周健民

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市　200092）

圓形水池底板內(nèi)力計(jì)算方法的分析探討

周健民

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市200092）

根據(jù)圓形水池基礎(chǔ)形式的不同，對(duì)圓形水池的底板計(jì)算方法進(jìn)行了分析歸納。介紹了在天然地基條件下，大直徑圓形水池底板內(nèi)力計(jì)算常采用的彈性地基法和彈性地基梁解析法的計(jì)算原理及方法。探討了在軟土地基條件下或其他不適宜采用天然地基時(shí)，采用樁基圓板的計(jì)算模型及方法。給出兩個(gè)不同條件下的工程算例，示范了不同計(jì)算方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

圓形水池；圓形底板；彈性地基；樁基；內(nèi)力分析；計(jì)算方法

0　引言

圓形水池在市政給排水工程中是一種重要的水池形式。水池底板的形式有分離式和整體式兩種。

分離式是將池壁與底板分離，池壁板類似擋土結(jié)構(gòu)，池壁下分別設(shè)置與底板脫開的單獨(dú)基礎(chǔ)或條形基礎(chǔ)。分離式底板不參與水池主體結(jié)構(gòu)的受力，只是將自重及直接作用其上的荷載傳給地基。這種底板內(nèi)無(wú)需計(jì)算彎矩和剪力，設(shè)計(jì)時(shí)底板按構(gòu)造要求制作。該類型底板適用于地基條件較好，而且無(wú)地下水的工程中［1］。

整體式底板相當(dāng)于水池的基礎(chǔ)，水池自重、內(nèi)水、設(shè)備荷載等都是通過底板傳給地基。天然地基條件下圓形水池底板有基于地基反力直線分布假定、文克爾假定、半無(wú)限彈性體假定的計(jì)算方法。

當(dāng)軟土地基或其他采用天然地基無(wú)法滿足水池的承載力和沉降要求，這時(shí)需對(duì)地基進(jìn)行處理，一般采用復(fù)合地基或者樁基礎(chǔ)，相應(yīng)底板計(jì)算需要考慮樁基或地基土的作用。

在實(shí)際工程中，大多數(shù)采用整體式底板，本文著重探討、分析該類底板的計(jì)算模型和方法。

1　天然地基圓板基礎(chǔ)計(jì)算方法

1.1彈性地基圓板法計(jì)算底板內(nèi)力

手冊(cè)［1］、規(guī)程［2］中給出的圓形水池底板計(jì)算方法中，地基反力的假定有直線分布假定、彈性地基假定。彈性地基假定又分為克爾假定、半無(wú)限彈性體假定。其中地基反力直線分布適用于底板跨度較小的情況，一般水池直徑不超過4 m。在跨度較大的圓形水池中，采用地基均布反力計(jì)算，會(huì)導(dǎo)致板內(nèi)彎矩嚴(yán)重偏大，按此計(jì)算結(jié)果配筋浪費(fèi)。

大直徑水池在設(shè)計(jì)中通常按位于彈性地基上薄板理論來(lái)計(jì)算水池圓形底板內(nèi)力。根據(jù)構(gòu)筑物的具體情況，把底板簡(jiǎn)化成為彈性地基上周邊自由的圓板或周邊定向約束的圓板，在諸如周邊分布荷載、板面均布力、邊緣力、邊緣力矩幾種簡(jiǎn)單的荷載作用下，通過計(jì)算再疊加獲得底板內(nèi)力。該計(jì)算模式考慮了地基土的變形模量及泊松比，基本上可以滿足一般圓形水池底板的內(nèi)力計(jì)算。

例如在圓板周邊分布荷載作用時(shí)，其底板彎矩則采用以下計(jì)算公式：

式中：KM t為切向彎矩計(jì)算系數(shù)；KM r為徑向彎矩計(jì)算系數(shù)；Mt為作用于圓池底板上的切向彎矩；Mr為作用于圓池底板上的徑向彎矩；P為圓池底板圓周邊緣分布荷載；R為圓池底板支承點(diǎn)半徑。

KM t、KM r需根據(jù)柔性指數(shù)S查表，該參變量S的計(jì)算為：

式中：Ec為混凝土的彈性模量；E0為地基土的彈性模量；vc為鋼筋混凝土的泊松比；v0為地基土的泊松比；t為底板厚度。

同理按手冊(cè)［1］求得圓形底板在邊緣彎矩、邊緣轉(zhuǎn)角、均布荷載下的底板徑向、切向彎矩，再按計(jì)算工況對(duì)應(yīng)的分項(xiàng)疊加即可得到底板內(nèi)力。

1.2彈性地基梁解析法計(jì)算底板內(nèi)力

彈性地基梁是一種彈性地基模型，它是建立在文克勒模型之上的。文克爾地基模型假定地基上某一點(diǎn)所受到的壓強(qiáng)與該點(diǎn)的地基沉降成正比，而與其他點(diǎn)無(wú)關(guān)。這個(gè)假定實(shí)際上是把地基模擬為剛性底座上一系列獨(dú)立的彈簧，當(dāng)?shù)鼗砻嫔夏骋稽c(diǎn)受壓力P時(shí)，由于彈簧是彼此獨(dú)立的，故只在該點(diǎn)局部產(chǎn)生沉陷，而在其他地方不產(chǎn)生任何沉陷。因此，這種地基模型稱作局部彈性地基模型。

這種方法考慮地基的基床系數(shù)，可以解決板邊受均布力、均布彎矩以及底板中心有集中荷載的內(nèi)力問題。該方法需要一定的理論基礎(chǔ)，且對(duì)底板的形式、荷載、邊界條件都有一定的要求。因?yàn)槟Ｐ图僭O(shè)沒有反映地基變形的連續(xù)性，忽略了圓板中切向彎矩在平衡中的作用，因此引用單個(gè)梁的位移方程來(lái)處理圓板中分離出來(lái)的梁，其計(jì)算結(jié)果是近似的。

如圖1所示，梁的全長(zhǎng)放置在彈性支承上，在荷載q（x）的作用下，地基反力為p（x）、反力與梁的位移成正比［3］，即：

式中：E0為地基上產(chǎn)生單位位移所需的線壓力，即地基系數(shù)。

圖1　彈性地基梁

圖2　彈性地基梁微段平衡

式（5）即為彈性地基梁的位移基本方程式。對(duì)于池壁與底板不同連接條件的水池，定義不同的邊界條件，可通過解上述微分方程而求解。

在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，由于地基的變形以及底板相對(duì)于池壁非完全剛性，池壁根部并非完全能固定在底板上，這使得按池壁根部固定計(jì)算所得的池壁環(huán)向拉力大于實(shí)際環(huán)向拉力。同理，按池壁根部鉸接，設(shè)計(jì)計(jì)算的環(huán)向拉力較實(shí)際偏大，有利于保證池壁抗裂要求。一般底板厚度大于1.2倍池壁厚度以上可近似將底板作為固端邊界條件。

本文以4.1節(jié)的工程算例闡述采用彈性地基梁解析法，通過解微分方程的方法求得水池底板的內(nèi)力值。

2　樁基圓形底板的計(jì)算方法

2.1樁基圓形底板的計(jì)算模型

對(duì)于采用樁基的圓形水池底板，手冊(cè)［1］、規(guī)范［2］沒有相應(yīng)的條文，可參見的文獻(xiàn)中對(duì)樁基圓板的試驗(yàn)和理論研究成果還比較少。對(duì)于樁基圓形底板的設(shè)計(jì)計(jì)算方法，建議可類比參考樁筏基礎(chǔ)的承載機(jī)理及算法。

在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，底板內(nèi)力的計(jì)算按地基土的性質(zhì)不同，通常分為兩類模型：（1）僅考慮樁基承載的底板內(nèi)力計(jì)算；（2）考慮樁土作用下的底板內(nèi)力計(jì)算。

2.2僅考慮樁基承載的底板內(nèi)力計(jì)算

在水池計(jì)算中，主要的工況分為兩種：

（1）豎向壓力工況：荷載主要包括內(nèi)水及設(shè)備重量等；

（2）向上的浮力工況：地下水位高，池內(nèi)處于空載時(shí)工況。本文以豎向壓力工況作為計(jì)算模型建立及公式推導(dǎo)。浮力工況類似，只是底板內(nèi)力方向與工況（1）相反。

采用樁基的圓形底板受力機(jī)理如下［4］：以水池池壁、底板交接處為受力研究起點(diǎn)，板內(nèi)各樁頂至池壁根部形成了彼此相連的一系列受壓短柱，相互連接約呈現(xiàn)為環(huán)錐形。受壓拱狀短柱的上部支承于池壁根部，并依靠底板上部縱向鋼筋連接。下端的垂直分力傳給樁頂，水平分力則由圓形板底配置的縱向鋼筋承擔(dān)。因此這一系列的受壓短柱與底部縱筋構(gòu)成一個(gè)空間桁架，形成了類似“梁”和“拱”的互相協(xié)調(diào)的工作機(jī)制模型。該模型中的受壓短柱為斜向壓桿，起拱的作用，而受壓區(qū)的混凝土和縱向鋼筋起梁的作用。斜向壓桿承擔(dān)了剪力，圓形板內(nèi)的力矩則由縱向鋼筋和受壓區(qū)混凝土共同承受。

根據(jù)底板受力機(jī)理分析，建立樁基圓板基礎(chǔ)抗彎承載力“環(huán)梁法”，該模型的基本假設(shè)：

（1）把整個(gè)水池樁基圓板基礎(chǔ)看成由一組同心圓環(huán)緊密相連而成的一個(gè)環(huán)形梁組。

（2）環(huán)梁的劃分方法為：以每個(gè)樁環(huán)為中心，以相鄰兩樁環(huán)連線的中點(diǎn)為分界，“切”出寬度相等的同心環(huán)形梁。

（3）樁頂反力作用干環(huán)梁底部，再通過環(huán)梁間的界面以垂直剪力的形式傳給相鄰環(huán)梁。

（4）每一根環(huán)梁均可看成以樁頂為支點(diǎn)，簡(jiǎn)化承受由邊界傳來(lái)的線性均布荷載的多跨連續(xù)梁。

在工程設(shè)計(jì)中，圓形底板布樁時(shí)，樁距在徑向、環(huán)向一般均按等間距布置。個(gè)別樁可能需要避讓管道會(huì)左右稍作偏移，但這種偏移不會(huì)對(duì)計(jì)算有本質(zhì)的影響。

在豎向荷載作用下，底板的受力模型如圖3所示。

圖3　底板設(shè)置環(huán)梁的計(jì)算模型

針對(duì)以上兩種工況中，在底板設(shè)置底環(huán)梁的圓形底板中，受力均以環(huán)向?yàn)橹鳌０春?jiǎn)化的計(jì)算模型，在豎向荷載作用下，環(huán)梁的彎矩計(jì)算公式：

式中：q內(nèi)水為池內(nèi)水荷載；q浮力為底板下所受的地下水浮力；q底板底板自重；Sr為底板環(huán)梁環(huán)向間距。

由于底板設(shè)置了環(huán)梁，底板環(huán)向剛度遠(yuǎn)大于底板徑向剛度，按內(nèi)力分配原則，底板徑向承當(dāng)小部分的彎矩，而且內(nèi)力計(jì)算模式中，底梁按負(fù)載范圍承擔(dān)了兩側(cè)荷載，因此徑向配筋可按構(gòu)造配筋。但是需要注意的是，在底板根部，注意徑向配筋需與池壁根部豎向配筋相協(xié)調(diào)。

在該計(jì)算模型中，以樁基作為支座，環(huán)梁沿著環(huán)向展開為連續(xù)梁。這要求樁基在豎向荷載作用下的沉降量和在浮力作用下的抗拔量有嚴(yán)格限制，否則在樁基產(chǎn)生不均勻位移時(shí)，在底板上層或下層產(chǎn)生附加彎矩。

底板不設(shè)置環(huán)梁建議按3.3節(jié)建立計(jì)算模型或按采用有限元軟件模擬計(jì)算內(nèi)力（見圖4）。

圖4　底板不設(shè)置環(huán)梁的計(jì)算模型

2.3考慮樁土作用下的底板內(nèi)力計(jì)算

采用樁基而且不設(shè)底梁的圓形底板，其計(jì)算方法可類比樁筏基礎(chǔ)的計(jì)算。

樁筏基礎(chǔ)的分析是一個(gè)比較復(fù)雜的問題。目前對(duì)樁筏基礎(chǔ)的分析方法主要有筏板分析模式、樁土分析模式以及群樁分析模式等。這些分析模式均在考慮樁筏基礎(chǔ)與地基土共同作用的基礎(chǔ)上，對(duì)樁筏基礎(chǔ)進(jìn)行分析計(jì)算。這些分析模式計(jì)算都比較復(fù)雜，考慮的影響因素很多，在理論研究中追求較為精確公式或解析式具有重要意義。但在實(shí)際工程中，一般不會(huì)采用如此復(fù)雜的模型，都進(jìn)行簡(jiǎn)化分析。

在筏板與樁共同作用分析中，可以分為兩種理論：薄板理論和厚板理論。圓形水池底板計(jì)算對(duì)應(yīng)于樁筏基礎(chǔ)中的筏板計(jì)算，其內(nèi)力分析宜采用經(jīng)典薄板理論。

鑒于上述原因，本文推薦采用一種簡(jiǎn)化的樁筏基礎(chǔ)分析模式，以對(duì)圓形底板進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算分析。

在簡(jiǎn)化的分析模式下，樁筏基礎(chǔ)的承載體系由地基土、樁基和筏板共同組成。計(jì)算模型將樁筏基礎(chǔ)分為樁基和筏板兩部分，上部結(jié)構(gòu)傳遞至筏板的荷載，全部由地基土和樁體承擔(dān)。首先考慮地基土承擔(dān)的那部分荷載，采用改進(jìn)的文克爾地基模型，應(yīng)用經(jīng)典薄板理論，將筏板基礎(chǔ)劃分為有限個(gè)板單元。筏板上的荷載轉(zhuǎn)化為作用在單元節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)力。根據(jù)文克爾地基模型的假設(shè)，地基土彈簧系數(shù)取基床系數(shù)k。彈簧作用于各單元節(jié)點(diǎn)位置，地基反力由彈簧來(lái)模擬。

樁筏基礎(chǔ)的樁體部分同樣采用彈簧來(lái)代替進(jìn)行簡(jiǎn)化，其彈簧系數(shù)引用文獻(xiàn)［5］。

在劃分板單元過程時(shí)，樁基點(diǎn)位應(yīng)與相應(yīng)單元的節(jié)點(diǎn)重合。對(duì)于圓形筏板基礎(chǔ)，本文建議采用任意四邊形單元。分別計(jì)算并將筏板與樁體兩部分進(jìn)行疊加，得到圓形底板的簡(jiǎn)化內(nèi)力計(jì)算結(jié)果［6］。

3　工程算例

3.1彈性地基梁計(jì)算底板內(nèi)力實(shí)例

該水池直徑10 m，深5 m，壁厚及底板厚0.2 m，材料彈性模量為 μ=26× 106kN/m2，泊松比μ=1/6，混凝土容重取25 kN/m3，地基彈性模量取E0=5×104kN/m2。設(shè)池壁與底板之間為鉸接。

采用解微分方程的方法求得水池底板的精確解，計(jì)算過程不再贅述。具體計(jì)算結(jié)果見表1，彎矩如圖5所示。

表1　水池底板彎矩M-x計(jì)算結(jié)果表

圖5　底板彎矩計(jì)算結(jié)果（解微分方程法）

3.2樁基圓形底板內(nèi)力計(jì)算實(shí)例

某城市污水處理廠的二沉池，采用半埋地下式敞口水池。該水池內(nèi)徑尺寸21 m，池壁厚度450 mm，底板厚500 mm，底板外挑尺寸300 mm。池壁高5.5 m，內(nèi)水深度5.0 m，埋深4.0 m。根據(jù)地質(zhì)勘察報(bào)告，場(chǎng)地地下水埋深0.5 m。場(chǎng)地土折算的等效內(nèi)摩擦角φ=20°。

該單體基礎(chǔ)采用PHC400管樁，環(huán)向、徑向平均樁距約為2.25 m，樁基總數(shù)89根。樁基實(shí)際承受豎向抗壓承載力Fp=300 kN，豎向抗拔承載力Ff=140 kN。

本例偏于安全，不考慮地基土的承載作用，僅樁基承受豎向荷載且作為支點(diǎn)。采用ROBOT有限元軟件建模計(jì)算，底板彎矩如圖6～圖9所示。

圖6　豎向作用下環(huán)向彎矩圖

圖7　豎向作用下徑向彎矩圖

圖8　浮力作用下環(huán)向彎矩圖

圖9　浮力作用下徑向彎矩圖

4　結(jié)　語(yǔ)

本文對(duì)工程設(shè)計(jì)中圓形水池底板內(nèi)力的計(jì)算進(jìn)行了總結(jié)。限于篇幅，尚有以下方面問題有待進(jìn)一步探討研究：

（1）彈性地基條件下當(dāng)?shù)叵滤×艽?，且水池處于空池工況時(shí)，底板與地基可能會(huì)出現(xiàn)部分脫離，底板向上拱起。拱起部位就脫離了地基對(duì)它的作用，地基也不可能對(duì)底板產(chǎn)生拉力。此時(shí)采用文克爾假定進(jìn)行的計(jì)算就不再準(zhǔn)確，需要進(jìn)行修正。

（2）考慮樁土作用計(jì)算時(shí)，樁及土層彈簧系數(shù)的選取很關(guān)鍵?，F(xiàn)有的設(shè)計(jì)基本都按經(jīng)驗(yàn)選取，建議按實(shí)驗(yàn)確定彈簧系數(shù)值。

綜合而言，本文結(jié)合不同基礎(chǔ)形式、不同土質(zhì)條件，對(duì)圓形水池底板計(jì)算進(jìn)行了分析總結(jié)，推薦了不同工程條件下合適的圓形筏板內(nèi)力計(jì)算模型，可為該類底板的設(shè)計(jì)和研究提供參考。

［1］《給水排水工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)手冊(cè)》編委會(huì).給水排水工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)手冊(cè)（第二版）［M］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2007.

［2］CECS-138—2002，鋼筋混凝土水池結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)程 ［S］.

［3］楊維加.彈性地基梁的三角級(jí)數(shù)解法［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2005.

［4］姚奕.火力發(fā)電廠煙囪樁支圓板基礎(chǔ)的研究［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2001.

［5］曹志杰.大型矩形水池底板計(jì)算模式選擇 ［J］.特種結(jié)構(gòu)，2006，23（1）：37-38.

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1009-7716（2016）07-0173-04

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2016.07.050

2016-03-16

周健民（1983-），男，上海人，工程師，從事結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作。