苗恩銘，劉　義，董云飛，陳維康

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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數(shù)控機床熱誤差時間序列模型預(yù)測穩(wěn)健性的提升

苗恩銘*，劉義，董云飛，陳維康

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

針對數(shù)控機床熱誤差建模應(yīng)用的時間序列算法受嚴(yán)重多重共線性的影響存在預(yù)測穩(wěn)健性不足的問題，提出一種提升時間序列預(yù)測穩(wěn)健性的方法。該方法將時間序列算法與能夠抑制多重共線性的建模算法相結(jié)合，從而既可通過在模型中加入溫度滯后值來提供更全面的溫度信息，又可對溫度滯后值引入的更為嚴(yán)重的多重共線性進(jìn)行處理。文中以時間序列算法中的分布滯后(DL)算法、共線性抑制算法中的主成分回歸(PCR)算法為例，采用主成分分布滯后(PCDL)算法建立了機床熱誤差補償模型，并將其與DL算法的預(yù)測精度和穩(wěn)健性進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示，PCDL算法因為抑制了多重共線性的影響，其模型預(yù)測精度和穩(wěn)健性遠(yuǎn)優(yōu)于DL模型，預(yù)測精度提升了約9 μm。本文所述方法可為時間序列數(shù)據(jù)建模在不同領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用提供參考。

數(shù)控機床；熱誤差；時間序列模型；預(yù)測穩(wěn)健性；主成分分布滯后算法

1　引　言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對數(shù)控機床及加工中心的加工精度和可靠性提出了更高的要求。在數(shù)控機床加工過程中，由于各部件不均衡溫升引起的熱誤差，使得刀具和工件之間的相對正確位置發(fā)生了變化，行成零件的加工誤差。據(jù)統(tǒng)計，數(shù)控機床熱誤差約占總誤差的40%～70%[1,2]。通過應(yīng)用設(shè)計和制造技術(shù)改進(jìn)床身結(jié)構(gòu)的硬件補償方法成本高，且效果并不十分理想。因此，對數(shù)控機床熱誤差軟件補償技術(shù)的研究具有重要意義[3]。

在數(shù)控機床熱誤差軟件補償技術(shù)中，核心的問題是建立預(yù)測精度高、穩(wěn)健性強的熱誤差補償模型[4]。由于機床結(jié)構(gòu)和材料對機床散熱的限制，溫度傳感器對溫度值的采集通常存在一定的滯后效應(yīng)，為了提高數(shù)控加工中心熱誤差模型的補償精度，人們嘗試將時間序列模型應(yīng)用于機床熱誤差建模。合肥工業(yè)大學(xué)的苗恩銘等[5,6]采用時間序列中的分布滯后、自回歸分布滯后算法建立了機床熱誤差補償模型，獲得了較高的建模擬合精度；上海交通大學(xué)的楊建國等[7,8]采用時序分析法進(jìn)行數(shù)控機床熱誤差建模，論述了時間序列模型，既考慮到所研究序列的過去值，又能反映序列的隨機性和統(tǒng)計特征，建模柔性強，具有良好的建模擬合精度。而時間序列模型之所以具有較強的建模擬合精度，是因為該算法將自變量本期值和滯后值、甚至是因變量自身的滯后值納入了熱誤差模型中，運用自變量和因變量自身數(shù)值變化所包含的實際影響因素信息，較大程度的保留了實際測量數(shù)據(jù)所提供的真實信息[9]。

但是，實際熱誤差補償是通過離線建立的模型對后續(xù)的機床熱誤差狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測實現(xiàn)的，因此，模型的預(yù)測精度和預(yù)測穩(wěn)健性成為最為需要關(guān)注的參數(shù)[10]。一個具有較好建模擬合精度的模型，不一定具有較高的預(yù)測精度和穩(wěn)健性[11]。時間序列模型中自變量滯后值等的加入，使時間序列模型具有比多元線性回歸模型更為嚴(yán)重的多重共線性問題，反而降低了其預(yù)測精度和預(yù)測穩(wěn)健性[12]，成為時間序列模型應(yīng)用在實際熱誤差建模中的局限性。文獻(xiàn)[5-8]提及了時間序列模型對熱誤差預(yù)測的穩(wěn)健性有待提高，但并未在熱誤差時間序列建模的相關(guān)研究中發(fā)現(xiàn)有關(guān)其穩(wěn)健性的提升方案。

對此，本文提出一種時間序列穩(wěn)健性的提升方法，將時間序列算法與具有共線性抑制功能的算法結(jié)合，既實現(xiàn)了在模型中加入自變量滯后值，又對自變量滯后值加入帶來的更為嚴(yán)重的多重共線性進(jìn)行處理。選擇時間序列算法中的分布滯后(DL)[12]算法、具有共線性抑制功能算法中的主成分回歸(PCR)[13]為例，提出采用主成分分布滯后(PCDL)算法建立機床熱誤差補償模型的方法，并將其與DL算法的預(yù)測精度和穩(wěn)健性進(jìn)行了比較。

2　熱誤差建模算法理論知識

2.1分布滯后(DL)算法

如果因變量不僅與一個或多個自變量的當(dāng)前值有關(guān)系，而且與其若干滯后值有關(guān)系，通過多元回歸分析來描述這種關(guān)系的模型稱為分布滯后模型[12]，記為：

(1)

式中：n為最大滯后階數(shù)；α0為常數(shù)項；u為外生變量個數(shù)；yt為因變量；βj,i為系數(shù)；xj,t-1為第j個自變量的t-i期值。

對于滯后階數(shù)n的確定，可以采用權(quán)宜估計法。即取n=1,2,…,i，對不同的i條件下經(jīng)最小二乘擬合，當(dāng)滯后變量的回歸系數(shù)開始變得統(tǒng)計不顯著，或其中有一個變量的系數(shù)改變符號時，i-1為最終的滯后階數(shù)。

2.2主成分分布滯后(PCDL)算法

DL算法雖然考慮了溫度傳熱的遲滯性，但溫度滯后值的加入，也使DL模型具有比多元回歸模型更為嚴(yán)重的多重共線性[12]。因此，通過多元回歸分析來描述因變量與自變量的當(dāng)前值及其滯后值之間關(guān)系的DL算法存在弊端。

對此，將DL算法與能夠抑制自變量多重共線性的算法(如主成分回歸[13]、嶺回歸[14]等)結(jié)合起來，既在模型中加入了溫度滯后值，又對溫度滯后值加入帶來的更為嚴(yán)重的多重共線性進(jìn)行了處理。

以DL算法結(jié)合主成分回歸算法為例，提出采用主成分分布滯后(PCDL)算法建立數(shù)控機床熱誤差補償模型的方法。 其原理是通過主成分回歸分析對因變量與自變量的當(dāng)前值及其滯后值之間的關(guān)系給予描述的，其模型方程表達(dá)形式與DL模型式(1)相同。

2.3主成分回歸(PCR)算法

主成分回歸[13]是用于共線性數(shù)據(jù)分析的有偏估計方法，它采用原自變量的主成分代替原自變量作回歸分析。由于主成分保留了原指標(biāo)的絕大部分信息，且互不相關(guān)，因此利用主成分回歸分析可以有效地解決回歸分析中自變量間共線性問題，以達(dá)到較好的估計效果。

主成分回歸算法具體步驟為：

(2)

(3)

其中:u1,u2,…,up為標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)X*的自相關(guān)矩陣的特征向量，主成分F1,F2,…,Fp之間互不相關(guān)，且VarF1≥VarF2≥…≥VarFp>0。

(2) 選擇累計方差貢獻(xiàn)率大于85%的前m個主成分，用以建立因變量Y與主成分F1,F2,…,Fm之間的回歸模型：

(4)

(5)

3　數(shù)控機床熱誤差測量實驗

以Leaderway-V450型數(shù)控加工中心為實驗對象，根據(jù)實驗所得的主軸Z向熱誤差，建立熱誤差和溫度敏感點之間的多種數(shù)學(xué)模型，并對這些模型的預(yù)測穩(wěn)健性能力進(jìn)行探討。

實驗選擇溫度傳感器DS18B20(測量精度為±0.2 ℃，最高分辨率可以達(dá)到0.062 5 ℃)測量溫度數(shù)據(jù)；采用電渦流位移傳感器(測量精度為±0.5 μm)對機床主軸Z向熱誤差進(jìn)行測量。溫度傳感器的貼放位置以影響機床主軸Z向熱誤差的主要熱源附近為主，各傳感器的安放位置如表1所示，溫度傳感器T1～T9和電渦流傳感器S的分布位置示意如圖1所示。

表1　傳感器安放位置

圖1　各傳感器的分布位置示意圖Fig.1　Distribution positions of sensors

實驗測量時，主軸以恒定的轉(zhuǎn)速(2 000 rpm、4 000 rpm、6 000 rpm)轉(zhuǎn)動，每隔3 min停轉(zhuǎn)一次，電渦流傳感器移到主軸正下方，使主軸下壓電感傳感器，測量主軸Z向的熱變形，同時通過溫度測量系統(tǒng)采集該時刻的溫度數(shù)據(jù)。一次采樣結(jié)束后，主軸上移，電渦流傳感器右移。整個實驗循環(huán)執(zhí)行上述步驟，持續(xù)時間達(dá)到4 h之上。

根據(jù)所述實驗方法，在不同季節(jié)內(nèi)共測量得到12批次數(shù)據(jù)，具體參數(shù)如表2所示。12批次數(shù)據(jù)的熱誤差曲線如圖2所示。給出K1批次的溫度測量數(shù)據(jù),如圖3所示。

表2　實驗數(shù)據(jù)具體參數(shù)

圖2　K1～K12批次數(shù)據(jù)的熱誤差曲線Fig.2　Thermal deformations of K1～K12

圖3　K1批次的溫度測量數(shù)據(jù)Fig.3　Temperature measuring data of K1

4　熱誤差建模實例及模型精度分析

4.1溫度敏感點選擇

在建立機床熱誤差補償模型時，需要選擇合適的溫度敏感點參與建模。而溫度敏感點選擇時主要遵循3個策略[15]：(1)互不相關(guān)策略，要求所選溫度敏感點之間滿足非共線性條件；(2)主因素策略，要求所選溫度敏感點對熱變形量具有最大影響權(quán)重；(3)最少布點策略，在滿足熱誤差建模精度前提下，要求所選溫度敏感點的數(shù)目最少。

目前，大多數(shù)溫度敏感點選擇原理為，先對所有溫度變量進(jìn)行相關(guān)性分組，然后通過在組內(nèi)尋優(yōu)，最終將所有組內(nèi)的最優(yōu)變量組合，作為溫度敏感點用以建模[16-19]。但是這類選擇方法通常存在一個弊端，即所述的互不相關(guān)策略和主因素策略相互矛盾。這是因為，影響機床主軸熱誤差的大權(quán)重?zé)嵩赐性谥鬏S電機和主軸前軸承，這些位置由于比較接近而具備較強的共線性，如果以降低溫度敏感點之間共線性誤差為首要考慮因素時，只能從這些位置中選擇一個溫度變量用以建模，會導(dǎo)致另外選擇的溫度敏感點對熱變形量的影響權(quán)重降低。

為了對上述論述內(nèi)容給予論證，選擇具有代表性的溫度敏感點選擇方法，即模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度(FC-GRD)，對實際熱誤差數(shù)據(jù)給予分析。FC-GRD的原理為：將所有溫度變量按相關(guān)性分類，使得同類之間的變量具有較強的相關(guān)性，異類之間的變量具有較弱的相關(guān)性；并將每類中與熱變形量關(guān)聯(lián)度最大的溫度測點組合起來作為溫度敏感點。

采用FC-GRD方法對K1～K12批次數(shù)據(jù)進(jìn)行溫度敏感點選擇，結(jié)果如表3所示。

表3　溫度敏感點選擇結(jié)果

表3中的各批次數(shù)據(jù)的溫度敏感點結(jié)果并未保持一致，即機床溫度敏感點存在變動性。該論點已在文獻(xiàn)[20]中論述過。

西沙群島有開展定制旅游的市場條件，以及具備一定的可行性。在政策和地理條件允許的情況下，根據(jù)“一島一特色”的策略，增加產(chǎn)品的多樣性，優(yōu)化定制模式，從個性化需求入手，提高游客忠誠度。

(6)

式中:Y為熱變形量，Ti(i=1,2,…,10)分別對應(yīng)溫度變量T1～T10。

表4　各批次數(shù)據(jù)中的T1～T10與熱變形量的關(guān)聯(lián)度排序

由表4明顯看到，以降低溫度敏感點之間的共線性誤差為首要考慮因素的FC-GRD方法，其選擇出的其中一個溫度敏感點對熱變形量的影響權(quán)重為最大，而另外一個溫度敏感點對熱變形量的影響權(quán)重小得多，遠(yuǎn)小于如T2～T4等溫度變量對熱變形量的影響權(quán)重。所以說，通過該方法在選擇建模自變量時，互不相關(guān)策略和主因素策略是相互矛盾的。

基于上述論述，在選擇DL和PCDL模型的建模自變量時會有所不同，在此給出一個統(tǒng)一解釋，即在選擇DL模型的建模自變量時主要遵循互不相關(guān)策略、主因素策略和最少布點策略，這與大多數(shù)方法的選擇準(zhǔn)則相同；而對于PCDL算法，由于其本身能夠抑制自變量共線性誤差的影響，且互不相關(guān)策略和主因素策略又互相矛盾，因此，該算法的建模自變量在選擇時不需要遵循互不相關(guān)策略，僅主要遵循主因素策略和最少布點策略?？赏ㄟ^灰色關(guān)聯(lián)度算法計算得到PCDL模型的建模自變量，結(jié)果如表5所示。

表5　用以PCDL模型的建模自變量

4.2PCDL算法建模及精度分析

由權(quán)宜估計法判斷PCDL模型的滯后階數(shù)為二階。按照表5中的建模自變量選擇結(jié)果，分別建立K1～K12批次的PCDL模型:

(7)

式中:yl(l=1,2,…,12)為第Kl批次數(shù)據(jù)的熱誤差擬合/預(yù)測值，Tj,t-i(j∈[1,10],i=0,1,2)為第j個溫度變量的t-i 階滯后值。

根據(jù)建立的每一個PCDL模型，分別對K1～K12批次的熱誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合/預(yù)測，得到K1～K12熱誤差擬合/預(yù)測值，并計算熱誤差擬合/預(yù)測值和實測值之間的殘余標(biāo)準(zhǔn)差值，得到每一個PCDL模型對K1～K12批次數(shù)據(jù)的熱誤差擬合/預(yù)測精度。其中，擬合精度是指根據(jù)歷史數(shù)據(jù)所建立的模型，對建模的歷史數(shù)據(jù)的偏離程度的評價；預(yù)測精度是指根據(jù)歷史數(shù)據(jù)所建立的模型，對未參與建模的歷史數(shù)據(jù)的偏離程度的評價。殘余標(biāo)準(zhǔn)差見式(8)，該值越小，表明模型擬合/預(yù)測精度越高:

(8)

根據(jù)上述分析方法，每一個PCDL模型將得到1個擬合精度參數(shù)和11個預(yù)測精度參數(shù)。所以，PCDL模型式(7)將會得到12個擬合精度參數(shù)和11×12個預(yù)測精度參數(shù)。將每一個模型的11個預(yù)測精度參數(shù)給予平均化和離散化，分別得到每一個模型的1個預(yù)測精度平均值參數(shù)Mn、1個預(yù)測精度離散標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)Sd。Mn越小，表示模型平均預(yù)測精度越高，Sd越小，表明模型的預(yù)測穩(wěn)健性越強。PCDL模型式(7)的擬合精度S、Mn和Sd結(jié)果如表6所示。表6中，M1～M12分別為由K1～K12批次數(shù)據(jù)所建的12個PCDL模型。

表6PCDL模型式(7)的S、Mn和Sd

Tab.6S,MnandSdof PCDL model (7)(μm)

由表6中可知，PCDL模型式(7)的擬合精度S分布在1.50～3.59 μm，預(yù)測精度平均值Mn分布在4.49～8.59 μm，預(yù)測精度離散標(biāo)準(zhǔn)差Sd分布在1.78～4.20 μm。

4.3DL算法建模及精度分析

(9)

式中:yl(l=1,2,…,12)為第批次數(shù)據(jù)的熱誤差擬合/預(yù)測值，Tj,t-i(j∈[1,10],i=0,1,2)為第j個溫度變量的t-i階滯后值。

按照4.2節(jié)中的模型精度分析方法，得到DL模型式(9)的擬合精度S、預(yù)測精度平均值Mn和預(yù)測精度離散標(biāo)準(zhǔn)差Sd，結(jié)果如表7所示。另外，為方便各模型精度比對，將由Ki(i=1,2,…,12)批次數(shù)據(jù)所建的PCDL和DL模型均取名為Mi。

表7　DL模型式(9)的S、Mn和Sd

由表7可知，DL模型式(9)的擬合精度S分布在0.43～1.11 μm，預(yù)測精度平均值Mn分布在5.58～34.75 μm，預(yù)測精度離散標(biāo)準(zhǔn)差Sd分布在2.95～21.35 μm。

4.4PCDL和DL模型的精度比較

圖4　DL和PCDL模型的擬合精度S的比較Fig.4　Comparison of fitting accuracy S of DL and PCDL models

圖5　DL和PCDL模型的預(yù)測精度平均值Mn的比較Fig.5　Comparison of mean of forecasting accuracy Mn of DL and PCDL models

造成上述效果的原因是，PCDL模型應(yīng)用了主成分回歸(PCR)的建模方法，而PCR算法是一種處理共線性數(shù)據(jù)的有偏估計方法。即，PCDL模型在對自變量之間的多重共線性處理時，以犧牲部分?jǐn)M合精度為前提，實現(xiàn)提高模型預(yù)測精度和穩(wěn)健性的目的。在實際熱誤差預(yù)測補償過程中，熱誤差補償是通過離線建立的模型對后續(xù)的機床熱誤差狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測實現(xiàn)的，因此，模型的預(yù)測精度和穩(wěn)健性才是最為需要關(guān)注的參數(shù)。所以，PCDL算法很好的實現(xiàn)了提高模型預(yù)測精度和穩(wěn)健性的目的。

5　實驗驗證

補充10月份和12月份的6批次熱誤差實驗數(shù)據(jù)，用以模型精度驗證。其中，6批次數(shù)據(jù)的具體參數(shù)如表9所示。

表9　驗證實驗數(shù)據(jù)的具體參數(shù)

表10　DL和PCDL模型的預(yù)測精度和穩(wěn)健性分析

6　結(jié)　論

本文提出一種時間序列模型預(yù)測穩(wěn)健性的提升方法。即將時間序列算法與能夠抑制多重共線性的建模算法結(jié)合起來，這樣既可在模型中通過加入溫度滯后值以提供更全面的溫度信息，又可對溫度滯后項引入后帶來的更為嚴(yán)重的多重共線性進(jìn)行處理。本文選擇時間序列中的分布滯后(DL)算法、共線性抑制算法中的主成分回歸(PCR)算法為例，提出采用主成分分布滯后(PCDL)算法建立機床熱誤差補償模型的方法，并將其與DL算法的預(yù)測精度和穩(wěn)健性進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示，PCDL算法克服了溫度滯后值引入后帶來的嚴(yán)重多重共線性的影響，其預(yù)測精度遠(yuǎn)優(yōu)于DL模型，預(yù)測精度提升達(dá)到9 μm左右。本文方法為時間序列數(shù)據(jù)建模在不同領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用提供了參考。本文結(jié)論只針對Leaderway-v450型數(shù)控基礎(chǔ)，而對不同類型的數(shù)控加工中心并未給予深入研究，故實驗結(jié)果具有一定局限性。

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苗恩銘(1970-)，男，安徽阜陽人，博士生導(dǎo)師、教授，2004年于合肥工業(yè)大學(xué)獲得博士學(xué)位，主要研究方向為精密機械工程、精度理論、數(shù)控機床熱誤差補償、機械熱魯棒性結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與應(yīng)用技術(shù)。E-mail:miaoem@163.com

劉義(1994-)，男，安徽淮北人，碩士研究生，2014年于合肥工業(yè)大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事數(shù)控機床熱誤差補償技術(shù)研究、機械形體熱變形規(guī)律研究。E-mail:liuyi8045@163.com

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Improvement of forecasting robustness of time series model for thermal error on CNC machine tool

MIAO En-ming*, LIU Yi, DONG Yun-fei, CHEN Wei-kang

(School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering,HefeiUniversityofTechnology,Heifei, 230009,China)*Correspondingauthor,E-mail:miaoem@163.com)

When the time series algorithm is used to establish a thermal error compensation model for a Computer Numerical Controlled (CNC) Machine, it shows a shortcoming of forecasting robustness caused by the severe multiple collinearity. This paper proposes a method for improving the forecasting robustness of the time series algorithm. This algorithm combines the time series algorithm with the modeling algorithms which are able to suppress multiple collinearity. Thus, it not only provides more comprehensive temperature information by adding the temperature lag values in the thermal error model, but also deals with the severe multiple collinearity brought by the added temperature lag values. The Distribution Lag (DL) algorithm that belongs to time series algorithms and Principal Component Regression (PCR) algorithm that can suppress the multiple collinearity are selected as the examples, and a modeling method for establishing the thermal error compensation model of the machine tool is proposed by the Principal Component Distribution Lag (PCDL) algorithm. The forecasting accuracy and robustness of PCDL algorithm are compared with that of DL algorithm. The results show that the PCDL algorithm suppress the impact of multiple collinearity, so, its model′s forecasting accuracy and robustness are far better than that of DL model, and the forecasting accuracy is improved about 9 μm. The proposed method provides a good reference for the application of time series data modeling in different fields.

Numerical Controlled Machine (NCM) tool; thermal error; time series model; forecasting robustness; principal component distribution lag algorithm

2016-05-07；

2016-06-10.

國家自然科學(xué)基金重大資助項目(No.51490660,No.51490661);國家自然科學(xué)基金資助項目(No.51175142)

1004-924X(2016)10-2480-10

TG659

Adoi:10.3788/OPE.20162410.2480