胡靖程鯤黃備兵*

（1.鹽城工學(xué)院 電氣工程學(xué)院，江蘇鹽城 224051；2.鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇鹽城 224051）

半狄拉克費米子勢壘透射系數(shù)的計算

胡靖1程鯤2黃備兵2*

（1.鹽城工學(xué)院 電氣工程學(xué)院，江蘇鹽城 224051；2.鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇鹽城 224051）

通過求解半狄拉克費米子勢壘問題的定態(tài)薛定諤方程，得到了半狄拉克費米子的透射系數(shù)與其入射到勢壘方向之間的關(guān)系。本文分別計算了勢壘在 x和 y方向上半狄拉克費米子的透射系數(shù)。這些結(jié)果表明半狄拉克費米子可以同時展現(xiàn)單層和雙層石墨烯的勢壘透射行為，為研究半狄拉克費米子的輸運行為提供了有價值的理論參考。

半狄拉克費米子 勢壘 透射系數(shù)

在經(jīng)典物理中，粒子的運動行為完全由牛頓力學(xué)確定。當一個能量為 E的粒子遇到一個高度為 U0的勢壘時，如果 E ＞ U0，粒子將完全通過勢壘，相反粒子將會完全反射。而在非相對論性量子力學(xué)中，粒子的行為由薛定諤方程來描寫。無論 E與 U0的大小關(guān)系如何，粒子總有一定的幾率從勢壘反射，同時也有一定的幾率從勢壘透射，展現(xiàn)出完全不同于經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果。

對于同樣的勢壘，粒子展現(xiàn)出完全不同的透射行為的主要原因是粒子的運動規(guī)律由不同類型的方程來刻畫。在晶態(tài)固體材料中，晶格的存在可以有效地改變電子的運動特征。一個典型的例子就是兩維石墨烯材料［1］。 在兩維石墨烯材料中，電子的導(dǎo)帶與價帶在布里淵區(qū)中兩個孤立點是簡并的。在這兩點附近，電子的能量動量關(guān)系是線性的，可以用無質(zhì)量的滿足狹義相對性原理的兩維狄拉克方程來描寫，因此這樣的孤立點稱為狄拉克點。對于狄拉克點附近的電子，理論計算表明依賴于電子入射到勢壘的方向，電子的透射幾率呈現(xiàn)復(fù)雜的變化。重要的是，對于某些特殊的入射方向，比如垂直入射的情形，電子可以完全透射，形成共振透射的現(xiàn)象［2］。

在兩維石墨烯材料中，碳原子形成周期性的蜂房晶格。理論表明，通過破壞蜂房晶格各向同性的性質(zhì)，布里淵區(qū)中的兩個狄拉克點可以重疊在一起變成一個半狄拉克點［3］。在半狄拉克點附近，電子的能量動量關(guān)系在一個方向上是線性的，而在另一個方向上是二次的。第一性原理計算表明半狄拉克點可以在VO2/TiO2異質(zhì)結(jié)中存在［4，5，6］。在這篇文章中，考慮到半狄拉克點不同尋常的能量動量關(guān)系，我們研究半狄拉克點附近電子的勢壘散射問題。我們稱半狄拉克點附近的電子為半狄拉克費米子。

1 模型

描寫處于外勢場 U（x，y）中半狄拉克費米子的哈密頓可以寫成

在這兒 H0描寫自由的半狄拉克費米子。是半狄拉克費米子的動量算符， α，β是兩個常數(shù)參數(shù)， σx，σy是兩個泡利矩陣

可以發(fā)現(xiàn)自由的半狄拉克費米子的哈密頓 H0對于 x方向上的動量 px是一次的，而對 y方向上的動量 py是二次的。這種不同的依賴關(guān)系勢必影響半狄拉克費米子在不同方向上穿透勢壘的行為。我們將分別考慮勢壘在 x和 y方向上兩種情況，計算半狄拉克費米子從不同方向入射到勢壘的透射系數(shù)。

2 x方向上的勢壘

假設(shè) x方向上勢壘的表達式是

a，U0是勢壘的寬度和高度。為了后面敘述的方便，我們把x＜ 0的區(qū)域記為1區(qū)， 0 ＜ x ＜ a的區(qū)域記為2區(qū)， x ＞ a的區(qū)域記為3區(qū)，并且假設(shè)粒子都是從1 區(qū)入射到勢壘上的。 由于勢壘函數(shù)是分段光滑連續(xù)且與時間無關(guān)，定態(tài)薛定諤方程為

Ψ1，2，3（x，y）分別表示1、2、3區(qū)中粒子的波函數(shù)。注意到勢壘（3）與坐標 y無關(guān)， y方向上的動量是一個好量子數(shù)，波函數(shù)應(yīng)具有如下形式

? ky是 y方向上動量算符 py的本征值。將（5）帶入薛定諤方程（4）得到

首先考慮勢壘區(qū)域（0 ＜ x ＜ a）中解的形式。在勢壘區(qū)域嘗試平面波形式的解

可以得到

上述方程有非零解意味著

更進一步，我們可以獲得相應(yīng)的本征矢量

s '= sign（E - U0）。在這里我們不僅強加了波函數(shù)的歸一化條件并且選擇了波函數(shù)的相位使得 c為實數(shù)。1

在量子力學(xué)中，勢壘問題相當于一個散射問題。在研究散射問題時，粒子的能量 E是一個已知量，同時 y方向上的動量 ?ky也可以看成是已知量。因此為了使方程（9）成立， kx只可能取值

為了突出半狄拉克費米子能夠以很高的幾率透過高勢壘這樣一個事實，我們假設(shè)這意味著是實數(shù)。定義則在勢壘區(qū)域定態(tài)薛定諤方程的通解為

a1，a2是待定系數(shù)。

上面的結(jié)果可以通過令 U0= 0直接推廣到1和3區(qū)。定義則

r，t是待定系數(shù)，它們的模平方分別代表反射系數(shù)和透射系數(shù)， s = sign（E）。注意到在寫3區(qū)的波函數(shù)時，我們已經(jīng)丟掉了沿 x軸負方向傳播的波。當我們假設(shè)粒子從軸負方向入射到勢壘時，物理上這一項是不存在的。

從波函數(shù)的連續(xù)性條件，可以得到

這四個方程的求解給出

從這個結(jié)果，我們也可以得到同樣的半狄拉克費米子共振透射的條件。

3 y方向上的勢壘

在 y方向上勢壘的表達式是

類似于 x方向上勢壘的問題，求解過程是完全一致的，但有兩個細微的差別。第一個不同的地方在于此時沿著 x方向上的動量?kx是已知量，第二個不同的地方是對于固定的能量 E ，kx，滿足方程（9）的 ky有四個可能的值。定義則在2區(qū)， ky可取四個值；對于1和3區(qū)， ky可取四個值。由于同樣的原因在這里我們也假設(shè)定義

則在不同區(qū)域波函數(shù)的通解為

a1，2，3，4，b1，2，r，t是待定系數(shù)，代表反射系數(shù)和透射系數(shù)。利用波函數(shù)以及波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件，可以求得透射系數(shù)及其他待定參數(shù)。在這里解析解的推導(dǎo)是非常困難的，我們利用數(shù)值方法求解這個問題。

4 結(jié)果和討論

先說明一下無量綱化的方法。我們選擇一個任意的長度 L以及?α /L 分別作為長度單位和能量單位， 因而=EL /（?α）0=U0L /（?α），=?β /（Lα）x=kxL，k～y=kyL，a～ =a /L均是無量綱的量。長度可以選取為實現(xiàn)半狄拉克費米子的凝聚態(tài)材料的晶格常數(shù)。

定義φ 為半狄拉克費米子入射動量與 x軸之間的夾角，圖1、圖2分別展示了對于一些不同參數(shù)，當勢壘在 x和 y方向上半狄拉克費米子的透射系數(shù)與入射角φ 之間的關(guān)系。在圖1中通過將哈密頓（1）中變量 β py→ α，我們也計算了狄拉克費米子的結(jié)果（圖1中的虛點線）。相比之下可以發(fā)現(xiàn)，對于我們的模型（1），當勢壘在 x方向上時，除了透射共振的位置不同外，狄拉克費米子與半狄拉克費米子的透射行為是定性類似的。一個值得提到的地方是在入射角 φ≈0附近，半狄拉克費米子具有更好的透射行為。這是因為當 φ≈ 0時動量變化更慢，從而以及透射系數(shù)的改變也更慢。對這個解釋另一有力的證明是當我們固定改變時，隨著增大，在入射角 φ≈ 0附近半狄拉克費米子的透射行為逐漸減弱，正如圖1中余下三條線展示的。當勢壘沿著方向（看圖2），我們?nèi)匀豢梢杂^察到透射共振的現(xiàn)象。此時與勢壘在 x方向上一個顯著的不同是當粒子沿著勢壘方向入射（φ ≈ π/2）時，粒子將會完全反射。這個結(jié)果與雙層石墨烯的結(jié)果是定性一致的［2］。因此綜合勢壘在 x和 y方向的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)對于半狄拉克費米子系統(tǒng)，可以同時展現(xiàn)單層和雙層石墨烯的勢壘透射行為。

5 結(jié)語

本文分別計算了勢壘在和方向上半狄拉克費米子的透射系數(shù)。這些結(jié)果表明半狄拉克費米子可以同時展現(xiàn)單層和雙層石墨烯的勢壘透射行為，為研究半狄拉克費米子的輸運行為提供了有價值的理論參考。

［1］K.S.Novoselov， A. K. Geim， S. V. Morozov， D. Jiang， M. I. Katsnelson， I. V. Grigorieva， S. V. Dubonos， A. A. Firsov， Nature 438， 197 （2005）.

［2］M.I. Katsnelson， K. S. Novoselov， A. K. Geim， Nature Physics 2，620 （2006）.

［3］P.Dietl， F. Piechon， G. Montambaux， Phys. Rev. Lett. 100，236405 （2008）.

［4］V.Pardo， W. E. Pickett， Phys. Rev. Lett. 102， 11， 166803（2009）.

［5］V.Pardo， W. E. Pickett， Phys. Rev. B 81， 035111 （2010）.

［6］ H.Huang， Z. Liu， H. Zhang， W. Duan， D. Vanderbilt， Phys. Rev. B 92， 161115 （2015）.

江蘇省自然科學(xué)基金（BK20130424）、國家自然科學(xué)基金（11547047）

胡靖（1996—），男，漢族，江蘇鹽城人，鹽城工學(xué)院電氣工程學(xué)院，學(xué)生。

黃備兵（1982—），男，漢族，安徽安慶人，鹽城工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，副教授，研究方向：冷原子物理和凝聚態(tài)物理。