模型中的3個參數(shù)，除了不屬于粘彈性的考慮范疇長效彈性模量，其它兩個參數(shù)可以由上述分析得，它們都在不同程度上改變了粘彈性橡膠的儲能模量和損耗能量，并且他們的影響也可以通過儲能模量和損耗模量的改變來進行分析。

由于材料粘彈特性的頻率相關(guān)性，儲能模量和損耗模量都是頻率的函數(shù)，從而對聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了重大影響。對比結(jié)果表明，對于局域共振類型的聲子晶體材料，其中作為彈簧作用的橡膠材料的粘彈性對于布拉格機理的帶隙基本不起作用，僅是損耗模量增大會對帶隙有微小的放大作用。而對于局域共振機理的帶隙，儲能模量隨頻率的變化會顯著的影響帶隙的位置和大小，而損耗模量會改變共振峰的位置，不影響帶隙的位置和大小，但會對衰減的幅度起到一定影響。

材料粘彈性對聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的這些影響歸因于材料粘彈阻尼的頻率相關(guān)性。研究結(jié)果可以為粘彈性阻尼材料應(yīng)用于聲子晶體提供一定的理論依據(jù)，也為調(diào)節(jié)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)和獲得寬頻帶隙提供了一種新的方法。

[1] Sigalas M M, Economou E N. Elastic and acoustic wave band structure[J]. Journal of Sound and Vibration, 1992, 158(2): 377-382.

[2] Kushwaha M S, Halevi P, Dobrzynski L, et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites[J]. Physical Review Letters, 1993, 71(13): 2022.

[3] Sánchez-Pérez J V, Caballero D, Martinez-Sala R, et al. Sound attenuation by a two-dimensional array of rigid cylinders[J]. Physical Review Letters, 1998, 80(24): 5325.

[4] Liu Z, Zhang X, Mao Y, et al. Locally resonant sonic materials[J]. Science, 2000, 289(5485): 1734-1736.

[5] Psarobas I E. Viscoelastic response of sonic band-gap materials[J]. Physical Review B, 2001, 64(1): 012303.

[6] Hussein M I. Theory of damped bloch waves in elastic media[J]. Physical Review B, 2009, 80(21): 212301.

[7] Wang Gang, Wen Jihong, Liu Yaozong, et al. Vibration band gap of one-dimensional periodic structure with viscoelastic material[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2004, 40(7): 47-50.

王 剛, 溫激鴻, 劉耀宗, 等. 一維粘彈材料周期結(jié)構(gòu)的振動帶隙研究[J]. 機械工程學(xué)報, 2004, 40(7): 47-50.

[8] Wen Jihong, Wang Gang, Liu Yaozong,et al. Vibration band gaps of metal/nitrile rubber rod-like phononic crystals structure[J]. Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(1): 1-7.

溫激鴻, 王 剛, 劉耀宗, 等. 金屬/丁腈橡膠桿狀結(jié)構(gòu)聲子晶體振動帶隙研究[J]. 振動工程學(xué)報, 2005, 18(1): 1-7.

[9] Merheb B, Deymier P A, Jain M, et al. Elastic and viscoelastic effects in rubber/air acoustic band gap structures: A theoretical and experimental study[J]. Journal of Applied Physics, 2008, 104(6): 064913.

[10] Wen Xisen, Wen Jihong, Yu Dianlong, et al. Phononic crystals[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2009： 2-15.

溫熙森，溫激鴻，郁殿龍，等.聲子晶體[M].北京：國防工業(yè)出版社，2009：2-15.

[11] Hu Jing. Analysis and optimization of EV suspension rubber bushing vibration characteristics[D]. Shanghai: Tongji University, 2014.

胡 競. 電動車懸架橡膠襯套隔振特性分析與優(yōu)化設(shè)計[D]. 上海: 同濟大學(xué), 2014.

[12] Wang Gang. Research of band gap mechanism and damping characteristics of locally resonant phononic crystals[D]. Changsha: National Defense Scientific and Technical University, 2005.

王 剛. 聲子晶體局域共振帶隙機理及減振特性研究[D]. 長沙: 國防科技大學(xué), 2005.

The effects of viscoelastic material on the band gap of one-dimensional locally resonant phononic crystal

ZUO Shuguang, WEI Xijin, NI Tianxin, WU Xudong

(Clean Energy Automotive Engineering Center, Tongji University, Shanghai 201804,China)

Phononic crystals are artificial periodic composite structure with phononic band gap. As common phononic crystals constituent materials, the viscoelastic property of the rubber material is rarely taken into account, but it has a major impact on phononic crystal band gap characteristics. This paper studies the band gap properties of phononic crystal considering the viscoelasticity of the rubber materials for the purpose of studying phononic crystal features in the practical application so that we can have a better application of its vibration control characteristics. The shear modulus relaxation parameter is derived and transformed into the finite element model in Abaqus. The finite element model considering viscoelastic property is thus proposed and employed to analysis. According to the comparison and analysis of the influence on different forms of phononic band gaps after considering the viscoelasticity, it is found that the material viscoelasticity has the influence on the location and width of band gap and will weaken the attenuation ability of the band gap.

local resonance; phononic crystal; band gap; viscoelasticity; finite element

1001-9731(2016)10-10162-06

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(51305303)

2015-09-10

2016-04-22 通訊作者：吳旭東，E-mail: wuxudong@#edu.cn

左曙光 (1968-)，男，湖南沅江人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事新能源電動汽車振動與噪聲的研究。

O328

A

10.3969/j.issn.1001-9731.2016.10.030