袁小翠,吳祿慎,陳華偉

(1.南昌工程學(xué)院 江西省精密驅(qū)動與控制重點實驗室，江西 南昌 330099;2.南昌大學(xué) 機電工程學(xué)院，江西 南昌 330031)

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尖銳特征曲面散亂點云法向估計

袁小翠1*,吳祿慎2,陳華偉2

(1.南昌工程學(xué)院 江西省精密驅(qū)動與控制重點實驗室，江西 南昌 330099;2.南昌大學(xué) 機電工程學(xué)院，江西 南昌 330031)

針對現(xiàn)有算法對尖銳特征曲面點云法矢估計不準(zhǔn)確，點云處理時容易丟失曲面細(xì)節(jié)特征等問題，提出一 種尖銳特征曲面散亂點云法向估計法。該方法用主成分分析法粗估計點云法向；然后，根據(jù)各鄰域點的空間歐氏距離和法向距離對各鄰域法向加權(quán)，用加權(quán)鄰域法向之和來更新當(dāng)前點的法向；最后，測試估計法向與標(biāo)準(zhǔn)法向的誤差，評價估計法矢的準(zhǔn)確性，并且將估計的法向應(yīng)用到點云數(shù)據(jù)處理中來比較特征保留效果。實驗結(jié)果表明：本文方法能夠準(zhǔn)確地估計尖銳特征曲面的法向，最小誤差接近0。另外，該方法對噪聲有較好的魯棒性，點云處理時能保留曲面的尖銳特征。相比于其他特征曲面法向估計法，所提出的方法估計的法向誤差更小、速度更快、耗時更少。

散亂點云；尖銳特征；法向估計；逆向工程；特征保留；主成分分析

1　引　言

法向量是點云的重要屬性之一，點云法向量的有效估計是逆向工程中點云數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)，除了精確和高質(zhì)量的點云繪制方法主要依賴于法向量，此外，許多有效的點云處理方法也都需要準(zhǔn)確的法向量作為輸入，如點云去噪[1]、分割[2]、數(shù)據(jù)精簡[3]、曲面重建等[4]。對尖銳特征面，若不能準(zhǔn)確估計特征區(qū)域(兩個或者多個曲面交界的過渡區(qū)域)的法向量，則點云處理時容易丟失曲面的細(xì)節(jié)特征，導(dǎo)致重建后的曲面難以恢復(fù)原始模型的幾何特征。

近年來點云的法向估計受到了越來越多的關(guān)注，點云法向估計方法可分為局部鄰域擬合法和Voronoi/Dalaunay方法兩類。局部鄰域擬合法由文獻[5]首次提出，此方法也稱為主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)法向估計法。為了更準(zhǔn)確地估計點云法向，文獻[6]利用代數(shù)球擬合鄰域點來估計法向；文獻[7]通過對當(dāng)前點的鄰域賦予高斯權(quán)重，使得與當(dāng)前點距離越近的鄰域點對法向量作用越大，越遠(yuǎn)的點作用越??；文獻[8]使用統(tǒng)計學(xué)中的集成技術(shù)改進PCA方法的魯棒性。以上這些改進方法雖然一定程度上改善了點云的法向估計結(jié)果，但是PCA方法實際上是一種低通濾波的方法，特征點處的法向被平滑處理了。為了能夠準(zhǔn)確估計尖銳曲面的法向，學(xué)者們做了大量研究[9-16]，文獻[14]首次提出基于Voronoi/Delaunay方法，當(dāng)點云中不含噪聲或者噪聲較少時Voronoi圖對點云法向估計效果較好。文獻[15]將Voronoi單元格極點擴展到大Delaunay球，來估計點云法向。文獻[16]將回歸方法和Voronoi方法相結(jié)合，以獲得更穩(wěn)定的結(jié)果。然而以上幾種基于Voronoi/Delaunay方法均不能很好地估計尖銳特征曲面的法向。

針對以上問題，本研究提出一種鄰域法向迭代加權(quán)的點云法向估計法，可以在點云處理時保留曲面的尖銳特征，相比于其他特征曲面法向估計法，所提出的方法估計的法向誤差更小、速度更快、耗時更少。

2　法向估計

假設(shè)點云的采樣曲面處處光滑，任何點的局部鄰域均可以用平面進行擬合，給定點集X={x1,x2,…,xt}，其中t為點云總數(shù)，點xi的k鄰域表示為Nb(xi)，其中Nb為鄰域。對任意一點xi，用其k鄰域擬合的最小二乘平面表示為：

(1)

式中：n為平面Pl的法向量，須滿足‖n‖2=1；d為鄰域點到擬合平面的距離。式(1)可以轉(zhuǎn)化為對中半正定協(xié)方差矩陣C進行特征值分解，C最小特征值的特征向量可被當(dāng)作xi的法向量，這即是PCA方法。

(2)

C可以分解為3個特征向量v2，v1和v0，3個特征向量對應(yīng)的特征值分別是λ2，λ1和λ0，其中λ2≥λ1≥λ0。最小特征值對應(yīng)的特征向量為平面的法向量，即n=v0。若曲面處處光滑，則PCA方法能快速準(zhǔn)確地估計點云法向，然而當(dāng)曲面包含尖銳特征時，在特征點處，由于用來擬合平面的k鄰域點位于多個曲面上，則擬合平面被平滑。

文獻[7]通過對當(dāng)前點的鄰域賦予高斯權(quán)重，使距當(dāng)前點越近的鄰域點對擬合平面的作用越大，距離越遠(yuǎn)作用越小，并將式(1)改寫為：

(3)

文獻[9]在文獻[7]的基礎(chǔ)上疊加了殘差因子，又將式(3)改進為：

Pl(n,d)=argmin∑ρ(d+(x-xi)Tn)ωd(xi),

(4)

(5)

(6)

式中u=∑ωd(xi)ωr(ri)(x-xi)/∑ωd(xi)ωr(ri)。

式(5)是通過對鄰域點迭代加權(quán)來逐步減小不在同一曲面的鄰域點對擬合平面的作用來求解法向的，相對于文獻[7]，式(5)得到的法向在特征點處改善明顯。文獻[10]提出了自適應(yīng)特征保留法向估計法，其主要在式(5)的基礎(chǔ)上加入了法向偏差，當(dāng)前點的法向與鄰域點的偏差越大，該鄰域點對當(dāng)前點擬合的平面作用越小，其改進為：

(7)

式(7)中有σd，σr和σn3個帶寬，但是都無須用戶指定，均能隨著曲面的變化自適應(yīng)更新。

文獻[9-10]估計法向都是通過對鄰域點迭代加權(quán)來擬合平面的，減小不在同一連續(xù)曲面鄰域點的作用，使得最終用來擬合平面的鄰域具有各項異性。然而每一次迭代的過程中都需擬合平面、求解協(xié)方差的特征向量、鄰域點到擬合平面的距離，迭代次數(shù)越大計算越耗時。文獻[10]引入了法向偏差作為擬合平面的權(quán)重因子，鄰域點的法向與當(dāng)前點的法向夾角越小，該鄰域點對當(dāng)前點的作用越大，反之越小。當(dāng)鄰域點的法向夾角大于給定帶寬時，該鄰域點被當(dāng)做外點丟棄。在平坦區(qū)域，一般方法都能夠準(zhǔn)確估計出點云法向，只是在特征區(qū)域估計的法矢被平滑，此時可以用平坦區(qū)域獲得的準(zhǔn)確法矢來修正特征點的法矢。對于特征區(qū)域的點，其鄰域位于一個或者多個曲面上，同一曲面上的法矢相似，不同曲面上點的法矢偏差較大，而且曲面越尖銳，不同曲面上對應(yīng)點的法向夾角越大；因此，這里采用鄰域中準(zhǔn)確法矢迭代加權(quán)對不準(zhǔn)確法矢進行修正。與當(dāng)前點法矢夾角越大的鄰域點對當(dāng)前點的法矢修正作用越小，而且距離越遠(yuǎn)的點作用也越小。經(jīng)過多次迭代，逐步修正不正確的法矢，本文法矢估計法可表示為：

(8)

式中σd和σn分別為距離帶寬和法向偏差帶寬。

3　實驗結(jié)果分析

采用C++語言在Microsoft visual studio 2008上實現(xiàn)法向估計算法，并且調(diào)用OpenGL庫函數(shù)顯示點云，實驗所用的計算機配置為Intel Core 2.30 GHz CPU，1.19 GB內(nèi)存。為了驗證算法的有效性，測試估計法矢與標(biāo)準(zhǔn)法矢偏差(估計誤差)，將估計的法矢作為點云處理的輸入來驗證特征保留效果。將本文方法與文獻[5]的PCA方法、文獻[10]的自適應(yīng)迭代鄰域擬合法、文獻[11]的魯棒法向估計法進行定量和定性比較。

3.1參數(shù)選擇

本文算法有5個參數(shù)，分別是PCA方法估計初始化法向時的k鄰域、式(8)中k1鄰域、距離帶寬σd、法向偏差帶寬σn和迭代次數(shù)t。文獻[5]中用PCA方法估計法向時擬合平面的k鄰域大小取8～64比較合適，本文取k=16。在平坦區(qū)域，PCA方法能準(zhǔn)確估計點云法向，在特征點處估計的法向被平滑。若點xi是特征點，點xi的k1鄰域中有許多點處于平坦區(qū)域，則用平坦區(qū)域的點來修正特征區(qū)域點的法矢，因此，式(8)中用來加權(quán)的k1鄰域應(yīng)該大于PCA估計法向的k鄰域，這里取k1=3k=48。σd表示點xi到其鄰域的歐氏距離帶寬，σd值越大包括的鄰域點越多，為了確保當(dāng)前點的鄰域都在帶寬范圍內(nèi)，σd取點xi到鄰域點的最大距離。σn表示法向偏差帶寬，帶寬內(nèi)的鄰域?qū)Ξ?dāng)前法向的修正作用大，帶寬外的鄰域?qū)i法向的修正作用小，法向偏差越大，作用越小。當(dāng)曲面夾角比較大(或者過渡面比較平緩)時，σn應(yīng)該取較小值；當(dāng)曲面的夾角比較尖銳時σn應(yīng)該取較大值。實驗發(fā)現(xiàn)：對于過渡邊比較平滑和尖銳的曲面，帶寬分別取0.2和0.3時結(jié)果比較理想。實際物體的曲面包括不同尖銳程度的曲面，σn取全局值難以滿足要求，然而設(shè)定自適應(yīng)帶寬較復(fù)雜，計算耗時。對過渡邊比較平滑的曲面，若σn取值偏大，或者尖銳曲面的σn取值偏小，則須增加迭代次數(shù)來補償過大或過小帶寬帶來的不足。當(dāng)曲面比較光滑時，t取較小值；曲面越尖銳，t越大，實驗發(fā)現(xiàn)對過渡邊比較平緩和尖銳的模型，迭代次數(shù)分別為5，10時，模型為閾值法向基本調(diào)整到最佳狀態(tài)。當(dāng)t增大時，法向幾乎不再變化，為了提高計算效率，折衷帶寬值和迭代次數(shù)t將帶寬設(shè)為全局值σn=0.25，最大迭代次數(shù)為t=15。

3.2誤差分析

在設(shè)備研發(fā)方面，2019年我們的目標(biāo)是日日順物流有一樣設(shè)備在全國是最大的，在智能化設(shè)備有一個領(lǐng)域是全國最大的。

為了測試估計法矢的準(zhǔn)確性，計算估計法向與標(biāo)準(zhǔn)法向的偏差，采用法向偏差均方根(Root Mean Square，RMS)來表示估計誤差，RMS表示估計法向與標(biāo)準(zhǔn)(參考)法向的平均偏移量，RMS值越大，估計法向的誤差越大，文獻[9-12]均采用RMS來測量估計法向的誤差。

式中：nref，nest分別為單位化的參考法向和估計法向；|S|為曲面S的點云數(shù)量；τ為閾值，當(dāng)參考法向與估計法向的點積大于閾值τ時，認(rèn)為該點的法向與標(biāo)準(zhǔn)法向偏差為90°。文獻[9-12]法向夾角閾值均取為10°，即τ=0.984 8。

因為復(fù)雜曲面難以得到標(biāo)準(zhǔn)法向，所以用Matlab合成規(guī)則點云模型(不含噪聲)，根據(jù)點云坐標(biāo)計算其標(biāo)準(zhǔn)法向。合成模型分別是立方體和圓柱體，兩模型的點云數(shù)量分別為6 147和28 832。立方體模型包含尖銳特征點，如兩平面交叉的邊界特征點和三平面交叉的角點。圓柱體包含的特征點比較平緩，其特征點是上下兩平面和圓柱面的交叉點。為了測試估計法向?qū)υ肼暤拿舾行?，對理想模型添加不同程度的噪聲，計算理想模型及各噪聲模型的RMS。當(dāng)估計的法向與標(biāo)準(zhǔn)法向偏差大于10°時稱該點為壞點，4種方法比較結(jié)果如圖1(彩圖見期刊電子版)和圖2(彩圖見期刊電子版)所示，圖中：SSNR為信噪比；紅色點表示壞點。表1所示為兩個模型的RSM和壞點數(shù)量(Bad Point Number, BPN)。

(a) PCA　(b) 文獻[11]　 (c) 文獻[10]　 (d) 本文方法(a) PCA　(b)Reference　 (c)Reference　 (d) Proposed method　　　[11]　　　[10]圖1　立方體模型的法向估計結(jié)果Fig.1　Normal estimation results of cube point cloud model

可知，對于立方體模型，當(dāng)模型不含噪聲時，文獻[10]和本文方法沒有壞點，文獻[11]在特征點處有少數(shù)的壞點。當(dāng)SSNR=40 dB時，本文方法的BPN為0，RSM接近0，文獻[11]和文獻[10]均有少數(shù)壞點，PCA方法的壞點主要是特征點及其周圍的點。當(dāng)數(shù)據(jù)被噪聲嚴(yán)重干擾時(SSNR=30 dB)，如圖1中第三行所示，立方體已經(jīng)嚴(yán)重失真，角點和邊界點模糊。PCA方法估計法向有一半是壞點(BPN為3 064，詳見表1)，其次是文獻[11]，本文方法得到BPN和RSM最小，其壞點主要分布在角點周圍。對圓柱體模型，本文方法得到的BPN和RSM比其他方法的都小，幾種方法結(jié)果比較見圖2和表1。

為了清楚比較各壞點的法向與標(biāo)準(zhǔn)法向的偏差，統(tǒng)計立方體和圓柱體模型在SSNR=30 dB時不同偏差角度下壞點數(shù)量，稱之為法向偏差直方圖，結(jié)果如圖3(彩圖見期刊電子版)所示。對于立方體模型，在法向偏差為[10°，20°]區(qū)域，PCA，文獻[11]，文獻[10]及本文方法分別有65.5%，75.4%，83%和97.7%的壞點，在法向偏差為[20°, 30°]區(qū)域，分別有14.5%，8.4%，9.2%和2.3%的壞點。同樣，對圓柱體模型，在角度偏差為[10°, 20°]區(qū)域，本文方法的壞點數(shù)的比例最大。本文方法估計的法向其壞點主要分布在低法向偏差區(qū)域，即估計得到的法向更準(zhǔn)確。

(a) PCA　(b)文獻[11]　 (c) 文獻[10]　 (d) 本文(a) PCA　(b)Reference　(c)Reference　(d) Proposed method　　　[11]　　　[10]圖2　圓柱體模型法向估計結(jié)果Fig.2　Normal estimation results of cylinder point cloud model

模型SSNR/dB　　　PCA　　　文獻[11]　　文獻[10]　　　本文　BPNRMSBPNRMSBPNRMSBPNRMS立方體無噪10980．6642230．11660000．03104011120．6702451510270．123500．05003030641．111911670．69007390．55164550．4376圓柱體無噪2490．3321340．0654140．057840．03094014310．36151780．1329760．093670．04243084600．872340630．604932190．541624050．4730

(a) 立方體模型壞點直方圖 　　　　　(b)圓柱體模型壞點直方圖(a) Histogram of BPN for cube model 　　　 (b) Histogram of BPN for cylinder model圖3　模型中壞點直方圖分布Fig.3　Histogram of BPN for point cloud models

3.3法矢可視化和應(yīng)用

3.3.1法矢可視化

對兩個經(jīng)典模型(八面體和Fandisk模型，其中八面體模型添加了SSNR=40 dB的噪聲)進行法向可視化，如圖4～6(彩圖見期刊電子版)所示，紅色線表示一致的法矢方向，八面體模型的特征點包括多個平面交接的角點和兩個平面交接的過渡邊界點，角點處的曲面比較尖銳，過渡邊則相對平緩。Fandisk模型由平面、球面、圓柱面等基面組成，其過渡邊有尖銳邊和平緩邊等。為了更清楚的顯示模型，將模型三角化加光照顯示，如圖4(a)和5(a)所示。準(zhǔn)確的法向應(yīng)該垂直于點云所在的局部曲面，兩個不同曲面上的點云法向夾角為兩曲面的夾角，局部區(qū)域同一曲面上的法向接近平行，在兩個曲面交界的邊界處有清晰的邊界。圖4(d)和(e)以及圖5(d)和(e)的邊界清晰，圖4(c)和圖5(c)有部分特征點的法向誤差大，如角點的法向不垂直于其所在的曲面。圖6(a)為圖5(a)紅色矩形框的區(qū)域的放大圖，圖6(b)～(e)為圖6(a)曲面對應(yīng)方法估算的法向量。

(a)三角化曲面　(b)PCA　　(c) 文獻[11]　 　　　 (d)文獻[10]　 　　　 (e)本文　　(a) Wraped surface 　　 (b) PCA 　　 　 (c) Reference [11]　 　 (d) Reference[10]　 (e) Proposed method圖4　八面體模型法矢可視化Fig.4　Normal vector visualization of Octahedron point model

(a)三角化曲面　(b)PCA　　　(c) 文獻[11]　 　　　 (d)文獻[10]　 　 (e)本文　　(a) Wraped surface 　　(b) PCA 　　 　(c) Reference [11]　 　 (d) Reference[10]　 (e) Proposed method圖5　Fandisk模型法矢可視化Fig.5　Normal vector visualization of Fandisk point model

(a)放大后的三角化曲面　　(b)PCA　　 (c) 文獻[11]　 　　 (d)文獻[10]　　 (e)本文　　　　(a) Amplified surface　　　(b) PCA 　　 (c) Reference [11]　　 (d) Reference[10]　　 (e) Proposed method 圖6　局部區(qū)域放大后的法矢Fig.6　Amplification and visualization of normal vector

將估計的法向應(yīng)用到點云處理中，對噪聲模型進行去噪。雙邊濾波去噪法能在去噪的同時保留曲面的幾何特征，具有特征保留的性質(zhì)，但是獲得準(zhǔn)確的法向是雙邊濾波特征保留的前提，若法向在特征點處被平滑，則雙波濾波后尖銳特征也被平滑，文獻[18]對經(jīng)典雙邊濾波算法進行了改進，其特征保留效果更優(yōu)。為了消除其他因素的影響，雙邊濾波算法中除了法向不一樣外，其他參數(shù)值均相同。基于不同法向的軸承模型去噪結(jié)果如圖7所示。PCA估計的法向在特征點被平滑，從而7(c)中的邊界被平滑，文獻[10]和本文方法估計的法向在特征點處比較準(zhǔn)確，去噪后可保留清晰的邊界。

圖7　基于不同法向的軸承模型去噪Fig.7　Denoising results of bearing model with different normals

3.4耗時分析

顯然，PCA方法估計法矢最簡單，而且其只對每個點的鄰域擬合一次平面、從而耗時最小。文獻[11]方法需從一個大鄰域(鄰域大小k=500)中采用隨機采樣一致法尋找一個最優(yōu)切平面，計算非常耗時。文獻[10]方法在每一次迭代中都需擬合一個平面，計算鄰域點到擬合平面的距離，采用層次聚類法估計特征系數(shù)。本文方法只在迭代初始化時擬合平面，其后的每一次迭代只對鄰域點加權(quán)，且迭代次數(shù)與文獻[10]相同，相比文獻[10]和文獻[11]，本文方法更簡單，耗時更小。4種方法對以上模型的法向估計耗時如表2所示，可見PCA方法最快，本文方法次之，文獻[11]最慢。

表2　4種方法耗時比較

4　結(jié)　論

本文對尖銳特征曲面的法向估計進行了研究。用PCA方法粗估計曲面法向。考慮到PCA方法估計的法矢在平坦區(qū)域比較準(zhǔn)確，在特征區(qū)域被平滑，又采用鄰域點中的正確法矢來修正特征區(qū)域不準(zhǔn)確的法矢。因此，對鄰域法向加權(quán)，其權(quán)重包括距離權(quán)重和法向偏差權(quán)重，使距當(dāng)前點越遠(yuǎn)的鄰域點對當(dāng)前法向修正作用越小，反之越大，與當(dāng)前點法向偏差越小的鄰域點的作用越大，修正的法矢是鄰域法矢的迭代加權(quán)和。實驗結(jié)果表明： 本文方法能夠準(zhǔn)確估計尖銳特征曲面的法向，最小誤差等于零，估計的法向應(yīng)用到點云處理時能很好地保留曲面幾何特征，相比于其他特征曲面法向估計法，本文方法簡單且快速。然而本文方法的法向偏差帶寬是根據(jù)實驗經(jīng)驗設(shè)定的，將來需進一步研究自適應(yīng)帶寬以減少迭代次數(shù)來提高算法的執(zhí)行效率。

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袁小翠(1988-)，女，江西撫州人，博士，講師，主要研究方向為圖像處理與逆向工程。E-mail：yuanxc2012@163.com

吳祿慎(1953-)，男，江西樂平人，碩士，教授，博士生導(dǎo)師，1978年于北京航空航天大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，1990年于清華大學(xué)獲得碩士學(xué)位，主要從事面外“moire”法、三維光學(xué)圖像測量與逆向工程的研究。E-mail：wulushen@163.com

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Normal estimation of scattered point cloud with sharp feature

YUAN Xiao-cui1*,WU Lu-shen2,CHEN Hua-wei2

(1.Jiangxi Province Key Laboratory of Precision Drive & Control,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang330099,China;2.SchoolofMechanicalandElectricalEngineering,NanchangUniversity,Nanchang330031,China)*Correspondingauthor,E-mail:yuanxc2012@163.com

A novel method was proposed to estimate the normal for a scattered point cloud with sharp features to overcome the shortcomings that existing methods are unable to reliably estimate the normal of point cloud model and lead to the smoothed sharp features. With proposed method, the normal of point cloud was estimated with principal component analysis method. Then, different values were weighted on neighborhood normals according to spatial distance and normal distance of current points of the neighborhood, and the revised or current normals were updated by the sum of weighted neighborhood normal. Finally, the average deviation between standard normal and estimated normal was measured and the accuracy of estimated normal was evaluated. The estimated normal was applied to point cloud processing to verify the feature-preserving property. The proposed method was validated. The results demonstrate that proposed method accurately estimates the normal for data with noise and the least average deviation is close to 0. Moreover, the method has good robustness to the niose, and it keeps the original geometry well when the normal is used as input of the point cloud processing. Comparing with other sharp feature preserving normal estimation methods, the proposed method shows smaller average deviation, higher processing speeds and less computation time.

scattered point cloud；sharp feature; normal estimation; reverse engineering; feature preserving; principal component analysis

2016-06-15；

2016-07-19.

國家自然科學(xué)基金資助項目(No.51365037,No.51065021)

1004-924X(2016)10-2581-08

TP391.7

Adoi:10.3788/OPE.20162410.2581