劉艷萍

作為初中的一門(mén)重要課程，初中數(shù)學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和歸納能力起到非常積極的作用，所以在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，必須要強(qiáng)化對(duì)教學(xué)方式的選取。歸納法在數(shù)學(xué)證明題中有著廣泛的應(yīng)用，能夠?qū)γ}進(jìn)行論證，因此廣大初中數(shù)學(xué)教師都非常注重學(xué)生對(duì)歸納法的掌握。通過(guò)開(kāi)展初中數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用研究能夠更好的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，改善數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，并為相關(guān)研究提供參考意見(jiàn)。

一、數(shù)學(xué)歸納法概述

初中數(shù)學(xué)的一種關(guān)鍵證明方式就是歸納法，尤其適用于數(shù)學(xué)特定命題的解答，驗(yàn)證題目在整體/局部自然數(shù)內(nèi)成立，完成數(shù)學(xué)題目的解答。此外，通常在良基結(jié)構(gòu)中也能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，集合論中的樹(shù)就是典型的數(shù)學(xué)題目。

初中數(shù)學(xué)中歸納法的應(yīng)用范圍有限，僅限于解答有關(guān)正整數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并對(duì)等式是否成立、數(shù)列通項(xiàng)公式是否成立等問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證。歸納的過(guò)程就是數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的關(guān)鍵所在，在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程中，獲得的并非真理，而是一種經(jīng)驗(yàn)，為了證明歸納結(jié)果是否成立，應(yīng)進(jìn)行進(jìn)一步的演繹證明。

二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用步驟分析

在初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，需要通過(guò)兩大步驟進(jìn)行驗(yàn)證分析：

首先，對(duì)n取值為m時(shí)（m為自然數(shù)），命題的成立與否進(jìn)行驗(yàn)證。該數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)就是證明命題的最小自然數(shù)是否存在，闡釋特殊狀況中命題的正確與否。該數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明涉及到自然數(shù)集最小數(shù)原理，表明自然數(shù)下各非空子集是否存在最小數(shù)。這個(gè)分析過(guò)程就是歸納奠基，為數(shù)學(xué)命題的驗(yàn)證分析奠定了基礎(chǔ)，是影響命題成立的關(guān)鍵所在。

其次，設(shè)n取值為k時(shí)命題成立，其中k要比n大。通過(guò)推導(dǎo)的方式證明取n的連續(xù)自然數(shù)n+1時(shí)，該命題依然成立。這一步能夠判斷出命題正確性能夠進(jìn)行傳遞，并將這一結(jié)論進(jìn)行普遍性推廣。假設(shè)并驗(yàn)證的環(huán)節(jié)是歸納推理的核心，即找尋在n取值為k+1時(shí)和n取值為k時(shí)的相同命題結(jié)果。

基于假設(shè)的思想，運(yùn)用歸納法進(jìn)行假設(shè)和分析是數(shù)學(xué)歸納推理的主要構(gòu)思，單一的驗(yàn)證過(guò)程是利用歸納法的前提，歸納法的關(guān)鍵就是歸納遞推，這兩大步驟必須要同時(shí)存在。在明確歸納推理的思路后，要按照規(guī)定的格式對(duì)證明步驟進(jìn)行書(shū)寫(xiě)，從而得出結(jié)論和結(jié)果，表明取值為自然數(shù)n（n大于等于零）時(shí)數(shù)學(xué)命題的成立。

三、初中數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用研究

（一）數(shù)學(xué)歸納法在初中數(shù)學(xué)證明恒等式中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)恒等式的證明主要涵蓋代數(shù)恒等式（正整數(shù)）、組合數(shù)學(xué)公式恒等式和三角恒等式，可以利用歸納法進(jìn)行驗(yàn)證，證明的關(guān)鍵就在證實(shí)等式兩邊相同與否。

例如：對(duì)n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2，其中n∈N*。利用歸納法進(jìn)行驗(yàn)證。

證明過(guò)程為：

（1）當(dāng)n取值為1時(shí)，等式右邊左邊=左邊=1=（2×1-1）2，等式成立。

（2）假設(shè)n取值為k時(shí)，等式依然成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）2

則當(dāng)n取值為k+1時(shí)，等式為k+ （k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

=[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k +2）]+8k=（2k-1）2+8k

=4k2+4k+1

=（2k+1）2

=[2（k+1）-1]2

則當(dāng)n取值為k+1時(shí)，等式左右兩邊依然成立，所以取n（任意正整數(shù)）均可以使等式成立。

（二）數(shù)學(xué)歸納法在初中數(shù)學(xué)證明不等式中的應(yīng)用

在對(duì)初中數(shù)學(xué)不等式進(jìn)行驗(yàn)證的過(guò)程中，可以不等式劃分成嚴(yán)格、不嚴(yán)格兩大類(lèi)，前者只需要原來(lái)不等式的>、<成立；而后者的證明過(guò)程比較繁瑣。例如初中數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，就可以充分運(yùn)用歸納法的作用和優(yōu)勢(shì)，對(duì)公式中任意取值為1，假設(shè)公式在此情況下成立，之后假設(shè)自然數(shù)k也可以使不等式成立，這樣就能夠得出相應(yīng)的不等式，之后歸納在取k+1時(shí)公式兩邊也成立，這樣就能夠使不等式的證明簡(jiǎn)化為驗(yàn)證，只需要對(duì)簡(jiǎn)單的不等式成立與否進(jìn)行證明即可。

（三）數(shù)學(xué)歸納法在初中數(shù)學(xué)整除問(wèn)題證明中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)整除問(wèn)題也會(huì)廣泛應(yīng)用到數(shù)學(xué)歸納法，在解決這類(lèi)數(shù)學(xué)證明問(wèn)題時(shí)，需要基于整數(shù)的角度，運(yùn)用添項(xiàng)和刪項(xiàng)的方式進(jìn)行配湊，從而得出是否可以被整除的問(wèn)題。

例如：驗(yàn)證f（n）=5n+2×3n+1是否可以被8整除。

證明過(guò)程為：

（1）當(dāng)n取值為1時(shí)，f（n）=5n+2×3n+1即為f（1）=5+2×3+1=8，所以可以被8整除；

（2）假設(shè)當(dāng)n取值為k時(shí)，原命題依然成立，