云永琥，陳建軍，曹鴻鈞

(電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西安電子科技大學(xué))，西安 710071)

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改進(jìn)Kriging的熱結(jié)構(gòu)耦合梁共振非概率可靠性分析

云永琥，陳建軍，曹鴻鈞

(電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西安電子科技大學(xué))，西安 710071)

針對(duì)梁結(jié)構(gòu)在熱結(jié)構(gòu)耦合作用時(shí)其極限狀態(tài)函數(shù)為隱式形式且難以求解的問題，基于振動(dòng)可靠性理論，將改進(jìn)的Kriging模型與有限元方法相結(jié)合，提出了熱結(jié)構(gòu)耦合梁共振非概率可靠性分析方法.首先利用Kriging法構(gòu)建熱結(jié)構(gòu)耦合梁可靠性功能函數(shù)的近似模型，并利用主動(dòng)學(xué)習(xí)法改進(jìn)了選取新增樣本點(diǎn)的方式，使得改進(jìn)后的Kriging近似模型更加逼近于真實(shí)極限狀態(tài)函數(shù).在此基礎(chǔ)上，考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，對(duì)梁結(jié)構(gòu)的不確定變量用區(qū)間變量進(jìn)行描述，建立了含有超橢球凸集的梁結(jié)構(gòu)共振非概率可靠性模型，最后結(jié)合優(yōu)化方法求解出梁結(jié)構(gòu)共振非概率可靠性指標(biāo).算例結(jié)果表明了該方法的合理性以及計(jì)算精度高的特點(diǎn)，為熱結(jié)構(gòu)耦合梁的共振非概率可靠性分析提供了可行的途徑.

熱結(jié)構(gòu)耦合；非概率可靠性；Kriging方法；區(qū)間變量；共振可靠度

航天器廣泛采用的大型柔性附件由于在太空中受到高溫?zé)彷d荷與結(jié)構(gòu)變形之間的耦合作用，將導(dǎo)致不穩(wěn)定的熱振動(dòng)[1]，在此動(dòng)態(tài)過程中，結(jié)構(gòu)的變形導(dǎo)致熱傳導(dǎo)邊界條件的變化，形成不均勻的溫度場(chǎng).反之由于溫變對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響以及溫度梯度產(chǎn)生的熱應(yīng)力，則可改變結(jié)構(gòu)的剛度分布，從而影響結(jié)構(gòu)固有頻率.這種溫度場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)之間的相互影響即為熱結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)[2].由于固有頻率的改變將影響結(jié)構(gòu)的共振可靠性，為此對(duì)熱載荷下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行共振可靠性分析顯得十分必要.文獻(xiàn)[3]基于ANSYS軟件對(duì)齒輪結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力進(jìn)行了求解，并分析了熱環(huán)境對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響.文獻(xiàn)[4]采用NASTRAN軟件分別研究了均勻和非均勻溫度場(chǎng)對(duì)壁板結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響.文獻(xiàn)[5]基于有限元方法建立了水輪發(fā)電機(jī)組主軸系統(tǒng)的非線性振動(dòng)可靠性模型.文獻(xiàn)[6]采用點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算了航空輸流管道的共振可靠度.

上述文獻(xiàn)對(duì)熱結(jié)構(gòu)耦合以及共振可靠性的分析方法均是基于確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)和確定性數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上由于材料特性、幾何尺寸和載荷等參數(shù)等往往具有不確定性，若將這些不確定性引入分析模型中，則能更好地反映結(jié)構(gòu)中各種不確定性因素對(duì)響應(yīng)的影響.然而，當(dāng)各參數(shù)的不確定信息量不足以用概率模型描述時(shí)，非概率可靠性理論可為工程結(jié)構(gòu)安全性提供一種有效的評(píng)估方法[7].文獻(xiàn)[8]基于凸模型首次提出了非概率可靠性概念，并指出凸模型包括區(qū)間模型和超橢球模型.文獻(xiàn)[9]利用超橢球模型變量之間相關(guān)性的優(yōu)點(diǎn)建立了結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型.

實(shí)際工程中，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)往往不能解析表出，這將導(dǎo)致傳統(tǒng)的可靠性方法無法求解.因此，近似模型的方法被提出，即利用較少的數(shù)值仿真結(jié)果，構(gòu)造一個(gè)計(jì)算量小、精度高、求解速度快，并能替代結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)的模型.目前Kriging方法作為一種新的近似模擬技術(shù)[10]，已在機(jī)械、航空等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，該法采用了高斯隨機(jī)過程模擬，使得預(yù)測(cè)模型不僅提供了在未知點(diǎn)的預(yù)測(cè)值，而且還提供了不確定性的估計(jì)量.文獻(xiàn)[11]基于Kriging方法的優(yōu)良擬合特性，高效地求解了結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo).

本文針對(duì)熱結(jié)構(gòu)耦合梁共振非概率可靠性的功能函數(shù)不能表為顯性形式，且無法采用傳統(tǒng)可靠性分析方法的弊端，為提高近似模型的擬合效率，提出了利用改進(jìn)Kriging方法所建立的近似模型替代梁結(jié)構(gòu)的共振可靠性功能函數(shù)的方法，并與超橢球模型相結(jié)合構(gòu)建梁結(jié)構(gòu)共振非概率可靠性模型，采用優(yōu)化方法獲得了梁結(jié)構(gòu)共振非概率可靠性指標(biāo)，算例表明了本文所提出方法的可行性和有效性.

1 基于Kriging近似模型的非概率可靠性

1.1 Kriging近似模型

Kriging方法是一種具有統(tǒng)計(jì)特征的近似技術(shù)，并有平滑效應(yīng)及估計(jì)方差最小等特點(diǎn)，被認(rèn)為是對(duì)真實(shí)計(jì)算模型最好的線性無偏估計(jì)，為復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析及優(yōu)化提供了方便[10].Kriging近似模型假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)y(x)，由回歸模型f(x)和隨機(jī)誤差z(x)組成形式如下:

式中：f(x)=[f1(x)f2(x) …fp(x)]T，β=[β1β2… βp]T；p為變量的訓(xùn)練樣本容量；z(x)服從正態(tài)分布N(0,σ2)，但協(xié)方差非零，即

若給定已知訓(xùn)練樣本S=[x1x2…xp]T及其響應(yīng)值Y=[y1y2…yp]T，則任意待求點(diǎn)xnew的線性無偏預(yù)測(cè)最優(yōu)值為[10]

(1)

(2)

式中：F為由樣本點(diǎn)處的函數(shù)f(x)所組成的列向量；R為由R(xi,xj)構(gòu)成的對(duì)稱陣；r(xnew)為待求點(diǎn)和訓(xùn)練樣本之間的相關(guān)向量，其表達(dá)式為

方差z的估計(jì)值為

(3)

式(3)中利用極大似然估計(jì)使R滿足如下優(yōu)化問題:

1.2 非概率可靠性模型

本文基于凸模型，將參數(shù)不確定性量化在超橢球域內(nèi).首先對(duì)區(qū)間變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換，使變量的可行域歸一化為一個(gè)等效單位超球域.給定區(qū)間變量x∈Rn，滿足以下關(guān)系[9]：

(4)

將區(qū)間參數(shù)量綱一的離差向量δ的取值范圍定義為超橢球集合：

(5)

式中，Wi為第i個(gè)超橢球模型的對(duì)稱正定矩陣，其決定著超橢球的主軸方向，并與常數(shù)εi一起控制形狀大小.

(6)

將式(6)代入式(5)，原凸模型集合可以轉(zhuǎn)換成

式中：u為區(qū)間參數(shù)x的標(biāo)準(zhǔn)化向量，Ec為標(biāo)準(zhǔn)u空間的單位超球集合.

圖1所示為標(biāo)準(zhǔn)空間中的二維單位圓，為區(qū)間變量所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)凸域，極限狀態(tài)方程g(u)經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換后，其極限狀態(tài)曲線g(u)=0將標(biāo)準(zhǔn)空間劃分為可靠域(g(u)>0)與失效域(g(u)<0)，記β為平面坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲線的最短距離.由圖1中可見，當(dāng)β=1，失效區(qū)相切于單位圓，結(jié)構(gòu)處于臨界的失效狀態(tài)；當(dāng)β>1時(shí)，結(jié)構(gòu)變量的離差均處于可靠區(qū)內(nèi)，則結(jié)構(gòu)安全.顯然，當(dāng)β遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時(shí)，結(jié)構(gòu)變量的離差范圍與極限狀態(tài)曲線的距離越遠(yuǎn)，其安全程度就越高,因此可將β定義為結(jié)構(gòu)的非概率可靠性指標(biāo)[12].對(duì)于多個(gè)結(jié)構(gòu)變量的情況，可靠性指標(biāo)β可采用如下最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值形式進(jìn)行求解：

(7)

式(7)還可轉(zhuǎn)化成如下等價(jià)形式：

圖1 非概率可靠性指標(biāo)示意

2 熱結(jié)構(gòu)耦合梁有限元方程的建立

圖2為矩形截面梁結(jié)構(gòu)示意圖，梁左右兩端固定，其y方向上表面同時(shí)受到力f0和熱流q的共同作用，下表面與外界進(jìn)行對(duì)流換熱，其余表面均為絕熱.熱流均勻加載在梁上表面(見圖3)，在梁軸線方向上無溫度梯度，熱流僅沿梁厚度(-y)方向熱傳導(dǎo).對(duì)此熱結(jié)構(gòu)耦合梁的動(dòng)力響應(yīng)求解問題，須同時(shí)構(gòu)建其動(dòng)力學(xué)模型和熱分析模型.

2.1 梁動(dòng)力學(xué)有限元模型

沿梁軸向離散為單元并建立梁結(jié)構(gòu)在熱載荷下的無阻尼動(dòng)力學(xué)有限元方程[13]：

(8)

(9)

式中：M為質(zhì)量矩陣;u為位移向量;K為剛度矩陣;FB為力載荷列陣;FT為熱載荷列陣[14].式(9)中的剛度矩陣K除了結(jié)構(gòu)自身的彈性剛度矩陣Ks=∫VBTDBdV外，還考慮了熱應(yīng)力對(duì)剛度矩陣的影響，增加了一項(xiàng)熱應(yīng)力剛度矩陣Kσ=∫VGTΓGdV，其中:B為應(yīng)變矩陣;D為彈性矩陣;G為形函數(shù)對(duì)空間坐標(biāo)的微分矩陣;Γ為應(yīng)力矩陣.

圖2 梁結(jié)構(gòu)示意

圖3 梁熱分析模型

2.2 梁熱分析有限元模型

如圖3所示，沿梁厚度方向離散為單元并建立其耦合熱傳導(dǎo)有限元方程[15]：

(10)

其中各個(gè)矩陣和向量的表達(dá)式如下:

式中：C為熱容矩陣；T為節(jié)點(diǎn)溫度列陣；N為節(jié)點(diǎn)溫度形函數(shù)；P為節(jié)點(diǎn)熱載荷列陣；Kk、Kh分別為熱傳導(dǎo)剛度矩陣和對(duì)流換熱矩陣；H為熱結(jié)構(gòu)耦合矩陣，它表示熱載荷與結(jié)構(gòu)變形的耦合作用對(duì)溫度場(chǎng)的影響；ρ為質(zhì)量密度;k為熱傳導(dǎo)系數(shù);μ為泊松比;h為換熱系數(shù);q為熱流量;c為比熱容;T0為結(jié)構(gòu)初始溫度;α為熱膨脹系數(shù);E為彈性模量.

聯(lián)立求解式(8)和式(10)方可實(shí)現(xiàn)梁的熱結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力響應(yīng)分析.

2.3 熱結(jié)構(gòu)耦合作用下梁的固有頻率分析

在熱環(huán)境下梁結(jié)構(gòu)的固有頻率計(jì)算即為求解式(11)的廣義特征值問題：

(11)

式中:ω為結(jié)構(gòu)固有頻率，Φ為結(jié)構(gòu)振型向量.

在式(11)求解中，質(zhì)量矩陣M不受溫度影響，則結(jié)構(gòu)固有頻率ω僅與結(jié)構(gòu)剛度K相關(guān).由于在溫變下所引起結(jié)構(gòu)內(nèi)部的熱應(yīng)力將導(dǎo)致K的改變，從而影響結(jié)構(gòu)的固有頻率.故在求解熱環(huán)境下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性時(shí)，需考慮熱環(huán)境對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響.

3 熱結(jié)構(gòu)耦合梁共振非概率可靠性分析方法

3.1 熱結(jié)構(gòu)耦合梁共振非概率可靠性模型

為了防止梁結(jié)構(gòu)的共振失效，結(jié)構(gòu)激振力頻率與固有頻率應(yīng)保持在一定的范圍.假設(shè)結(jié)構(gòu)的激振力頻率為ω，固有頻率為ωi(x)，根據(jù)振動(dòng)理論建立共振可靠性功能函數(shù)：

(12)

式中：x為影響結(jié)構(gòu)固有頻率參數(shù)向量；ωi(x)為結(jié)構(gòu)前3階固有頻率；γ為特定區(qū)間.

由熱結(jié)構(gòu)耦合作用下梁的固有頻率分析可知，結(jié)構(gòu)剛度矩陣K與物性參數(shù)以及熱應(yīng)力有關(guān)，因此需要聯(lián)立式(8)和式(10)進(jìn)行求解，由于方程式(8)和式(10)的非線性以及需要相互迭代計(jì)算，因此剛度矩陣K屬于非線性隱式函數(shù).而在式(12)中，共振可靠性功能函數(shù)中的固有頻率ωi(x)與剛度矩陣K是密切相關(guān)的，故共振可靠性功能函數(shù)Z也為非線性隱式函數(shù).針對(duì)該問題采用傳統(tǒng)方法來求解其可靠度將變得十分困難，特別是考慮方程的變量參數(shù)為區(qū)間不確定性變量之后，將使得計(jì)算更加復(fù)雜.為此，本文采用改進(jìn)Kriging方法所建立的模型代替功能函數(shù)Z，并結(jié)合優(yōu)化算法對(duì)所擬合的功能函數(shù)進(jìn)行非概率可靠度指標(biāo)的求解.

3.2 改進(jìn)Kriging的非概率可靠度求解方法

本文進(jìn)行可靠度分析的關(guān)鍵是如何準(zhǔn)確的擬合功能函數(shù)Z所對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)曲面.由于抽樣樣本計(jì)算出來的功能函數(shù)值大多分布在極限狀態(tài)曲面(Z=0)兩側(cè)，而那些在極限狀態(tài)曲面附近的樣本點(diǎn)則顯得尤為重要，將直接影響到能否準(zhǔn)確的擬合出極限狀態(tài)曲面，它們具有如下兩個(gè)特征[16]：

考慮上述兩個(gè)特征，利用學(xué)習(xí)函數(shù)L(x)構(gòu)造如下方程[16]：

本文利用學(xué)習(xí)函數(shù)L(x)改進(jìn)了Kriging方法選取新增訓(xùn)練樣本的方式，使得Kriging法所擬合出來的近似模型在樣本點(diǎn)分布的區(qū)域能更快地逼近真實(shí)極限狀態(tài)方程，忽略了那些離極限狀態(tài)曲線較遠(yuǎn)的樣本點(diǎn)，從而達(dá)到提高計(jì)算精度的目的.利用改進(jìn)Kriging法建立熱結(jié)構(gòu)耦合梁共振非概率可靠度模型的算法步驟如下：

4 算例分析

4.1 數(shù)值小算例

假設(shè)極限狀態(tài)方程f(x,y)=3+3x+3y-x2-y2+2sin3x-sin3y=0.以18組初始訓(xùn)練樣本構(gòu)建最初Kriging近似模型.利用遺傳算法求得變量參數(shù)θ最優(yōu)值為1.326 7.根據(jù)改進(jìn)Kriging的非概率可靠度求解方法所述，展開主動(dòng)學(xué)習(xí)，按照判定條件不斷選取新的訓(xùn)練樣本進(jìn)行計(jì)算，使改進(jìn)Kriging法所建立的近似模型逐漸逼近極限狀態(tài)方程曲線.圖4(a)給出了近似模型第8次擬合的極限狀態(tài)曲線，圖4(b)顯示了在最后收斂時(shí)的擬合極限狀態(tài)曲線.

圖4 迭代過程中模擬極限狀態(tài)方程曲線

方差Kriging方法改進(jìn)Kriging方法σ23．51261．1852

4.2 梁結(jié)構(gòu)共振非概率可靠度分析

如圖2所示，選取航空航天領(lǐng)域內(nèi)廣泛采用的鈦鋁合金梁作為研究對(duì)象，尺寸為：1 000 mm×30 mm×30 mm，上表面受均勻熱流q以及中部受到豎直方向激振力F=f0sin(2πωt)作用，f0=10 kN，初始溫度T0=20 ℃.材料及載荷的區(qū)間參數(shù)見表2.根據(jù)共振理論建立梁結(jié)構(gòu)可靠性分析功能函數(shù)為：Z=gi=|ω-ωi(x)|-γ，γ取相應(yīng)頻率均值的10%～15%.

表2 梁結(jié)構(gòu)及載荷的區(qū)間參數(shù)

選取20組訓(xùn)練樣本構(gòu)建初始Kriging近似模型，利用主動(dòng)學(xué)習(xí)方法不斷新增訓(xùn)練樣本，達(dá)到56組時(shí)滿足判定條件，然后將得到的近似模型替代原隱式極限狀態(tài)方程，并將區(qū)間變量轉(zhuǎn)化為超橢球模型，采用二次規(guī)劃算法求解超橢球模型非概率可靠度指標(biāo).求解出梁結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率為159.25、437.29、856.79 Hz.梁結(jié)構(gòu)的共振非概率可靠度指標(biāo)為η=1.853，由于外激勵(lì)頻率360 Hz處于一階與二階固有頻率之間，故非概率可靠度指標(biāo)大于1，梁結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生共振失效.本文算例還得出熱應(yīng)力所引起的梁結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力大小為180 MPa，小于梁結(jié)構(gòu)的臨界應(yīng)力載荷230 MPa，故梁結(jié)構(gòu)不會(huì)產(chǎn)生屈曲現(xiàn)象.

圖5給出了可靠度指標(biāo)隨著激勵(lì)頻率變化的曲線圖，在共振頻率的周圍，結(jié)構(gòu)的非概率可靠性指標(biāo)(β)小于1，結(jié)構(gòu)不可靠.圖6則從結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)驗(yàn)證了圖5的正確性，圖6中給出梁中點(diǎn)位置隨激勵(lì)頻率變化的位移曲線，激勵(lì)頻率越遠(yuǎn)離共振頻率，結(jié)構(gòu)就越可靠.

圖5 不同激勵(lì)頻率下的非概率可靠性指標(biāo)變化

Fig.5 The variation of non-probabilistic reliability index at different excitation frequencies

在表3中，假設(shè)變量在其區(qū)間范圍內(nèi)呈均勻分布，將Monte Carlo法模擬計(jì)算結(jié)果作為近似精確解.本文方法計(jì)算結(jié)果與其相對(duì)誤差為1.53%，但迭代次數(shù)僅為56次，結(jié)構(gòu)響應(yīng)值的計(jì)算次數(shù)明顯減少.而本文方法雖然比采用響應(yīng)面法的迭代次數(shù)多，但本文的計(jì)算結(jié)果則更加接近精確解，表明本文方法具有較高的計(jì)算效率.表4說明了熱結(jié)構(gòu)耦合的作用使得梁結(jié)構(gòu)各階固有頻率值有所增大，且增加幅度基本相同.由于共振可靠性對(duì)固有頻率比較敏感，因此在進(jìn)行共振可靠性分析時(shí)，有必要考慮熱結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)對(duì)固有頻率的作用.

圖6 梁中點(diǎn)處的激振位移變化

計(jì)算方法計(jì)算量可靠性指標(biāo)相對(duì)誤差/%MonteCarlo1061．825—響應(yīng)面法(RSM)231．6758．23本文方法(改進(jìn)Kriging)561．8531．53

表4 熱結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)對(duì)固有頻率的影響

5 結(jié) 論

1)將改進(jìn)的Kriging模型與橢球凸集模型相結(jié)合，構(gòu)建了熱結(jié)構(gòu)耦合梁共振非概率可靠性模型，并采用優(yōu)化方法對(duì)可靠性指標(biāo)進(jìn)行了求解，避免了計(jì)算模型的重復(fù)調(diào)用，大大減小了計(jì)算量，數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法的準(zhǔn)確性與高效性.

2)熱結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)對(duì)梁固有頻率有增大的作用，故在熱載荷下計(jì)算梁的共振可靠性時(shí)應(yīng)考慮熱結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)的影響.

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(編輯 張 紅)

Non-probabilistic reliability analysis on resonance of thermal-structural coupling of a beam based on improved Kriging

YUN Yonghu, CHEN Jianjun, CAO Hongjun

(Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design (Xidian University), Ministry of Education, Xi’an 710071, China)

Since the implicit limit state function for thermal-structural coupling of a beam is difficult to determine, a non-probabilistic resonance reliability method for the thermal-structural coupling of a beam is presented. The method is based on the theories of resonance reliability analysis, the improved Kriging model and finite element analysis techniques. In the proposed method, the approximation model for the reliability function of the beam structure is established by Kriging method, and the improved Kriging approximate model becomes more close to the limit state function by using the active learning method to improve the selecting method of new sample points. Then considering the uncertainty of structure parameters, the parameters of beam structure are described by interval variables, so that the approximation model for the non-probabilistic resonance reliability of the beam structure including ellipsoidal convex sets can be established. Finally, the non-probabilistic resonance reliability index of the beam structure is calculated by the optimization method. The calculation results show that the proposed method is of rationality and high accuracy, and can provide a feasible way for the non-probabilistic resonance reliability analysis of thermal-structural coupling of the beam structure.

thermal-structural coupling； non-probabilistic reliability； Kriging method； interval variables； resonance reliability

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.019

2015-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51175398)

云永琥(1986—)，男，博士研究生；

陳建軍(1951—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

陳建軍, jjchen@xidian.edu.cn

TB114.3

A

0367-6234(2016)10-0131-06