楊洪濤，章劉沙，周　姣，費業(yè)泰，彭東林

(1.安徽理工大學 機械工程學院，安徽 淮南 232001；2.合肥工業(yè)大學 儀器科學與光電工程學院，安徽 合肥 230009；3.重慶理工大學 電子信息與自動化學院,重慶 400054 )

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寄生式時柵傳感器動態(tài)測量誤差的貝葉斯建模

楊洪濤1*，章劉沙1，周姣1，費業(yè)泰2，彭東林3

(1.安徽理工大學 機械工程學院，安徽 淮南 232001；2.合肥工業(yè)大學 儀器科學與光電工程學院，安徽 合肥 230009；3.重慶理工大學 電子信息與自動化學院,重慶 400054 )

為了提高寄生式時柵傳感器的測量精度，分析了它的工作原理和動態(tài)誤差組成,得到其主要誤差分量為常值誤差、周期誤差和隨機誤差等。針對寄生式時柵誤差特點，建立了寄生式時柵動態(tài)誤差高精度預測模型，并與其他建模方法進行了比較。選用插入標準值的貝葉斯預測模型，以實際測量的傳感器第一個對極動態(tài)誤差數(shù)據(jù)進行建模，在后續(xù)對極特定位置插入部分實際誤差測量數(shù)據(jù)，建立誤差預測模型，預測了傳感器后83個對極的動態(tài)誤差。 另選用三次樣條插值和BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模方法對寄生式時柵整圈動態(tài)誤差建模，并與建立的誤差模型進行了對比。驗證實驗表明，三次樣條插值建模時間最短(0.62 s)，但其建模精度不高(16.050 0″ )；貝葉斯動態(tài)模型建模時間(0.86 s)略長于三次樣條插值，但建模精度最高(0.415 3″)； BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模時間最長(32 min)，但建模精度最低(19.680 2″)。同時貝葉斯插入標準值建模方法所需數(shù)據(jù)點(69395個)遠少于三次樣條和BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模數(shù)據(jù)點(235526個)，節(jié)省了大量的標定時間和建模數(shù)據(jù)量，因此可用于寄生式時柵傳感器的動態(tài)測量誤差高精度建模修正。

寄生式時柵；時柵傳感器;測量誤差；貝葉斯原理；標準值插入；誤差建模

1　引　言

寄生式時柵角位移傳感器(后簡稱“寄生式時柵”)是一種基于“時空轉(zhuǎn)換[1]”創(chuàng)新思想的新型位移傳感器，它具有分辨率高、機械結(jié)構(gòu)簡單、不易受環(huán)境影響等特點。但受電源電路穩(wěn)定性誤差、測頭機械加工誤差、裝配誤差等因素的影響，寄生式時柵傳感器原機存在著較大的測量誤差，無法滿足實際所需的測量精度要求，因此有必要采取一定的誤差補償方法減小測量誤差。利用建立的誤差補償模型進行修正是提高傳感器測量精度的重要途徑，國內(nèi)外學者主要采用的誤差建模方法主要有自回歸建模[2]、灰色理論[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡[4]、支持向量回歸建模[5]、時序序列分析[6]等方法，這些方法可對具有不同分布特征的誤差實現(xiàn)高精度建模。其中自回歸建模可以有效解決誤差非線性和遲滯性問題；灰色理論適用于小樣本誤差建模，且具有外推特性，其主要用于發(fā)現(xiàn)誤差規(guī)律；神經(jīng)網(wǎng)絡則具有很強的非線性映射能力，可以在模型未知的情況下，準確預測系統(tǒng)的輸出；支持向量回歸建模具有很好的實時性；時序序列分析對于輸入不可測或不確定的研究對象的建模特別適合。但是這些方法都有各自的局限性，如要求的數(shù)據(jù)量較大，對序列有平穩(wěn)性限制，無法方便的利用預測過程中的主客觀信息等。

為了提高寄生式時柵測量精度，目前主要采用高精度電源控制技術(shù)結(jié)合DSP(Digital Signal Processing)的方法，提出了高精度驅(qū)動電源[7]、諧波修正法[8]、時間序列法[9]、自修正方法[10]等硬件改進和軟件修正方法。雖在一定程度上提高了時柵傳感器的測量精度，但還無法滿足實際應用要求。寄生式時柵角位移傳感器是圓周測角傳感器，其測量誤差具有圓周封閉性特點，誤差具有較強的諧波規(guī)律性，同時還可以利用高精度儀器進行精確的誤差分離。為了建立更高精度的誤差修正模型，進一步提高寄生式時柵傳感器的測量精度，本文擬通過建立實驗裝置，精確分離測量誤差，在此基礎上，分析寄生式時柵的誤差來源及特點，針對大量的誤差數(shù)據(jù)，考慮建模精度和建模效率，利用貝葉斯動態(tài)模型建立寄生式時柵動態(tài)誤差高精度補償模型，同時與其他建模方法進行比較。

2　寄生式時柵工作原理與誤差分析

2.1工作原理

(1)

式中:A為激勵信號幅值，U為駐波信號幅值，t為時間變量，T為行波信號周期，x為轉(zhuǎn)子與測頭任意時刻的相對位置，W為測頭節(jié)距，對應一個對極的角位移量。

將經(jīng)整形處理后的行波信號和一路激勵電源信號(參考信號)送入信號處理電路，利用高頻脈沖插補計數(shù),得到兩路信號的相位時間差，可以利用式(2)算出所測角位移θ為：

(2)

式中：ΔT′為行波信號與標準參考信號的相位時間差，T為感應電行波信號的周期。

圖1　寄生式時柵結(jié)構(gòu)圖Fig.1　Structure of parasitic time grating

2.2誤差特性分析

為了建立寄生式時柵傳感器精確的誤差補償模型，必須對寄生式時柵的誤差來源及各誤差特性進行詳細分析。從分析上述寄生式時柵傳感器的工作原理可以得到，感應駐波信號和行波信號幅值和相位誤差是影響傳感器測量精度的主要因素。感應駐波信號誤差主要來源于激勵電源電路誤差、轉(zhuǎn)子跳動、偏心誤差、轉(zhuǎn)子齒外端面和測頭齒內(nèi)端面的平面度誤差、離散定子測頭的安裝誤差、鐵芯材質(zhì)不均勻誤差等方面；合成的行波信號誤差主要來源于兩相激勵信號空間正交性誤差、兩相激勵信號時間正交性誤差、兩列駐波信號幅值不等、零點殘余電壓等方面。因此可以看出，寄生式時柵傳感器的誤差來源多，誤差變化規(guī)律復雜，既存在多個周期性誤差，又存在著隨機誤差，通過理論分析方法直接建立各誤差源的精確補償模型存在一定的難度，因此，本文通過分析寄生式時柵綜合誤差及其特性，再應用精確的建模方法建立誤差補償模型。

本文以研制的84對極雙層繞組寄生式時柵為實驗對象，利用高精度的海德漢光柵(精度為±1")作為角度測量基準，搭建綜合誤差測量實驗平臺。將寄生式時柵傳感器和光柵通過同心軸系安裝在精密分度轉(zhuǎn)臺主軸上，由電機帶動分度轉(zhuǎn)臺做勻速運動，光柵和時柵按照相同的采樣周期同步采樣，用于進行比較。實驗裝置如圖2所示。測量得到的寄生式原始角度測量誤差數(shù)據(jù)曲線如圖3(a)所示，其中θ為分度轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角，Δθ為傳感器角度綜合誤差。將該誤差數(shù)據(jù)進行頻譜分析，如圖3(b)所示，N表示諧波次數(shù)，y表示諧波幅值。從中可看出寄生式時柵測量誤差主要包含一個常值誤差分量和84、168、252次高次諧波的誤差分量。

本文建立的與實驗裝置分離的整圓周角度測量誤差數(shù)據(jù)有235 526個，屬于大容量數(shù)據(jù)。因此要建立寄生式時柵傳感器精確的誤差補償模型，必須綜合考慮上述誤差的特點。而貝葉斯動態(tài)模型具有多種結(jié)構(gòu)，如周期模型、回歸模型、多項式模型、噪音模型等，這些模型非常適合建立包含常值成分、周期成分及隨機成分的誤差精確預測模型，因此本文選擇貝葉斯動態(tài)模型建立寄生式時柵角度測量誤差補償模型。

圖2　實驗裝置圖Fig.2　Experimental device diagram

(a)綜合誤差(a) Synthetic error

(b)誤差頻譜圖(b) Error spectrum圖3　原始誤差數(shù)據(jù)及頻譜分析結(jié)果Fig.3　Original error data and frequency analysis results

3　貝葉斯動態(tài)誤差建模算法

3.1貝葉斯動態(tài)誤差一步建模算法

貝葉斯算法是通過建立動態(tài)測量誤差序列的先驗公式和后驗公式，建立動態(tài)誤差模型的。由2.2寄生式時柵誤差頻譜分析結(jié)果可知，寄生式時柵動態(tài)誤差序列包含一個常值誤差分量和3個周期誤差分量。因此，為了建立高精度動態(tài)誤差模型，本文綜合應用貝葉斯模型中的常均值模型和周期模型對寄生式時柵誤差建模，所建立的貝葉斯綜合模型可表示為：

(3)

其中，mt表示t時刻的動態(tài)測量誤差的先驗分布值，αt是t時刻的后驗分布值，Ht，Kt分別為t時刻的先驗回歸系數(shù)和后驗誤差系數(shù)，at，bt分別為互相獨立的先驗誤差常值和后驗誤差常值。

貝葉斯算法中的常均值模型可以表示為：

H1t=1,K1t=1

由于本文所需建模的寄生式時柵動態(tài)誤差序列含有3個周期誤差分量，因此需要建立3個貝葉斯周期模型，其具體可表示為：

(4)

記Ht′=(H1t′,H2t′,H3t′,H4t′)，Kt=diag[K1t,K2t,K3t,K4t].

狀態(tài)分量為αit，i=1,2,3,4，αt′=(α1t′,α2t′,α3t′,α4t′)

{Hit,Kit,·,·}i=1,2,3,4，狀態(tài)向量為αit，i=1,2,3,4

則疊加合成后的總模型為{Ht,Kt,·,·}，其具體流程圖如圖4所示。

圖4　貝葉斯一步預測遞推算法流程圖Fig.4　Flowchart of Bayesian one step prediction algorithm

3.2貝葉斯動態(tài)誤差插入標準值建模算法

如果直接應用上述貝葉斯一步預測遞推算法和一個對極的寄生式時柵動態(tài)誤差數(shù)據(jù)，預測寄生式時柵整圓周動態(tài)測量誤差，其預測誤差較大。因此必須在貝葉斯一步預測遞推算法的基礎上引入標準值算法，即以前一時刻αt-1的系數(shù)分布預測后面所有的誤差分布，在預測誤差偏大位置插入標準誤差，重新計算模型系數(shù)以預測誤差，直至出現(xiàn)下一次較大預測誤差位置，再次插入標準誤差，依次往復直至建立完整個動態(tài)誤差預測模型。其具體流程圖如圖5所示。

圖5　貝葉斯插入標準值預測遞推算法流程圖Fig.5　Flowchart of Bayesian prediction model based on standard value interpolation

4　寄生式時柵動態(tài)誤差建模結(jié)果分析

現(xiàn)采用上述建模步驟對所采集的寄生式時柵第一個對極的2 746個動態(tài)誤差數(shù)據(jù)建模，首先利用該數(shù)據(jù)確定貝葉斯模型中αt，at，bt的初始信息。

(A-1|Ut-1)～Γ[0.5,27.136]

(5)

以得到的(αt|Ut-1)，(A-1|Ut-1)，bt分布為初始信息，利用上述的貝葉斯一步向前預測和遞推修正關系，對寄生式時柵后83個對極的動態(tài)誤差進行修正遞推預測，得到的貝葉斯建模預測曲線如圖6所示。圖6(a)為第二個對極建模結(jié)果，由圖可知在第二個對極的起始、中間和結(jié)束階段，貝葉斯預測存在明顯的誤差。這是由于寄生式時柵誤差的隨機性，使得時柵各個對極的誤差存在一定的差異，不能直接用第一個對極的誤差序列去預測第二個對極的誤差。因此本文利用插入標準值的方法來修正預測產(chǎn)生波動的地方。具體方法為在第二個對極預測開始的地方插入253個標準誤差點，在預測第1 253個點后插入200個標準點，在預測第2 053個點后插入350個標準點。預測結(jié)果如圖6(b)所示。根據(jù)寄生式時柵動態(tài)誤差呈周期性的特點，在接下來的每個對極的預測過程中，在上述3處插入相應數(shù)量的標準值，即可預測出每個對極數(shù)據(jù)，得到的貝葉斯整圓周建模誤差曲線如圖6(c)所示，其中Δθ′表示建模精度。

(a) 第二個對極的貝葉斯建模結(jié)果(a) Bayesian modeling results of the second pole

(b)貝葉斯建模局部放大圖(b) Partial enlargement of encircled part in Fig.6(a)

(c)整圓周誤差貝葉斯建模精度(c) Bayesian modeling accuracy of whole circle error圖6　貝葉斯預測建模結(jié)果Fig.6　Modeling results of Bayesian prediction method

由于建模數(shù)據(jù)較為密集，兩種建模曲線與原始誤差曲線重疊在一起無法分辨，為此，將圖6(a)中兩種建模效果差異較為明顯的1處進行放大，如圖6(b)所示。從圖6(b)中可以看出利用貝葉斯插入標準值預測建立的誤差模型與實際誤差曲線精確吻合，很好地消除了利用貝葉斯一步預測建模方法中出現(xiàn)的局部誤差波動現(xiàn)象。在后續(xù)每個對極的預測過程中也只需在上述3處插入相同數(shù)量的標準值，無需測量其他誤差，可節(jié)省大量的傳感器標定時間和數(shù)據(jù)的處理量。從圖6(c)可以看出，插入標準值的貝葉斯預測建模的精度峰值為0.415 3″，建模時間只需0.86 s，總建模數(shù)據(jù)量為693 95個，由此可知利用插入標準值貝葉斯預測建模，可在較短的時間以較少的數(shù)據(jù)量獲得較高的建模精度，可精確預測寄生式時柵整個測量范圍內(nèi)的動態(tài)誤差值。

(a)第二個對極的三次樣條法的建模結(jié)果(a) Cubic spline modeling results of the second pole

(b)三次樣條建模局部放大圖(b) Partial enlargement of encircled part in Fig.7(a)

(c)三次樣條整圓周建模誤差精度(c)Whole circle error accuracy of cubic spline interpolation圖7　三次樣條插值建模結(jié)果Fig.7　Modeling results of cubic spline interpolation

為了驗證本文的寄生式時柵動態(tài)誤差貝葉斯模型的實際建模效果，另外應用三次樣條插值和BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模方法，分別建立寄生式時柵動態(tài)誤差模型，以進行對比。對于三次樣條插值，本文調(diào)用MATLAB中的interp1函數(shù)，選擇spline即三次樣條插值，對寄生式時柵整圓周235 526個動態(tài)誤差數(shù)據(jù)點進行建模，得到的寄生式時柵前兩個對極的三次樣條插值建模曲線和局部放大圖如圖7(a)和7(b)所示，整圓周誤差建模誤差曲線如圖7(c)所示。從圖7中可知，利用三次樣條建模方法建立的寄生式時柵動態(tài)誤差模型的建模誤差峰值為16.050 0″，而其建模時間為0.625。

對于BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模，本文調(diào)用MATLAB軟件神經(jīng)網(wǎng)絡工具箱的BP神經(jīng)網(wǎng)絡工具，BP分類器采用三層網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，隱含層和輸出層的傳遞函數(shù)分別采用tansig和logsig，隱含層神經(jīng)元個數(shù)為10，訓練函數(shù)選用trainlm，訓練步驟設置為1 000步，對寄生式時柵整圈共235 526個動態(tài)誤差數(shù)據(jù)點進行建模。得到寄生式時柵前兩個對極的BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模曲線如圖8(a)和8(b)所示，整圓周誤差建模誤差曲線如圖8(c)所示。從圖8可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模精度較差，建模誤差峰值為19.680 2″，建模時間達到32 min。

(a) 第二個對極的BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模結(jié)果(a) BP neural network modeling results of the second pole

(b)BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模局部放大圖(b) Partial enlargement of encircled part in Fig.8(a)

(c)BP神經(jīng)網(wǎng)絡整圓周建模誤差精度(c)Whole circle error modeling accuracy of BP neural network method圖8　BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模結(jié)果Fig.8　Model results of BP neural network method

3種建模方法的建模誤差、建模時間以及所需的數(shù)據(jù)量如表1所示。由表1可以看出，采用三次樣條插值建模的時間最短(0.62s)，但是其建模精度不高(16.050 0″)，建模所需數(shù)據(jù)量較多(235 526個)；貝葉斯建模方法建模精度最高(0.415 3″)，建模時間也比較短(0.86 s)，建模所需數(shù)據(jù)量較少(69 395個)，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模精度較低(19.680 2″)，而且其建模時間(32 min)遠高于其他建模方法，建模所需數(shù)據(jù)量較多(235 526個)。綜上所述，貝葉斯建模以較短的建模時間和最少的數(shù)據(jù)量獲得了最高的建模精度，可大大提高寄生式時柵的測量精度。

表1　不同建模方法的建模效果

5　結(jié)　論

本文通過分析傳感器的誤差成分，將寄生式時柵角位移傳感器的動態(tài)誤差成分分為常值分量和多個周期分量。利用傳感器第一個對極動態(tài)誤差數(shù)據(jù)進行建模，采用貝葉斯插入標準值預測模型預測傳感器第二個及其它對極的動態(tài)誤差。同時采用三次樣條插值和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡建模與之做對比驗證。從預測建模結(jié)果的分析比較中可以看出，貝葉斯插入標準值預測建模精度最高(0.415 3″)，三次樣條次之(16.050 0″)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡最差(19.680 2″)。三次樣條建模時間最短(0.62s)，貝葉斯建模(0.86s)次之，BP神經(jīng)網(wǎng)絡最慢(32 min)。貝葉斯插入標準值建模所需數(shù)據(jù)量(69 395個)遠少于三次樣條和BP神經(jīng)網(wǎng)絡建模所需數(shù)據(jù)量(235 526個)。利用貝葉斯插入標準值預測模型可節(jié)省大量的傳感器標定時間和建模數(shù)據(jù)量。因此本文所研究的貝葉斯插入標準值預測建模方法，可以建立精確的寄生式時柵誤差預測模型，可以用于其誤差的高精度修正，提高傳感器的測量精度。

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章劉沙(1991-)，男，安徽馬鞍山人，碩士研究生，2014年于安徽理工大學獲得學士學位，主要研究方向為機械電子工程。E-mail：1253403866@qq.com

導師簡介:

楊洪濤(1972-)，男,福建莆田人，教授、碩士生導師，1993年、2001年于安徽理工大學分別獲得學士、碩士學位，2007年于合肥工業(yè)大學獲得博士學位，主要究方向為精密測試技術(shù)、現(xiàn)代精度理論及應用。E-mail: lloid@163.com

(版權(quán)所有未經(jīng)許可不得轉(zhuǎn)載)

Modelling of dynamic measurement error for parasitic time grating sensor based on Bayesian principle

YANG Hong-tao1*, ZHANG Liu-sha1, ZHOU Jiao1, FEI Ye-tai2, PENG Dong-lin3

(1.School of Mechanical Engineering, Anhui University ofScienceandTechnology,Huainan232001,China;2.SchoolofInstrumentationScienceandOpto-electronicsEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;3.SchoolofElectronicInformationandAutomation,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)*Correspondingauthor,E-mail:lloid@163.com

To improve the measurement accuracy of a parasitic time grating sensor, the working principle and dynamic error composition of the sensor were analyzed deeply and the main error components including constant error, periodic error and random error were obtained. According to the error characteristics of parasitic time grating, a high precise prediction model for dynamic error of the parasitic time grating was established and the modeling method was compared with other modeling methods. The Bayesian prediction model interpolated with standard values was chosen to build the error prediction model based on the actually measured dynamic error data of first pole in the sensor. Then, a part of actual measurement error data were inserted in the specific location of subsequent pole to establish the error prediction model to predict the dynamic error of 83 poles of the sensor. The modeling method of cubic spline interpolation and BP neural network were used to build the whole circle dynamic error model of parasitic time grating sensor and compared with the above Bayesian model. The modeling verification experiment results show that the modeling time of cubic spline interpolation method is the shortest (0.62 s), but the modeling accuracy is not high(16.050 0″). The modeling time of Bayesian prediction model is slightly longer than that of the cubic spline interpolation(0.86s), but the modeling accuracy is the highest one(0.415 3″). The modeling time of BP neural network method is the longest one (32 min), and the modeling accuracy is the lowest one (19.680 2″). Moreover, the modeling data points of Bayesian prediction model interpolated with standard value(69395) is far less than that of cubic spline interpolation and BP neural network(235526). Therefore, Bayesian prediction model interpolated with standard values saves a lot of calibration time and modeling data points, and can be used for high precision modeling and dynamic measurement error correction of parasitic time grating sensors.

parasitic time grating; time grating sensor; measurement error; Bayesian principle; standard value interpolation; error model

2016-06-12；

2016-07-19.

國家自然科學基金資助項目(No.51107001);時柵傳感及先進檢測技術(shù)重慶市重點實驗室開放課題資助項目(No.KFKT2013001)

1004-924X(2016)10-2523-09

TP212.12

Adoi:10.3788/OPE.20162410.2523